Floating Bodies

Ἀρχιμήδους Ὀχου μένων α ὑποκείσθω τὸ ὑγρὸν φύσιν ἔχον τοιαύταν, ὥστε τῶν μερέων αὐτοῦ τῶν ἐξ ἴσου κειμένων καὶ συνεχέ ων ἐόντων ἐξωθεῖσθαι τὸ ἧσσον θλιβόμενον ὑπὸ τοῦ μᾶλλον θλι βομένου, καὶ ἕκαστον δὲ τῶν μερέων αὐτοῦ θλίβεσθαι τῶι ὑπεράνω αὐ τοῦ ὑγρῶι κατὰ κάθετον διότι, εἴ κα μὴ τὸ ὑγρὸν ἦι καθιεμένον ἔν τινι καὶ ὑπὸ ἄλλου τινὸς θλιβόμε νον. α καὶ ἐπιφάνειά τις ἐπιπέ δωι τεμνομένα διά τινος ἀεὶ τοῦ αὐτοῦ σαμείου τὰν τομὰν ποιέοντι ἢ κατὰ τὰν ΟΠ· ὥστε ἐξωθήσον ται τὰ ἧσσον θλιβόμενα ὑπὸ τῶν μᾶλλον θλιβομένων· οὐ μένει ἄρα τὸ ὑγρόν. ὑπέκειτο δὲ καθεστα κὸς εἶμεν ὥστε μένειν ἀκίνη τον· ἀναγκαῖον ἄρα τὰν ΑΒΓΔ γραμμὰν κύκλου περιφέρειαν εἶ μεν καὶ κέντρον αὐτᾶς τὸ Κ. ὁμοί ως δὴ δειχθήσεται καί, ὅπως καὶ ἄλλως ἁ ἐπιφάνεια τοῦ ὑγροῦ ἐ πιπέδωι τμαθῆι διὰ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς, ὅτι ἁ τομὰ ἐσσεῖται κύ κλου περιφέρεια, καὶ κέντρον αὐτᾶς ἐσσεῖται ὃ καὶ τᾶς γᾶς ἐστι κέντρον. δῆλον οὖν ἁ ἐπιφά νεια τοῦ ὑγροῦ καθεστακότος ἀκινήτου σφαίρας ἔχει τὸ σχῆ μα τὸ αὐτὸ κέντρον ἐχούσας τᾶς γᾶς, ἐπειδὴ τοιαύτα ἐστίν, ὥστε διὰ τοῦ αὐτοῦ σαμείου τμαθεῖσ αν τὰν τομὰν ποιεῖν περιφέρει αν κύκλου κέντρον ἔχοντος τὸ σαμεῖον, δι’ οὗ τέμνεται τῶι ἐπιπέδωι.

Figure 1.2.1 τῶν στερεῶν μεγεθέων τὰ ἰσοβαρέοντα τῶι ὑγρῶι ἀφεθέν τα εἰς τὸ ὑγρὸν καταβαροῦνται, ὥστε τᾶς ἐπιφανείας τᾶς τοῦ ὑ γροῦ μὴ ὑπερέχειν μηδέν, καὶ οὐκέτι οἰσθήσονται ἐπὶ τὸ κάτω. ἀφείσθω γάρ τι στερεὸν μέ γεθος εἰς τὸ ὑγρὸν τῶν ἰσοβαρέων τῶι ὑγρῶι καί, εἰ δυνατόν, ὑπερεχέ τω τι αὐτοῦ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας, καθεστάτω δὲ τὸ ὑγρόν, ὥστε μένειν ἀκίνητον. νοείσθω δή τι ἐ πίπεδον ἐκβεβλημένον διά τε τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ τοῦ ὑγροῦ καὶ διὰ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τομὰ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑ γροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφέρεια, τοῦ δὲ στερεοῦ μεγέθεος τὸ ΕΖΗΘ σχᾶ μα, κέντρον δὲ τᾶς γᾶς τὸ Κ. ἔστω δὴ τοῦ μὲν στερεοῦ τὸ μὲν ΒΓΗΘ ἐν τῶι ὑγρῶι, τὸ δὲ ΒΕΖΓ ἐκτός. νο είσθω δὴ τὸ στερεὸν σχῆμα περιλαμ βανόμενον πυραμοειδεῖ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸ παραλληλόγραμ μον τὸ ἐν τᾶι ἐπιφανείαι τοῦ ὑ γροῦ, κορυφὰν δὲ τὸ κέντρον τᾶς γᾶς, τομὰ δὲ ἔστω τοῦ τε ἐπιπέδου, ἐν ὧι ἐστιν ἁ ΑΒΓΔ περιφέρεια, καὶ τῶν τᾶς πυραμίδας ἐπιπέδων αἱ ΚΛ, ΚΜ. γεγράφθω τις ἄλλας σφαί ρας ἐπιφανείας περὶ κέντρον τὸ Κ ἐν τῶι ὑγρῶι τῶι ὑπὸ τοῦ ΕΖΗΘ καὶ τεμνέσθω ἐπιπέδου, λελάφθω τις καὶ ἄλλα πυραμὶς ἴσα καὶ ὁ μοία τᾶι περιλαμβανούσαι τὸ στερεὸν συνεχὴς αὐτᾶς, τομὰ δὲ ἔστω τῶν ἐπιπέδων αὐτᾶς αἱ ΚΜ, ΚΝ, καὶ τῶι ὑγρῶι νοείσθω τι μέγεθος τοῦ ὑγροῦ ἀπολαμ βανόμενον τὸ ΡΣΤΥ ἴσον καὶ ὅ μοιον τῶν στερεῶν κατὰ τὰ Β, Η, Θ, Γ, ὅ ἐστιν αὐτοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι· τὰ δὴ μέρεα τοῦ ὑγροῦ τά τε ἐν τᾶι πρώται πυραμίδι τα ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν, ἐν ἇι ἐστιν ἁ ΞΘ περιφέρεια, καὶ τὸ ἐν τᾶι ἑτέραι, ἐν ἇι ἐστιν ἁ ΠΟ, ἐξ ἴσου τέ ἐντι κεί μενα καὶ συνεχέα. οὐχ ὁμοίως δὲ θλίβονται· τὸ μὲν γὰρ κατὰ τω των ΞΟ θλίβεται τῶι στερεῶι τῶι ΘΗ ΕΖ καὶ τῶι ὑγρῶι τῶι μεταξὺ τᾶν ἐπιφανειᾶν τᾶν κατὰ τὰν ΞΘ, ΛΜ καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐ πιπέδων, τὸ δὲ κατὰ τὰν ΠΟ τῶι ὑγρῶι ταν μεταξὺ τᾶν ἐπιφα νειᾶν τᾶν κατὰ τὰς ΠΟ, ΜΝ καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐπιπέδων. ἐλάσσων δὴ ἐσσεῖται τὸ βάρος τοῦ ὑ γροῦ τοῦ κατὰ τὰς ΜΝ, ΟΠ· τὸ μὲν γὰρ κατὰ τὸ ΡΣΤΥ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΕΖΗΘ στερεοῦ· αὐτῶι γὰρ τῶι κατὰ τὸ ΗΒΓΘ ἴσον ἐστὶν διὰ τὸ τῶι μεγέθει ἴσον εἶμεν καὶ ἰ σοβαρὲς ὑποκεῖσθαι τὸ στερεὸν τῶι ὑγρῶι· τὸ δὲ λοιπὸν τῶι λοιπῶι ἄνισόν ἐστι. δῆλον οὖν ὅτι ἐξω θήσεται τὸ μέρος τὸ κατὰ τὰν ΝΟΠ περιφέρειαν ὑπὸ τοῦ κατὰ τὰν ΟΞ περιφέρειαν, καὶ οὐκ ἐσσεῖ ται τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον. ὑ πόκειται δὲ ἀκίνητον ἐόν· οὐκ ἄ ρα ὑπερέξει τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας οὐδὲν τοῦ στερεοῦ με γέθεος. καταδὺν δὲ τὸ στερε ὸν οὐκ οἰσθήσεται ἐς τὰ κάτω· ὁμοίως γὰρ πάντα ἐσσοῦνται τὰ μέρεα τοῦ ὑγροῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα διὰ τὸ ἰσοβαρῆ εἶμεν τὸ ὑγρὸν καὶ τὸ ὑγρόν.

Figure 1.3.1 δ τῶν στερεῶν μεγεθέων εἴ κα κουφότερον ἦι τοῦ ὑγροῦ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὐ καταδύσεται ὅλον, ἀλλὰ ἐσσεῖταί τι αὐτοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. ἔστω γὰρ στερεὸν μέγεθος κουφότερον τοῦ ὑγροῦ καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν δεδυκέτω ὅλον, εἰ δυνατόν, καὶ μη δὲν αὐτοῦ ἔστω ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑ γροῦ ἐπιφανείας, καθεστακέτω δὲ τὸ ὑγρόν, ὥστε μένειν ἀκίνητον. νοείσθω δή τι ἐπίπεδον ἐκβε βλημένον διὰ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ διὰ τοῦ ὑγροῦ καὶ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τεμνέσθω δὲ ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τούτου ἡ μὲν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνεια κατὰ τὰν ΑΒΓ περιφέρειαν, τὸ δὲ στερεὸν μέγεθος κατὰ τὸ σχῆμα, ἐν ὧι Ζ, κέν τρον δὲ ἔστω τᾶς γᾶς τὸ Κ, νοείσθω δέ τις πυραμὶς περιλαμβάνου σα τὸ Ζ σχῆμα, καθ’ ἃ καὶ πρότε ρον, κορυφὰν ἔχουσα τὸ Κ σαμεῖ ον, τεμνέσθω δὲ αὐτᾶς τὰ ἐπίπε δα ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ κατὰ τὰς ΑΚ, ΚΒ, λελάφθω δέ τις καὶ ἄλλα ἴσα πυραμὶς καὶ ὁμοία ταύ ται, τεμνέσθω δὲ αὐτᾶς τὰ ἐπίπε δα ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου κατὰ τὰς ΚΒ, ΚΓ, γεγράφθω δέ τις καὶ ἄλλας σφαίρας ἐπιφάνεια ἐν τῶι ὑγρῶι περὶ κέντρον τὸ Κ, ὑποκάτω δὲ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τεμνέσθω δ’ αὕ τα ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου κα τὰ τὰν ΞΟΠ περιφέρειαν, νοείσθω δὲ καὶ μέγεθος ἀπολαμβανό μενον τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὸ Η ἐν τᾶι ὕστερον πυραμίδι ἴσον τὸ κατὰ τὸ Ζ στερεόν· τὰ δὲ μέρεα τοῦ ὑ γροῦ τοῦ ἐν τᾶι πρώται πυρα μίδι τὰ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰ ΞΟ περιφέρειαν καὶ τὸ ἐν τᾶι δευτέραι τῶν ὑπὸ τὰν ἐπι φάνειαν τὰν κατὰ τὸν ΟΠ περι φέρειαν ἐξ ἴσου τέ ἐντι κείμενα καὶ συνεχέα ἀλλάλοις. οὐχ ὁμοίως δὲ θλίβονται· τὸ μὲν γὰρ ἐν τᾶι πρώ ται πυραμίδι θλίβεται τῶι κατὰ τὸ Ζ στερεῶι μεγέθει καὶ τῶι περιέ χοντι ὑγρῶι αὐτὸ καὶ ἐόντι ἐν τῶι τόπωι τᾶς πυραμίδος τῶι κατὰ τὰ Α, Β, Ο, Ξ, τὸ δ’ ἐν τᾶι ἑτέραι πυρα μίδι θλίβεται τῶι ὑγρῶι τῶι πε ριέχοντι αὐτὸ καὶ ἐόντι τᾶς πυρα μίδος ἐν τῶι τόπωι τῶι κατὰ τὸ Π, Ο, Β, Γ, ἔστι δὲ τὸ βάρος τὸ κατὰ τὸ Ζ ἔλασσον τοῦ βάρεος τοῦ κατὰ τὸ ΖΗ, ἐπειδὴ τῶι μὲν μεγέθει ἴσον ἐστίν, κουφότερον δὲ ὑπόκειται τὸ στερεὸν μέγεθος εἶμεν τοῦ ὑ γροῦ, τὰ δὲ περιέχοντος ὑγροῦ τὰ Ζ, Η μεγέθεα ἑκατέρα τᾶν πυρα μίδων ἴσα· μᾶλλον οὖν θλιβή σεται τὸ μέρος τοῦ ὑγροῦ τὸ ὑπὸ τὴν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰν ΟΠ περιφέρειαν· ἐξωθήσει οὖν τὸ ισσον θλιβόμενον, καὶ οὐ με νεῖ τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον. ὑπέκει το δέ· οὐκ ἄρα καταδύσεται ὅλον, ἀλλ’ ἔσσεταί τι αὐτοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑ γροῦ ἐπι φανείας.

Figure 1.4.1 ε τῶν στερεῶν μεγεθέων ὅ κα ἦι κου φότερον τοῦ ὑγροῦ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑ γρὸν τοσοῦτο καταδύσεται, ὡς τὸν ταλικοῦτον ὄγκον τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ καταδεδυκότος ὄγκος, ἴσον βάρος ἔχειν ὅλωι τῶι μεγέθει. κατασκευάσθω ταὐτὰ τοῖς πρότε ρον, καὶ ἔστω τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον, ἔστω δὲ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ τὸ ΕΖ ΗΘ μέγεθος. ἐπεὶ οὖν ἀκίνητόν ἐστιν τὸ ὑγρόν, ὁμοίως θλιβήσεται τὰ μέρεα αὐτοῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα· ὁμοίως ἄρα θλιβήσεται τὸ ὑγρὸν τὸ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κα τὰ τὰ ΝΞΟ καὶ ΠΟ περιφέρειαν· ὥσ τε ἴσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὧι θλίβον ται. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑγροῦ τὸ βάρος τὸ ἐν τᾶι πρώται πυραμίδι χωρὶς τοῦ ΒΗΘ στερεοῦ ἴσον τῶι βάρει τῶι τοῦ ἐν τᾶι ἑτέραι πυραμίδι χωρὶς τοῦ ΡΣΤΥ ὑγροῦ· δῆλον οὖν ὅτι τὸ τοῦ ΕΖΗΘ μεγέθεος βάρος ἴσον ἐστὶ τῶι τοῦ ΡΣΤΥ ὑγροῦ βάρει. φα νερὸν οὖν ὅτι ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκον ἐστὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ στε ρεοῦ μεγέθεος, ἴσον βάρος ἔχει ὅλωι τῶι μεγέθει.

Figure 1.5.1 ϛ τὰ κουφότερα στερεὰ τοῦ ὑγροῦ βιασθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν ἀναφέρεται τοσαύται βίαι ἐς τὸ ἄνω, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὃ βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον ἔχον τῶι μεγέθει. ἔστω τι μέγεθος τὸ Α κουφότερον τοῦ ὑγροῦ, ἔστω δὲ τοῦ μὲν μεγέθεος τοῦ ἐν ὧι Α βάρος τὸ Β, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγ κον ἔχοντος τῶι Α τὸ ΒΓ. δεικτέον ὅτι τὸ Α μέγεθος βιασθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν ἀν οισεῖται ἐς τὸ ἐπάνω τοσαύται βίαι, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος τὸ Γ. λελάφθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἐν ὧι τὸ Δ βάρος ἴσον ἔχον τῶι Γ· τὸ δὴ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμ φοτέρων τῶν ἐν οἷς Α, Δ μεγεθέων ἐς τὰ αὐτὰ συντεθὲν κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ· ἔστι γὰρ τοῦ μὲν με γέθεος τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων βάρος τὸ ΒΓ, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος αὐτῶι μεῖζον τοῦ ΒΓ δι ὰ τὸ τοῦ ἴσον ἔχοντος ὄγκον τῶι τοῦ Α τὸ βάρος εἶμεν τὸ ΒΓ. ἀφε θὲν οὖν ἔστω τὸ ὑγρὸν τὸ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν Α, Δ συγ κειμένων ἐς τοσοῦτον δύσεται, ἔστε κα ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑγροῦ, ἄδικον καὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ μεγέθεος, ἴσον βάρος ἔχει τῶι ὅλωι μεγέθει· δέδεικται γὰρ τοῦ το. ἔστω δὲ ἐπιφάνειά τινος ὑ γροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφερείας. ἐπεὶ οὖν ὁ ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑ γροῦ, ἁλίκον ἐστὶ τὸ Α μέγεθος, ἴσον βάρος ἔχει τοῖς Α, Δ μεγέθε σιν, δῆλον ὅτι τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ ἐσσεῖται τὸ Α μέγεθος, τὸ δὲ λοιπὸν αὐτοῦ, ἐν ὧι Δ, ἐσσεῖται ὅλον ὑπὲρ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας· εἰ γὰρ α δέδυκεν τὸ στερεόν, ἕπεται τούτου δεδειγμένου. δῆ λον οὖν ὅτι ἐς τὸ ἄνω φέρεται τὸ Α μέγεθος ὑπὸ τοῦ ἄνω τοῦ Δ ἐς τῶι κάτω, ἐπεὶ οὐδέτερον ὑπ’ οὐ δετέρου ἐξωθεῖτο. ἀλλὰ τὸ Δ ἐς τὸ κάτω θλίβει τοσούτωι βάρει, ἁλίκον ἐστὶ τὸ Γ· ὑπέκειτο γὰρ τὸ βάρος τὸ ἐν ὧι τὸ Δ εἶμεν ἴσον τῶι Γ· δῆ λον οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι. ἑξῆς ἡ καταγραφὴ τοῦ σχήματος

Figure 1.6.1 ζ τὰ βαρύτερα τοῦ ὑγροῦ ἀφεθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν οἰσεῖται κάτω, ἔστ’ ἂν καταβᾶντι, καὶ ἐσσοῦνται κουφότε ρα ἐν τῶι ὑγρῶι τοσοῦτον, ὅσον ἔχει τὸ βάρος τοῦ ὑγροῦ τοῦ ταλικοῦ τον ὄγκον ἔχοντος, ἁλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος ὄγκος. ὅτι μὲν οὖν οἰσεῖται ἐς τὸ κάτω, ἔστ’ ἂν καταβᾶντι, δῆλον· τὰ γὰρ ὑπο κάτω αὐτοῦ μέρεα τοῦ ὑγροῦ θλι βησοῦνται μᾶλλον τῶν ἐξ ἴσου αὐτοῖς κειμένων μερέων, ἐπειδὴ βαρύ τερον ὑπόκειται τὸ στερεὸν μέ γεθος τοῦ ὑγροῦ· ὅτι δὲ κουφότερα ἐσσοῦνται, ὡς εἴρηται, δειχθήσεται. ἔστω τι μέγεθος τὸ Α, ὅ ἐστι βαρύτερον τοῦ ὑγροῦ, βάρος δὲ ἔστω τοῦ μὲν ἐν ὧι Α μεγέθεος τὸ ΒΓ, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος τῶι Α τὸ Β. δει κτέον ὅτι τὸ Α μέγεθος ἐν τῶι ὑγρῶι ἐὸν βάρος ἕξει ἴσον τῶι Γ. λελά φθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἐν ὧι τὸ Δ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος αὐτῶι, ἔστω δὲ τοῦ μὲν ἐν ὧι τὸ Δ μεγέθεος βάρει ἴσον τῶι Β βάρος, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴ σον ὄγκον ἔχοντος τῶι Δ μεγέθει τὸ βάρος ἔστω ἴσον τῶι ΒΓ βάρει. συντεθέντων δὴ ἐς τὸ αὐτὸ τῶν με γεθέων, ἐν οἷς τὰ Α, Δ, τὸ τῶν συν αμφοτέρων μέγεθος ἰσοβαρὲς ἐσσεῖται τῶι ὑγρῶι· ἔστι γὰρ τῶν μεγεθέων συναμφοτέρων τὸ βάρος ἴσον συναμφοτέροις τοῖς βάρε σιν τῶι τε ΒΓ καὶ τῶι Β, τοῦ δὲ ὑ γροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος ἀμ φοτέροις τοῖς μεγέθεσι τὸ βά ρος ἴσον ἐστὶ τοῖς αὐτοῖς βάρε σιν. ἀφεθέντων οὖν τῶν μεγε θέων ἐς τὸ ὑγρὸν ἰσορροπησοῦν ται τῶι ὑγρῶι καὶ οὔτε εἰς τὸ ἄνω· διὸ τὸ μὲν ἐν ὧι Α μέγεθος οἰσεῖ ται ἐς τὸ κάτω καὶ τοσαύται βίαι ὑ πὸ τοῦ ευ ἐν ὧι Δ μεγέθεος ἀν έλκεται ἐς τὸ ἄνω, τὸ δὲ ἐν ὧι Δ μέγεθος, ἐπεὶ κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ, ἀνοισεῖται εἰς τὸ ἄνω τοσαύται βίαι, ὅσον ἐστὶ τὸ Γ βά ρος· δέδεικται γὰρ ὅτι τὰ κουφότερα τοῦ ὑγροῦ μεγέθεα στερεὰ βιασ θέντα ἐς τὸ ὑγρὸν ἀναφέρονται τοσαύται βίαι ἐς τὸ ἄνω, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὡς βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον τῶι Δ μεγέθει. ἔστι δὲ τῶι Γ βάρει βαρύτερον τοῦ Δ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον ἔχον τῶι Δ· δῆλον οὖν ὅτι καὶ ἐν ὧι Α μέγεθος ἐς τὸ κάτω οἰσεῖ ται τοσούτωι βάρει, ὅσον ἐστὶ τὸ Γ. ὑποκείσθω τῶν ἐν τῶι ὑγρῶι ἄνω φερομένων ἕκαστον ἀναφέρεσθαι κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ κέν τρου τοῦ βάρεος αὐτοῦ ἀγμέναν. εἴ κα στερεόν τι μέγεθος κουφότε ρον τοῦ ὑγροῦ σφαίρας τμάματος ἔχον σχῆμα εἰς τὸ ὑγρὸν ἀφεθῆι οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὀρθὸν κατα στασεῖτε τὸ σχῆμα οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα τοῦ τμάματος κατὰ κά θετον εἶμεν· καὶ εἴ κα ὑπό τινος ἕλκηται τὸ σχῆμα οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὐ μενεῖ κεκλιμένον, ὡς εἴ κα ἀφεθῆι, ἀλλ’ ὀρθὸν ἀποκα ταστασεῖται. νοείσθω γάρ τι μέγε θος, οἷον εἴρηται, ἐς τῶ ὑγρὸν ἀφε θέν, καὶ διά τε τοῦ ἄξονος τοῦ τμάματος καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς νοείσθω ἐπίπεδον ἐκβεβλ ημένον, τομὰ δ’ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒΓΔ, τοῦ δὲ σχήματος τοῦ ἐς τὸ ὑγρὸν ἀ φεθέντος ἁ ΕΖΗΘ περιφέρει α, ἄξων δὲ τοῦ τμάματος ἔστω ὁ ΘΖ· τὸ δὴ κέντρον τᾶς σφαίρας ἔστιν ἐπὶ τᾶς ΘΖ. πρῶτον μὲν, εἰ μεῖζόν ἐστιν ἡμισφαιρίου τὸ τμᾶ μα, ἔστω τὸ Κ, καὶ ἔστω, εἰ δυνατόν, κεκλιμένον τὸ σχῆμα ἤτοι ὑπό τινος κλιθὲν ἢ ταὐτό. δεικτέον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλ’ εἰς ὀρθὸν ἀποκα ταστασεῖται, ὥστε τὰ Ζ, Θ κατὰ κάθετον εἶμεν. ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται κε κλίσθαι τὸ σχῆμα, οὐκ ἔστι τὰ Ζ, Ε κα τὰ κάθετον. ἄχθω δὴ διὰ τοῦ Κ καὶ τοῦ ΛΑ ΚΛ, τὸ δὲ Λ κέντρον ὑποκείσ θω τᾶς γᾶς· τὸ δὴ σχῆμα τὸ ἐν τῶι ὑγρῶι ἀπολελαμμένον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τᾶς ΚΛ· εἰ γάρ κα δύο σφαι ρᾶν ἐπιφάνειαι τέμνοντι ἀλλήλας, ἁ τομὰ κύκλος ἐστὶν ὀρθὸν ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τὰν ἐπιζευγνύουσαν τὰ κέντρα τᾶς σφαίρας. ἔστιν οὖν τοῦ σχήματος τοῦ κατὰ τὰν ΒΗΓ περιφέρειαν ἀπολαμβανομένου ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ κέντρον τοῦ βάρε ος ἐπὶ τᾶς ΚΛ· ἔστω τὸ Ρ. τοῦ δὲ τμά ματος ὅλου τοῦ κατὰ τὰν ΘΗΖ περι φέρειαν τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρε ος ἐπὶ τᾶς ΖΘ· ἔστω τὸ Ξ. τοῦ ἄρα λοιποῦ σχήματος τοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸ κέν τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΡΞ ἐκβλη θείσας καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς τᾶς ΕΞ ποτὶ τὰν ΞΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ κατὰ τὰν ΒΝΓ περιφέρειαν τοῦ τμάματος ποτὶ τὸ βάρος τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ· δέδει κται γὰρ ταῦτα. ἔστω δὴ τὸ Σ κέν τρον τοῦ εἰρημένου σχήματος. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν σχήματος, ὅ ἐστιν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, τὸ βάρος ἐς τὸ κάτω φέρεται κα τὰν εὐθεῖαν τὰν ΛΣ, τὸ δὲ ΕΝ τῶι ὑγρῶι ἔστω ἄν κατὰ τᾶς εὐθείας τᾶς ΡΚ, δῆλον ὡς οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τὰ πο τὶ τὰν ΕΗ μέρεα αὐτοῦ ἔστω κάτω οἰσοῦνται, τὰ δὲ ποτὶ τὰν Η ἔστω ἄνω, καὶ ἀεὶ ἐς τὸ αὐτὸ οἰσοῦνται, ἕ ως κα ἁ ΖΘ κατὰ κάθετον γέ νηται. κατὰ κάθετον δὲ γενομέ νας τᾶς ΖΘ τὰ κέντρα τοῦ βά ρεος ἐσοῦνται τοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι καὶ τοῦ ἐκτὸς ἐπὶ τᾶς αὐτᾶς καθέ του· ἐπιγραφὰς τᾶς ΖΘ ἐσσεῦνται· ἀντιθλιψοῦνται οὖν ἀλλήλοις τὰ ΒΑ κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον, τὸ μὲν ἔστω κάτω φερόμενον, τὸ δὲ ἔσ τω ἄνω. ὥστε μένει τὸ σχῆμα· οὐδέτερον γὰρ ὑπ’ οὐδετέρου ἐξωθή σει. τὰ δ’ αὐτὰ ἐσσεῖται καὶ εἰ κατὰ τὸ σχῆμα ἡμισφαίριον ἦι τῆ ἔλασ σον ἡμισφαιρίου. καὶ τοίνυν, εἰς τὸ σχῆμα κουφότερον ἐὸν ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῆι ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῶι ὑγρῶι, ὀρθὸν κατατασεῖται τὸ σχῆμα οὕτως, ἔστω τὸν ἄξονα αὐτοῦ καθ’ ἑαυτὸν εἶμεν. νοείσθω γάρ τι μέγεθος, οἷον εἴρηται, εἰς τὸ ὑγρὸν ἀφετώμενον, νοείσθω δὲ καὶ ἐπίπεδον ἀγόμενον διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ τμάματος καὶ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ γλα, τομὰ δὲ ἔστω τᾶς μὲν ἐπι φανείας τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒΓΔ πε ριφέρεια, τοῦ δὲ σχήματος ἁ ΕΖΗ περιφέρεια καὶ ἁ ΕΗ εὐθεῖα, ἄ ξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος ἁ ΖΘ. εἰ οὖν δυνατόν, μὴ κατὰ ὀρθὸν ἔστω ἁ ΖΘ· εἰ κται οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ ἐπ’ ὀρθὸν κατασ τασεῖται. ἔστι δὴ τὸ κέντρον τᾶς σφαίρας ἐπὶ τᾶς ΖΘ· πάλιν γὰρ ἡμισφαιρίου ἔστω πρῶτον τὸ σχῆμα· καὶ ἔστω τὸ Κ· διὰ δὲ τοῦ Κ καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς τοῦ Λ ἄχθω ἁ κατὰ τὸ σχῆμα τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑ γροῦ ἀπολαμβανόμενον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τᾶς διὰ τοῦ Κ, διὰ ταὐτὰ τοῖς πρότερον ἔστιν αὐτοῦ τὸ κέν τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τασι ΙΒ· ἔστω γὰρ τὸ Ρ. τοῦ δὲ ὅλου τμάματος τὸ κέν τρον τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τᾶς ΖΘ μεταξὺ τῶν Κ, Ζ· ἔστω τὸ Τ. τοῦ ἄρα λοιποῦ σχήματος τοῦ ἐν τῶι ὑ γρῶι τὸ κέντρον ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς Τ εὐθείας ἐκβληθείσας τινός, δείξει περὶ τὸν ΤΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ἔχει τὸ μέρος τοῦ τμάματος ἐκ τὸς τοῦ ὑπο τὶ τὸ βάρος τοῦ σχή ματος τοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι· κατὰ τὸ Ο κέντρου εἰρημένου σχήματος, διὰ τοῦ κάθετος ἔστω τὸ ΘΣΛ· οἰ σεῖται οὖν τὸ βάρος τοῦ μὲν τμά ματος ὅ ἐστιν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, κατὰ τᾶς εὐθείας τᾶς ΡΛ ἔστω κάτω, τοῦ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι σχήματος κατὰ τᾶς εὐθείας τᾶς ΕΛ ἔστω ανω. οὐκ ἄρα μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τὰ μ μὲν τοῦ σχάματος τὰ μὲν ποτὶ τῶι Η μέρη οἰσοῦται ἔστω κάτω, τὰ δὲ ποτὶ τὸ Ε ἔσται τὸ ἄνω, καὶ ἀεὶ τοῦτο ἐσσεῖται, καὶ ΕΖ κατὰ κά θετον γένηται. Συρακουσίου Ἀρχι μήδους Ὀχουμένων Α

Figure 1.9.1

Β α εἴ κά τι μέγεθος κουφότερον ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῆι ἐς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἕξει τὸν λόγον τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν ἔχει τὸ δεδυκὸς μέγεθος ποτὶ τὸ ὅλον μέγεθος. ἀφείσθω γάρ τι εἰς τὸ ὑγρὸν μέγεθος στερε ὸν τὸ ΦΑ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ ἐόν, ἔστω δὲ τὸ μὲν δεδυκὸς αὐτοῦ τὸ Α, τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ Φ. δεικτέον ὅτι τὸ ΦΑ τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσογκον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ. λελάφθω γάρ τι τοῦ ὑγροῦ μέγεθος τὸ ΝΙ ἴσον ὄγκον ἔχον τῶι ΦΑ, καὶ τῶι μὲν Φ ἴσον ἔσ τω τὸ Ν, τῶι δὲ Α τὸ Ι, καὶ ἔτι τὸ μὲν τοῦ ΦΑ μεγέθεος βάρος ἔστω τὸ Β, τοῦ δὲ ΝΙ τὸ ΡΟ, τοῦ δὲ Ι τὸ Ρ· τὸ ΦΑ ἄρα ποτὶ τὸ ΝΙ τοῦτον ἔχει τὸν λό γον, ὃν τὸ Β ποτὶ τὸ ΡΟ. ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ ΦΑ μέγεθος ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφεθὲν κου φότερον ὑπάρχον τοῦ ὑγροῦ, δῆ λον ὡς ὁ τοῦ δεδυκότος μεγέ θεος ὄγκος ἴσον βάρος ἔχει τῶι ΦΑ μεγέθει· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἴσον ἄρα τὸ Β βάρος τῶι Ρ, ἐπειδὴ τὸ μὲν Β τὸ βάρος ἐστὶ ὅλου τοῦ ΦΑ μεγέθεος, τὸ δὲ Ρ τοῦ Ι ὑγροῦ, ὃ τῶι μεγέθει ἐγένετο ἴσον τὸ ἴσον ὄγκον ἔχοντι τῶι δεδυκότι μεγέθει τῶι Α· ἔχει ἄρα τὸ ΦΑ μέγεθος τῶι βάρει ποτὶ τὸ ΝΙ ὡς τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ Ι ποτὶ τὸ ΙΝ καὶ τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ· δέδεικται τὸ προτεθέν.

Figure 2.1.1 τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχηι μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέ χρι τοῦ ἄξονος, πάντα λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῶι βάρει, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμέ νον, ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν. ὀρθὸν δὲ λέγω καθεστακέναι τὸ τοιοῦτο τμᾶμα, ὁπόταν τὸ ἀπο τετμακὸς αὐτὸ ἐπίπεδον παρὰ τὰν ἐπιφάνειαν ἦι τοῦ ὑγροῦ. ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοει δέος, οἷον εἴρηται, καὶ κείσθω κεκλιμένον. δεικτέον ὅτι οὐ με νεῖ, ἀλλ’ ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν. τμαθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδωι διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῶι ποτὶ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπὶ τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ τμάματος ἔστω το μὰ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἄξων δὲ τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΝΟ, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τομὴ ἁ ΙΣ. ἐπεὶ οὖν τὸ τμᾶμα οὐ κ ἐστὶν ὀρθόν, οὐκ ἂν εἴη παράλ ληλος ἁ ΑΛ τῆς ΙΣ· ὥστε οὐ ποι ήσει ὀρθὰν γωνίαν ἁ ΝΘ ποτὶ τὰν ΙΣ. ἄχθω οὖν παράλληλος ἡ ἐ φαπτομένη ΙΣΚΩ τῶι τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Π, καὶ ἀπὸ τοῦ Π παρὰ τὰν ΝΟ ἄχθω ἁ ΠΦ· τέ μνει δὴ ἁ ΠΦ δίχα τὰν ΙΣ· δέδει κται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς. τετμάσ θω ἁ ΠΦ, ὥστε εἶμεν διπλασίαν τὰν ΠΒ τᾶς ΒΦ, καὶ ἁ ΝΟ κατὰ τὸ Ρ τετμά σθω, ὥστε καὶ ΟΡ τᾶς ΡΗ διπλῆν εἶμεν· ἐσσεῖται δὴ τοῦ μείζονος ἀπ οτμάματος τοῦ στερεοῦ κέν τρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ, τοῦ δὲ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τὸ Β· δέδεικται γὰρ ἐν ταῖς ἰσορροπείαις, ὅτι παν τὸς ὀρθογωνίου κώνου εἰδοῦς τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βά ρεός ἐστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος διηι ρήσθω οὕτως, ὥστε τὸ ποτὶ τᾶι κορυφᾶι τοῦ ἄξονος τμᾶμα διπλάσιον εἶμεν τοῦ λοιποῦ. ἀ φαιρεθέντος δὴ τοῦ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τμάματος στερεοῦ ἀ πὸ τοῦ ὅλου τοῦ λοιποῦ κέν τρον ἐσσεῖται τοῦ βάρους ὁ ἐπὶ τᾶς ΒΓ εὐθείας· δέδεικται γὰρ τοῦ το ἐν τοῖς Στοιχείοις τῶν μηχα νικῶν ὅτι, εἴ κα μέγεθος ἀφαιρεθῆι μὴ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τοῦ βάρεος τῶι ὅλωι μεγέθει, τοῦ λοιποῦ τὸ κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιζευγνυούσας τὰ κέντρα τοῦ τε ὅλου μεγέθεος καὶ τοῦ ἀφηιρημένου ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ’ οὗ τὸ κέντρον τοῦ ὅλου μεγέ θεός ἐστιν. ἐκβεβλήσθω δὴ ἁ ΒΡ ἐπὶ τὸ Γ, καὶ ἔστω τὸ Γ τοῦ βάρεος τοῦ λοιποῦ μεγέθεος. ἐπεὶ οὖν ἁ ΝΟ τᾶς μὲν ΟΡ ἡμιολία, τᾶς δὲ μέχρι τοῦ ἄξονος οὐ μεῖζον εἰ ἡμιολί α, δῆλον ὅτι ἁ ΡΟ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος οὐκ ἐστὶ μείζων· ἡ ΠΡ ἄρα ποτὶ τὰν ΚΩ γωνίας ἀνίσους ποιεῖ, καὶ ἁ ὑπὸ τῶν ΡΠΩ γίνεται ὀξεῖ· ἁ ἀπὸ τοῦ Ρ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὰν ΠΩ ἀγομένα μεταξὺ πεσεῖται τῶν Π, Ω. πιπτέτω ὡς ἁ ΡΘ· ἁ ΡΘ ἄρα ὀρθά ἐστιν ποτὶ τὸ κ ος ἐπίπεδον, ἐν ὧι ἐστιν ἁ ΣΙ, ὅ ἐστιν ἡ ἐπὶ τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ. ἄχθωσαν δή τινες ἀπὸ τῶν Β, Γ παρὰ τὰν ΡΘ· ἐνεχθήσεται δὴ τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τοῦ μεγέ θεος εἰς τὸ κάτω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν κάθετον· ὑπόκειται γὰρ ἕκαστον τῶν βαρέων εἰς τὸ κάτω φέρεσθαι κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ κέντρου ἀγομέναν· τὸ δὲ ἐν τῶι ὑγρῶι μέγεθος, ἐπὶ κουφό τερον γίνεται τοῦ ὑγροῦ, ἐνεχθή σεται εἰς τὸ ἄνω κατὰ τὰν κάθε τον τὰν διὰ τοῦ Β ἀγομέναν. ἐπι πέδου κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον ἀλλὰ σι ληω ἀντιθλίβονται, οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ τὰ μὲν κατὰ τὸ Α εἰς τὸ ἄνω ἐνεχθήσεται, τὰ δὲ κατὰ τὸ Λ εἰς τὸ κάτω, ἀεὶ ἔστε, ἕως ἂν ὀρθὸν ἀποκατασταθῆι. ἑξῆς τὸ σχῆμα

Figure 2.2.1 ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κω νοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχηι μὴ μείζονα ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοὺς ἄξονας, πάντα λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῶι βάρει, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῶι ὑγρῶι, τε θὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλι μένον, ἀλλ’ ἀποκαταστασεῖται οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κα τὰ κάθετον εἶμεν. ἀφείσθω γάρ τι τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρόν, οἷον εἴρηται, καὶ ἔστω αὐτοῦ ἁ βάσει ἐν τῶι ὑ γρῶι, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέ δωι διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῶι ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ το μὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἄξων δὲ τοῦ τμά ματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΠΦ, τᾶς δὲ ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ το μὰ ἁ ΙΣ. ἐπειδὴ οὖν κεκλιμένον κεῖται τὸ τμᾶμα, οὐκ ἐσσεῖται κα τὰ κάθετον ὁ ἄξων· οὐκ ἄρα ποιήσει ἁ ΠΦ ἴσας γωνίας ποτὶ τὰν ΙΣ. ἄχθω δή τις ἁ ΚΩ παρὰ τὰν ΙΣ ἐφαπτομένα κατὰ τὸ Ο τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς, καὶ τομὴ ΑΠΟΛ στερεοῦ ἔστω τοῦ βάρεος τὸ Ρ, τοῦ δὲ ΙΠΟΣ στερεοῦ τὸ Β, καὶ ἐπιζευχθεῖσα δὴ ΒΡ ἐκβεβλήσ θω, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Γ τοῦ ΙΣΛΑ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ μὲν ὑπὸ τᾶν ΡΟ, ΟΚ γωνίαν ὀξεῖ α, ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ κάθετος ἐπὶ τὰν ΚΩ ἀγομένα μεταξὺ πίπτουσα τῶν Κ, Ω· ἔστω ἁ ΡΘ. ἐὰν δὲ ἀπὸ τῶν Γ, Β ἀχθῆι τινες παρὰ τὰν ΡΘ, τὸ μὲν ἐν τῶι ὑγρῶι ἀπολαφθὲν ἐνεχθήσεται ἄνω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν, τὸ δ’ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὰν διὰ τοῦ Β ἀγομέ ναν κάτω, καὶ οὐ μενεῖ τὸ ΑΠΟΛ στερεὸν οὕτως ἔχον ἐν τῶι ὑγρῶι, ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ τὸ Α ἄνω τὰν φορὰν ἕξει, τὸ δὲ κατὰ τὸ Λ κάτω, ἕως ἂν γένηται ἁ ΠΦ κατὰ κάθ ετον.

Figure 2.3.1 τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὁπόταν κουφότε ρον ἦι τοῦ ὑγροῦ καὶ τὸν ἄξονα ἔχηι μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέ χρι τοῦ ἄξονος, ὅταν τῶι βάρει ποτὶ τὸ ἴσογκον ὑγρὸν μὴ ἐλάσ σονα λόγον ἔχηι τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπερο χᾶς, ἇι μεῖζόν ἐστιν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμέ νον, ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται εἰς ὀρθόν. ἔστω τμᾶμα ὀρθο γωνίου κωνοειδέος, οἷον εἴρη ται, καὶ ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρόν, εἰ δυ νατόν, ἔστω μὴ ὀρθόν, ἀλλὰ κεκλιμένον, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδωι διὰ τοῦ ἄξονος ὀρ θῶι ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τοῦ μὲν τμάματος τομὰ τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνί ου κωνοειδέος, ὅταν τὸ ὑγρὸν κου φότερον ἦι καὶ τὸν ἄξονα ἔχηι μείζονα ην ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος ἢ ἡμιόλιον τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος, ὃν τὰ ΡΕ ποτὶ ΔΑ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως ὥστε τὰν βάσιν ὅ λαν εἶμεν ἐν τῶι ὑγρῶι, οὐδέποτε καταστασεῖται οὕτως, ὥστε τὰν βά σιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑ γρὸν καθάπερ ἐρρέθη καθε στακέτω οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐ τοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας. δεικτέον ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλὰ ἀνακλιθήσεται οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐ τοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. τμαθέντος γὰρ αὐτοῦ ἐπιπέδωι ὀρθῶι ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἔστω δὲ καὶ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας τομὰ ἁ ΣΑ, ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος ἁ ΠΦ, πάλιν δὲ τεμνέσθω ἁ ΠΦ κατὰ μὲν τὸ Ρ, ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΡΠ τᾶς ΡΦ, κατὰ δὲ τὸ Ω, ὥστε τὰν ΠΦ ποτὶ τὰν ΡΩ λόγον ἔχειν ὃν τὰ ΙΕ ποτὶ τὰ Δ, καὶ ἁ ΩΚ ὀρθὰ ἄχθω τᾶι ΠΦ· ἐσσεῖται δὴ ἐλάσσων ἁ ΡΩ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. ἀπολελάφθω οὖν τᾶι μέχρι τοῦ ἄξονος ἴσα ἁ ΡΗ, καὶ ἁ μὲν ΤΟ ἄχθω ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Ο παράλληλος ἐοῦσα τᾶι ΣΛ, ἁ δὲ ΝΟ τᾶι ΠΦ, τεμνέτω δὲ ἁ ΝΟ τὰν ΚΩ πρότερον κατὰ τὸ Ι. ὁμοίως δὴ τῶι πρὸ τούτου δειχθήσεται ὅτι ἁ ΝΟ ἤτοι ἡμιολία τᾶς ΟΙ ἢ μεῖ ζον ἡμιολία· γίνεται δὴ ἁ ΟΙ τᾶς ΙΝ ἐλάσσων ἢ διπλασία. τᾶς ΒΝ, καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτά· ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ ΡΘ ὀρθὰς γωνίας ποιοῦσα ποτὶ τὰν ΤΟ καὶ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, καὶ ἀπὸ τῶν Β, Γ ἀχθεῖσαν παρὰ τὰν ΡΘ κάθετοι ἐσσοῦνται ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν. κατενεχθήσεται οὖν τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν κατὰ τὰν διὰ τοῦ Β κάθετον, τὸ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι ἀνενεχθήσεται κατὰ τὰν Γ· φανερὸν οὖν ὅτι ἐπικλιθήσεται τὸ στερεόν, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μη δὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐ ἐπιφανείας, ἐπειδὴ νῦν καθ’ ἓν σα μεῖον ἁπτόμενον ἐπὶ τὸ κάτω φέρε ται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶι Α. φανερὸν δὲ ὅτι, κἂν ἁ ΟΝ μὴ τέμνηι τὰν ΩΚ, ταῦτα δειχθήσεται.

Figure 2.7.1 τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχηι μείζονα ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον ὃν ἔχει τὰ ΙΕ η ποτὶ τὰ Δ, ὅταν τὸ βάρος ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχηι τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπερο χᾶς, ἇι μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμι όλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὔτ’ ἐς ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται οὐ μὴν κεκλιμένον, πλὴν ὁπόταν ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ποι ῆι γωνίαν ἴσαν τᾶι μελλούσαι λέ γεσθαι. ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ ἁ ΒΔ ἴσα τῶι ἄξονι, καὶ ἁ μὲν ΒΚ τᾶς ΚΔ διπλασία, ἁ δὲ ΚΡ ἴσα τᾶι μέχρι τοῦ ἄξονος, ἔστω δὴ καὶ ἁ μὲν ΤΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ, ἁ δὲ ΤΔ τᾶς ΚΡ, ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ, ἔστω δὲ καὶ ἁ Φ διπλασία τᾶς Χ. δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΦΧ ποτὶ τὰν ΔΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἁ Β ποτὶ τὰν ΒΔ· ἔστι γὰρ ὑπεροχά, ἇι μείζων ἡμιόλιος ὁ ἄξων τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος· ἐλάσσων ἄρα ἁ ΦΧ τᾶς ΒΤ· ὥσ τε καὶ ἁ Φ τᾶς ΒΡ. ἔστω δὴ τᾶι Φ ἴσα ἁ ΡΨ, καὶ τᾶι ΒΔ ὀρθὰ ἄχθω ἁ ΨΕ δυναμένα τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΚΡ, ΒΨ, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΒΕ. δει κτέον ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὡς εἴρηται καταστασεῖται κεκλιμένον, ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν ἴσαν τᾶι ΕΒΨ. ἀφήσθω γάρ τι ἐς τὸ ὑγρὸν τμᾶμα, καὶ ἁ βάσις αὐτοῦ μὴ ἁπτέσθω τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καί, εἰ δυνατόν, μὴ ποιείσθω ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἴσαν τᾶι Β, ἀλλὰ μείζω πρῶτον. τμα θέντος δὴ τοῦ τμάματος ἐπιπέ δωι διὰ τοῦ ἄξονος ποτὶ τὰν ἐπιφά νειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔσται ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογώνιον κώνου τομά, ἐν δὲ τᾶι τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείαι ἁ ΞΣ, ἄξων δὲ καὶ διάμετρος τοῦ τμήματος ἁ ΝΟ. ἄχθω δὴ καὶ ἁ μὲν ΠΥ πα ρὰ τὰν ΞΣ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς κατὰ τὸ Π, ἁ μὲν ΠΜ ἄρα τὰν ΝΟ, ἁ δὲ ΠΙ κάθετος ἐπὶ τὰν ΝΟ, καὶ τῆι ΒΡ ἔστω ἡ ΗΒ τῆι ΟΩ, ἁ δὲ ΡΚ τᾶι ΩΘ, καὶ ὴ ὀρθὴ ἁ ΩΗ τῶι ἄξονι. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὁ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφά νειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν μεί ζονα τᾶς Β, δῆλον ὅτι τοῦ ΠΙΥ τριγώνου ἁ ποτὶ τῶι Υ γωνία μείζον τᾶς Β· μείζονα δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ. ἀλλ’ ὃν μὲν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ, τοῦτον ἔχει ἁ ΚΡ ποτὶ ΥΙ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ, τοῦτον ἔχει ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΚΡ ποτὶ τὰν ΥΙ η ΠΕΗ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ· ἐλάσσων ἄρα ἢ διπλῆ ἁ ΥΙ τᾶς ΨΒ. τᾶς δὲ ἐλάσσων ἄρα ἁ ΟΙ τᾶς ΨΒ· ὥστε ἁ ΙΩ μείζων ἐστὶ τᾶς ΨΡ. ἁ δὲ ΨΡ ἴσα ἐστὶ τῆς Φ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἁ ΙΩ τᾶς Φ. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἔχειν λό γον, ὃν τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ ποτὶ τὸ ὅλον τμᾶμα, ὃν δὲ τὸ δεδυ κὸς ποτὶ τὸ ὅλον, τοῦτον ἔχει τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΜ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΝ, ὃν ἄρα λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΜΠ ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΝ· ἴσα ἄρα ἐστὶν ἁ ΦΧ τᾶι ΠΜ. ἁ δὲ ΠΗ ἐδείχθη μείζων ἐοῦσα τᾶς Φ· δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΠΜ ἐλάσσων ἡμιολία ἐστὶν τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ ΠΗ τᾶς ΝΜ μείζων ἢ διπλασίων. ἔστω οὖν ἁ ΠΖ δι πλασίων τᾶς ΖΜ· ἐσσεῖται δὴ τὸ μὲν Θ κέντρον τοῦ βάρεος στε ρεοῦ, τοῦ δὲ ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ Ζ· τοῦ δὴ λοιποῦ μεγέθεος τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς ΖΘ εὐ θείας ἐπιζευχθείσας καὶ ἐκ βεβλήσθω ἐπὶ τὸ ΕΠ· δειχθήσ εται δὲ ὁμοίως ἁ ΘΗ κάθ ετος ἐοῦσα ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, καὶ τὸ μὲν ἐντὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὰν διὰ τοῦ Ζ ἀγμέναν κάθε τον ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνει αν, τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἐντὸς κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ· οὐ μενεῖ δὲ τὸ τμᾶμα κατὰ τὰν ὑπο κειμέναν κλίσιν. οὐδὲ μὴν εἰς τὸ ὀρ θὸν ἀποκαταστασεῖται. δῆλον δὲ διὰ τούτων· ἐπειδὴ τῶν ἀγμένων διὰ τῶν Ζ, Γ καθέτων ἁ μὲν διὰ τοῦ Ζ ἀγμένα τῆς ΓΖ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρεα πίπτει, ἐφ’ ἅ ἐστι τὸ Γ, ἁ δὲ διὰ τοῦ Γ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῆι Ζ, δῆλον ὅτι διὰ τὰ προειρημένα τὸ μὲν Ζ κέν τρον ἄνω οἰσθήσεται, τὸ δὲ Γ κάτω· ὥστε τοῦ ὅλου μεγέθεος τὰ μέρεα τὰ ἀπὸ τοῦ Α κάτω οἰσθήσεται. τοῦ δ’ ἦν εὔχρηστον ποτὶ τὸ δεῖξαι.

Figure 2.8.1 ὑποκείσθω πάλιν τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτά, ὁ δὲ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεί τω γωνίαν ἐλάσσονα τᾶς ποτὶ τῶι Β· ἐλάσσονα δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ· καὶ ἁ ΚΡ ἄρα ποτὶ τὰν ΥΙ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ. μεῖζον ἄρα ἐσσεῖται ἢ διπλασίων ἁ ΙΥ τᾶς ΨΒ· ἁ ἄρα ΩΙ ἐλάσσων τᾶς ΨΡ. ἐσσεῖται οὖν καὶ ἁ ΠΗ ἐλάσσων τᾶς Φ. ἁ δὲ ΜΠ τῆς ΦΧ· δῆλον ὅτι μείζων ἢ ἡμιολία ἁ ΠΜ τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ ΠΗ ἐ λάσσων ἢ διπλασίων τᾶς ΗΜ. ἔστω οὖν ἁ ΠΖ τᾶς ΖΜ διπλῆ. πάλιν οὖν τοῦ μὲν ὅλου κέντρον ἐσσεῖται τοῦ βάρεος τὸ Θ, τοῦ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ Ζ· ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΖΘ καὶ ἐκ βληθείσας ἐσσεῖται τὸ κέντρον τοῦ βά ρεος τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἐπὶ τᾶς ἐκβληθείσας. ἔστω τὸ Γ, καὶ ἄχθωσαν κά θετοι ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνει αν διὰ τῶν Ζ, Γ παρὰ τὰν ΗΘ· δῆ λον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ ὅλον τμᾶ μα, ἀλλὰ κλιθήσεται, ὥστε τὸν ἄξο να ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν μείζονα ἇς νῦν ποιεῖ. ἐπεὶ οὖν οὔτε γωνίαν μεί ζονα τᾶς Β ποιοῦντος τοῦ ἄξονος ποτὶ τὸ ὑγρὸν σταθήσεται τὸ τμᾶ μα οὔτ’ ἐλάσσονα, φανερὸν ὅτι ταλικαύταν ποιοῦντος γωνίαν σταθήσεται· οὕτως γὰρ ἁ ΙΩ ἐσσεῖ ται ἴσα τᾶι ΨΒ καὶ ἁ ΩΙ τᾶι ΨΡ καὶ τῆι Φ ἡ ΠΡ· ἡμιολία ἄρα ἐσσεῖται ἁ Η τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ ΠΗ τᾶς ΗΜ διπλασία. τὸ Η ἄρα τοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι βάρους κέντρον ἐστίν· ὥστε κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον ἀνενεχθήσε ται, καὶ τὸ ἐκτὸς ἐς τὸ κάτω ἐνε χθήσεται. μενεῖ ἄρα· ἀντωθοῦνται γὰρ ὑπ’ ἀλλάλων. τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχη μείζονα μὲν ἢ ἡμιόλιον τοῦ μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ΙΕ ποτὶ Δ, καὶ τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μείζονα λό γον ἔχηι τό, ὃν ἔχει ἁ ὑπεροχά, ἇι μεῖ ζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος τετρά γωνον τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ἇι μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡ μιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξ ονος, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῶι ὑγρῶι, τεθὲν κεκλιμένον οὔ τε κατασταθήσεται, ὥστε τὸν ἄξο να αὐτοῦ κατὰ κάθετον εἶμεν, οὔτε μενεῖ κεκλιμένον, πλὴν ὅταν ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖ γωνίαν ἴσαν τᾶι λαφθείσαι ὁμοίως ἇι πρότερον. ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ κείσ θω ἁ ΔΒ ἴσα τῶι ἄξονι τοῦ τμάμα τος, καὶ ἁ μὲν ΒΚ τᾶς ΚΔ διπλα σία ἔστω, ἁ δὲ ΚΡ η ἴση τᾶι μέχρι τοῦ ἄξονος, ἁ δὲ ΤΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τὸ βάρει

Figure 2.8.2 ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω ἁ ὑπεροχά, ἇι ὑπερέχει τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἔστω δὲ ἁ Φ διπλασία τᾶς Χ. δῆλον οὖν ὅτι ἁ ὑ περοχά, ἇι ὑπερέχει τὸ τετράγω νον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΤ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ ἇι μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄξων τοῦ τμάματος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. μείζονι ἄρα ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ ἀ πὸ τᾶς ΦΧ ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τᾶς ΒΔ τὸ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΒΤ· ὥστε ἁ ΦΧ ἐλάσσων ἐσ τὶ τᾶς ΒΤ· καὶ ἁ Φ ἄρα τᾶς ΒΡ. ἔστω οὖν τᾶι Φ ἴσα ἁ ΡΨ, καὶ ἁ ΨΕ ὀρθὰ ἄχθω τᾶι ΒΔ δυναμένα τὸ ἥμισυ τοῦ περιεχομένου ὑ πὲρ τῆς ΚΡ, ΨΒ. φαμὶ ὅτι τὸ τμᾶ μα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῶι ὑγρῶι, καταστασεῖται οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἴσαν τᾶι Β. ἀφείσθω μὲν γὰρ τὸ τμᾶμα, ὡς εἴρηται, ἐς τὸ ὑγρόν, καὶ μὴ ποιείτω ὁ ἄξων ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ἴσαν τᾶι Β, ἀλλὰ μείζονα πρότερον. τμα θέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδωι ὀρθῶι ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἔστω τοῦ τμάματος τομὰ ἁ ΑΠ ΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ἁ ΤΙΜ, ἄξων δὲ τῆς τομῆς καὶ διάμετρος ἁ ΝΟ, καὶ τετμάσ θω κατὰ τὰ Ω, Θ, ὡς καὶ πρό τερον, ἄχθω δὲ καὶ ἁ μὲν ΥΠ παρὰ τὰν ΤΙ ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΜ μείζων ἄρα ἁ ΣΩ τᾶς ΡΨ καὶ ἁ ΠΗ τᾶς Φ. καὶ ἐπεὶ τὸ τμᾶμα τῶι βά ρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν ἁ ὑπεροχά, ἇι μεῖζόν ἐστιν τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ τετρα γώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ τμᾶμα ποτὶ τὸ ὅ τι τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ μέρος ποτὶ τὸ ὅλον τμᾶμα, ὃν ἁ ὑπεροχά, ἇι ὑπερέχει τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τοῦ τε τραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ ΒΔ· ἕξει οὖν καὶ τὸ ὅλον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ λόγον, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ὅλον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, τοῦτον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΝΟ ποτὶ τὸ ἀπὸ ΠΜ· ἴσα ἄρα ἁ ΜΠ τᾶι ΦΧ. ἁ δὲ ΠΗ δέδεικται μεί ζων τᾶς Φ· ἁ ἄρα ΜΗ ἐλάσσων ἐστὶν τᾶς Χ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἢ διπλασία ἁ ΠΗ τᾶς ΗΜ. ἔστω δὴ ἁ ΠΖ διπλασία τᾶς ΖΜ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΖΘ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ· ἔσται οὖν τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βά ρεος τὸ Θ, τοῦ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ Ζ, τοῦ δὲ ἐντὸς ἐν τᾶι ΘΓ· ἔστω δὲ τὸ Γ. δειχθήσεται δὴ ὁμοίως τοῖς πρότερον ἁ ΘΗ κάθετος ἐπὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ καὶ αἱ διὰ τῶν Ζ, Γ παρὰ τὰν ΘΗ ἀγόμεναι κά θετοι καὶ αὐταὶ ἐπὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ. κατενεχθήσεται ἄρα τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα ἐς τὸ κάτω διὰ τοῦ Ζ, τὸ δὲ ἐντὸς κατὰ τὰν διὰ τοῦ Γ ἀνενεχθή σεται· οὐ μενεῖ οὖν τὸ ὅλον τμᾶ μα ἀκλινές. οὐδὲ μὴν καταστρα φήσεται, ὥστε κατὰ κάθετον εἶμεν τὸν ἄξονα ἐπὶ τὰν τοῦ ὑ γροῦ ἐπιφάνειαν, ἐπειδὴ τὰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶι Λ κάτω, τὰ δὲ ἐπὶ τὰ αὐ τὰ τῶι Α ἐς τὰ ἄνω οἰσθήσεται, διὰ τὸν ἀνάλογον τοῖς λεγομέ νοις ἐπὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ. ἐὰν δὲ ὁ ἄξων ποτὶ τὸ ὑγρὸν ποιῆι γωνί αν ἐλάσσονα τᾶς Β, ὁμοίως τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐ μέ νει τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ κλιθήσεται, ἕως ἂν ὁ ἄξων ποιῆι γωνίαν ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἴσαν τᾶι Β.

Figure 2.9.1 τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν κουφότε ρον ὂν τοῦ ὑγροῦ τὸν ἄξονα ἔ χηι μείζονα ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦ ὃν ἔχει τὰ ΙΕ ποτὶ τὰ Δ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὁτὲ μὲν ὀρθὸν καταστασεῖται, ὁτὲ δὲ κεκλιμένον, καὶ ποτὲ μὲν οὕ τω κεκλιμένον, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τοῦτο ἐν δισσοῖς κλιμάτεσσι ποιή σει, ποτὲ δὲ οὕτως κεκλιμένον καταστασεῖται, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον βρέχεσθαι, ποτὲ δὲ οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας· ὃν δὲ λόγον ἔχοντος τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἕκαστα αὐ τῶν ἐσσεῖται, νῦν δηλωθήσεται. ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδωι ὀρθῶι ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἐν τᾶι ἐπιφα νείαι ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἄξων δὲ ἔστω καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΒΔ, τετμάσθω δὲ ἁ ΒΔ κατὰ τὸ Κ, ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΒΚ τᾶς ΚΔ, κατὰ δὲ τὸ Τ, ὥστε τὰν ΔΒ ποτὶ τὰν ΚΤ λόγον ἔχειν ὡς τὰ ΙΕ ποτὶ Δ· δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΚΤ μείζων ἐστὶ τᾶς μέ χρι τοῦ ἄξονος. ἔστω οὖν ἁ ΚΡ ἴσα τᾶι μέχρι τοῦ ἄξονος, τᾶς ΔΕ ΒΡ ἡμίσεια ἔστω ἁ ΡΣ· ἔστι δὲ καὶ ἁ ΣΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ. ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΑΒ καὶ τᾶς ΤΕ ὀρθᾶς ἀχθεί σας ἄχθω ἁ ΕΖ παρὰ τὰν ΒΔ, καὶ πάλιν τᾶς ΑΒ δίχα τμαθείσας κα τὰ τὸ Θ ἄχθω παρὰ τὰν ΒΔ ἁ ΘΗ, καὶ λελάφθω ὀρθογωνίου κώνου τομὰ ἁ ΑΕΙ περὶ διάμετρον τὰν ΕΖ καὶ ἁ ΑΘΔ περὶ διάμετρον τὰν ΘΗ, ὥστε ὁμοίαν εἶμεν τὰ ΑΕ ΙΑ ΘΔ τμήματα τῶι ΑΒΛ τμάμα τι· γραφήσεται δὴ ἁ ΑΕΙ κώνου τομὰ διὰ τοῦ Κ, ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ ὀρ θὰ ἀχθεῖσα τᾶι ΒΔ τεμεῖ τὰν ΑΕΙ. τεμνέτω κατὰ τὰ Υ, Γ, καὶ διὰ τῶν Υ, Γ ἄχθωσαν παρὰ τὰν ΒΔ αἱ ΥΚΓΝ, τεμνέτωσαν δὲ αὗται τὰν ΑΒΔ τομὰν κατὰ τὰ Ξ, Φ, ἄ χθωσαν δὲ καὶ αἱ ΠΨ, ΟϘ ἐφα πτόμεναι τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς κα τὰ τὰ Ο, Π. ομενα δή τιναβ τρίαα τμάματα τὰ ΑΠΟΛ, ΑΕΙ, ΑΘΔ περιεχόμενα ὑπὸ τᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶν ὀρθογωνίων κώνων τομᾶν ὀρθὰ καὶ ὅμοια, ἄνι σα δέ, καὶ ἀπείληπται ἀφ’ ἑκάσ τας βάσεως, ἀπὸ δὲ τοῦ Ν ἀναγ μέναι αἱ ΝΞ, ΠΝΓ ὁ τῆς ΒΓ ἄρα ποτὶ τὰν ΓΞ τὸν συγκείμενον λόγον ἕξει ΙΛ ποτὶ ΛΑ, καὶ ὃν ἔ χει ἁ ΑΔ ποτὶ ΔΙ. ἔχει δὲ καὶ ἁ ΛΙ ποτὶ ΛΑ ὃν δύο ποτὶ Ε · ἁ // ΤΒ ποτὶ ΒΔ ἐστὶν ὡς δύο ποτὶ Ε , καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΑ καὶ ἁ ΔΖ ποτὶ ΔΑ, τούτων δὲ διπλῶς αἱ ΛΙ, ΛΑ· ἁ δὲ ΑΔ ποτὶ ΔΙ ἔχει ὅσον πέντε πρὸς μίαν, ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὰ Ε καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ πέντε ποτὶ τὸ ἓν ὁ αὐτός ἐστι τῶι ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὸ ΑΔ· ἐστὶν ἁ ΟΓ τᾶς ΓΞ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΠΥ τᾶς ΥΦ. ἐπεὶ δέ / ἐστιν ἁ ΔΣ ἡμιολία τᾶς ΚΡ, δῆλον ὅτι ἁ ΒΣ ὑπεροχά ἐστιν, ἇι μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. εἰ μὲν οὖν τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΣ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἢ μείζονα τούτου τοῦ λόγου, ἀφεθὲν τὸ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὀρ θὸν καταστασεῖται· δέδεικται γὰρ πρότερον ὅτι ἐὰν τμᾶμα μείζο να ἔχον τὸν ἄξονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐὰν τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μὴ ἐλάσσονα λόγον ἔχηι τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ἇι μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως εἴρηται, ὀρθὸν καταστασεῖται. ἐπὴν δὲ τὸ τμᾶ μα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσ σονα μὲν ἔχηι τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΣΒ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τᾶς ΒΔ, μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΞ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βά σιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲν καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανεί ας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ γωνίαν ποιεῖν ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ μείζονα τᾶς Ϙ. ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχηι τὸν λόγον, τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφε θὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλι μένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐ τοῦ ἅπτεσθαι καθ’ ἓν τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν εἴσην τᾶι Η. ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα μὲν λόγον ἔ χηι τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑ γρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖ ται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τό πον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ. εἰ δὲ τὸ τμᾶμα πρὸς τούτωι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λό γον, ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑ γρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν ση μεῖον ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, κατα στασεῖται δὲ κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν σα μεῖον ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποιεῖ γω νίας ἴσαν τᾶι Ψ. ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχηι τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγω νον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅ πτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὸν μὲν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνει αν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσ σονα τᾶς Ψ, τὰν δὲ βάσιν τοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑ γροῦ ἐπιφανείας. δειχθήσεται δὲ ταῦτα ἑξῆς. ἐχέτω δὴ πρῶτον τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μείζονα μὲν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΠ τετρά γωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἐλάσ σονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ὑ περοχᾶς τετράγωνον, ἇι μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ τετράγωνον, καὶ ὑποκείσθω τὸ πρότερον κατεσκευασμένον σχῆμα, ὃν δῆλον ἔχει τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγω νον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ· ἔστι δὴ ἁ Ψ τᾶς μὲν ΞΠ μείζων, ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. ἐναρμόσθω δέ τις μεταξὺ τῶν ΑΠΟΛ, ΑΞΔ κώνων ωσ ΤH καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΗΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ω. ἐσσεῖται δὴ τοῦ μὲν ὅλου τμά ματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Κ, τοῦ δὲ ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ Η, τοῦ δ’ ἐκτὸς ἐπὶ τᾶς ΚΩ· ἔστω τὸ Ω. δειχθή σεται δὴ ὁμοίως ἅ τε ΚΤ κά θετος ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφά νειαν καὶ διὰ τῶν Η, Ω σαμείων παρὰ τὰν ΚϠ. δῆλον οὖν ὅτι οὐ μένει τὸ τμᾶμα, ἀλλ’ ἐπικλιθήσεται, ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ ἅπτεται κα θ’ ἓν σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας, καθάπερ ἐν τῶι μέν ἔχει τω κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγρ οῦ ἐπιφάνειαν. κατὰ τὰς αὐτὰς οὖν εὐθείας τό τε ἐν τῶι ὑγρῶι ἀνε νεχθήσεται καὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατενεχθήσεται· μενεῖ δὴ τὸ τμᾶμα, καὶ ἅ τε βάσις καθ’ ἓν σαμεῖον ἅψ εται τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ ὁ ἄξων τοῦ τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιήσει γωνί αν ἴσαν τᾶι προγεγραμμέναι. εὐθεῖαν κατὰ τὸ Η. δειχθήσεται δὲ ἁ ΠΥ διπλῆ τᾶς ΥΙ, καθάπερ ἐδεί χθη καὶ ἁ ΓΟ τᾶς ΓΝ. ἄχθω δὲ καὶ ἁ μὲν ΠΩ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΕ κάθετος ἐπὶ τὰν ΒΔ, καὶ ἁ Δ ἐπιζευχθεῖσα ἐπὶ τὸ Χ· ἐσσεῖται δὲ ἁ ΑΙ τᾶι ΙΧ ἴσα καὶ ἁ ΑΧ τᾶι ΠΩ παράλληλος. δεικτέον δή, ἔστιν τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑ γρὸν καὶ κεκλιμένον οὕτ ως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὕτως καταστασεῖται κεκλιμένον, ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Φ, τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας. ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρὸν καὶ καθεστακέτω οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, τμα θέντος δὲ τοῦ τμάματος ἐπιπέ δωι ὀρθῶι ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφά νειαν διὰ τοῦ ἄξονος τομὰ ἔστω τᾶς μὲν τοῦ τμάματος ἐπιφα νείας ἁ ΑΘΗΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ἁ ΑΖ, ἄξων δὲ καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΒΔ, καὶ τετμάσθω ἁ ΒΔ κατὰ τὰ Κ, Ρ ὁμοίως κατε σκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῶι τρί τωι σχήματι. ὁμοίως δὲ δειχθή σεται ἁ ΘΗ ἴσα τᾶι Ψ· ὥστε καὶ τᾶι ΙΠ ἴσα. ἐπεὶ οὖν ἁ Λ γωνία οὐκ ἐ λάσσων ἐστὶ τᾶς Φ, οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἁ ΓΒ τᾶς ΣΒ, οὐδὲ ἁ ΓΡ τῆι ΣΡ οὐδὲ ἁ ΗϠ τᾶς ΘΓ. καὶ ἐπειδὴ ἁ ΙΠ ἡμιολία ἐστὶ τᾶς τϘ, ἐλάσσων δὲ ἁ ΠΥ τᾶς //, καὶ ἁ μὲν ΗΘ ἴ σηι τᾶι ΗΙ, ἁ δὲ ΗϠ οὐκ ἐλάσσων τᾶς /Γ, μείζων ἔσται ἁ ϠΗ τᾶς ΠΥ· ἁ ἄρα ΗϠ μείζων ἐστὶν ἢ διπλα σία τᾶς ΦΘ. ἔστω δὴ ἁ υ διπλα σία τᾶς ΥΘ, καὶ ἐπεζευχθεῖσα ἁ ΥΚ ἐκβεβλήσθω· δῆλον δὲ ὁμοί ως τοῖς πρότερον ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶ μα, ἀλλὰ κληθήσεται, ὥστε τὸν ἄ ξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Φ. ἔστω δὴ πάλιν τὸ τμᾶμα ποτὶ τὸ ὑ γρὸν τῶι βάρει μείζονα μὲν λό γον ἔχον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΖΠ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ἐ λάσσονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ· δῆλον οὖν ὅτι ἁ Ψ τᾶς μὲν ΖΠ μείζων ἐστίν, τᾶς δὲ ΞΟ ἐλάσ σων. ἐνηρμώσθω δὴ εἰς τὸν μεταξὺ τᾶν ΑΞΔ, ΑΠΟΛ τμημάτων ἴσα τᾶι Ψ/, παράλληλος δὲ τᾶι ΒΔ ἁ ΦΙ τέ μνουσα τὰν μεταξὺ τοῦ κώνου τομὰν κατὰ τὸ Υ· πάλιν δὴ ἁ ΦΥ ΔΙ τᾶς ΥΙ δειχθήσεται, καθάπερ ἁ ΟΓ τᾶς ΞΓ. ἄχθω δὲ ἀπὸ τοῦ Φ τοῦ ΑΠΟΛ ἐ φαπτομένα κατὰ τὸ Φ ἁ ΦΩ· ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ἁ μὲν ΑΙ τᾶι ΧΙ ἴσα, ἁ δὲ ΑΧ τᾶι ΦΩ παράλ ληλος. δεικτέον δὲ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν μὴ ἅπτεσθαι φανείας τοῦ ὑγροῦ, καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως κλιθή σεται, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κα τὰ πλείονα τόπον τέμνεσθαι ὑ πὸ τοῦ ὑγροῦ. ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρόν, ὡς εἴρηται, καὶ κείσθω τὸ πρῶτον καὶ οὕτως κεκλιμένον, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδωι δι ὰ τοῦ ἄξονος ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ἐν μὲν τᾶι τοῦ τμάμα τος ἐπιφανείαι γίνεται τομὰ ἁ ΑΒΓ, ἐν δὲ τᾶι τοῦ ὑγροῦ ἁ ΕΖ, ἄξων δὲ ἔστω τῆς τομῆς καὶ διάμετρος τοῦ τμήματος ἁ ΒΔ, καὶ τετμάσθω ἁ ΒΔ κατὰ τὰ Κ, Ρ ὁμοίως τοῖς πρότε ρον, ἄχθω δὲ καὶ ἁ μὲν ΗΛ παρὰ τὰν ΕΖ ἐφαπτομένα τᾶς ἀπὸ τῆς ΑΒΓ τομᾶς κα τὸ Η, ἁ δὲ ΗΘ παρὰ τὰν ΒΔ, ἁ δὲ ΗΣ κάθετος ἐπὶ τὰν ΒΔ. ἐπὶ δὲ τὸ τμᾶμα τῶι βάρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΔ, δῆλον ὅτι ἁ Ψ ἴσα ἐστὶν τᾶι ΗΘ· δειχθή σεται γὰρ ὁμοίως τοῖς πρότερον· ὥστε καὶ ἁ ΗΘ ἴσα ἐστὶν τᾶι ΦΙ· καὶ τὰ τμάματα ἄρα τὰ ΑΦΧ, ΕΒΖ ἴσα ἐστὶν ἀλλάλοις. ἐπὶ δ’ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ, ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ, ΕΖ ἴσα τμά ματα ἀφαιροῦσαι, καὶ ἁ μὲν ἀπ’ ἄκρας τᾶς βάσιος, ἁ δὲ οὐκ ἀπ’ ἄκρας, ἐλάσσονα ποιήσει τὰν ὀξεῖαν ποτὶ τὰν διάμετρον τοῦ τμάματος ἁ ἀπ’ ἄκρας τᾶς βάσιος ἀχθεῖσα. καὶ ἐπειδὴ τοῦ ΗΛΣ τριγώνου ἁ Λ μείζων τᾶς Ω γωνίας τοῦ ΦΤΩ τριγώ νου, δῆλον ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἁ ΒΓ τᾶς ΒΤ, ἁ δὲ ΓΡ τᾶς ΡΤ μείζων, καὶ ἁ ΗͲ μείζων τᾶς ΦΗ· ἁ ϠΘ ἄρα ἐλάσσων τᾶς ΗΙ. καὶ ἐπεὶ δι πλῆ ἐστιν ἁ ΦΥ τᾶς ΥΙ, δῆλον /ὅτι ἁ ΗϠ μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ. ἔστω δὴ ἁ ΗΑʹ διπλασία τᾶς ΑΘ· δῆλον δὴ ἐκ τούτων ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ πιλι ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ