Floating Bodies

ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΟΧΟΥ ΜΕΝΩΝ Α Ὑποκείσθω τὸ ὑγρὸν φύσιν ἔχο ἔχον τοιαύτην, ὥστε τῶν μερῶν αὐτ αὐτοῦ τῶν ἐξ ἴσου κειμένων καὶ συνε χέων ἐόντων ἐξωθεῖσθαι τὸ ἧσσο ἧσσον θλιβόμενον ὑπὸ τοῦ μᾶλλον θλι βομένου, καὶ ἕκαστον δὲ τῶν μερῶν αὐτοῦ θλίβεσθαι τῶι ὑπεράνω αὐ τοῦ ὑγρῶι κατὰ κάθετον διότι εἴ κα μὴ τὸ ὑγρὸν ἦ καθιεμένον ἔν τινι καὶ ὑπὸ ἄλλου τινὸς θλιβόμενον. καὶ ἐπιφάνειά τις ἐπιπέ δωι τεμνομένα διά τινος ἀεὶ τ τοῦ αὐτοῦ σαμείου τὰν τομὰν ποιοῦντι κύκλου περιφέρειαν κέντρον ἔχ ἔχου σαν τὸ σαμεῖον δι’ οὗ τῶι ἐπιπέδωι τέ μνεται σφαίρας ἔσται ἁ ἐπιφάνεια. ἔστω γὰρ ἐπιφάνειά τις ἁ τεμνομέ να διὰ τοῦ Κ σαμείου ἐπιπέδωι ἀεὶ τὰν τομὰν ποιοῦσα κύκλου περιφέ ρειαν, κέντρον δὲ αὐτᾶς τὸ Κ. εἰ οὖν μή ἐστιν αὐτὰ ἁ ἐπιφάνεια σφαίρ σφαίρας ἐπιφάνεια, οὐκ ἐσσοῦνται πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ποτὶ τὰν ἐπι φάνειαν ποτιπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι. ἔστω δὴ τὰ ΑΒ σαμεῖα ἐν τῆι ἐπιφανείαι καὶ ἄνισοι αἱ ΑΚ ΚΒ, δι ὰ δὲ τῶν ΚΑ ΚΒ ἐπίπεδον ἐκβε βλήσθω καὶ ποιείτω τὰν τομὰν ἐν τᾶι ἐπιφανείαι τὰν ΔΑ ΒΓ γραμ μὴν. κύκλου ἄρα ἐστὶν αὐτὰ, κέντρ κέντρον δὲ αὐτᾶς τὸ Κ ἐπεὶ ὑπόκειτο ἁ ἐπι φάνεια τοιαύτα. οὐκ ἔστι δὲ, ἄνισοι γὰρ αἱ ΚΑ καὶ Β. ἀναγκαῖον οὖν ἐπὶ τὰν ἐπιφάνειαν σφαίρας τι

Figure 1.1.1 εἶμεν ἐπι φάνεια μέρ μέρος . παν τὸς ὑγροῦ καθεστα κότος οὕτως , ὥστε μέ νειν ἀκί νητον, τὰ τὰν ἐπιφάνειαν σφαίρας ἕξει σχῆ μα τὸ αὐτὸ κέντρον ἐχούσας τᾶι γᾶι. νοείσθω γὰρ τὸ ὑγρὸν κα θεστακότος, ὥστε μένειν ἀκίνη τον, καὶ τετμάσθω αὐτοῦ ἁ ἐπι φάνεια ἐπιπέδωι διὰ τοῦ κέν τρου τᾶς γᾶς, ἔστω δὲ τᾶς γᾶς κέντρον τὸ Κ, τᾶς δ’ ἐπιφανεί ἐπιφανείας τομὰ ἁ ΑΒ ΓΔ γραμμὰ. φαμὶ δὴ, τὰν ΑΒ ΓΔ γραμμὰν κύκλου περιφέρειαν εἶμεν, κέντρον δὲ αὐτᾶς τὸ Κ. εἰ γὰρ μή ἐστιν, οὐ κ ἐσσοῦνται ἴσαι ἀπὸ τοῦ Κ ποτὶ τὰν ΑΒ ΓΔ γραμμὰν ποτιπί πτουσαι εὐθεῖαι. λελάφθω δή τις εὐθεῖα, ἅ ἐστι τινῶν μὲν ποτιπι πτουσᾶν ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὰν ΑΒ ΓΔ γραμμὰν μείζων, τινῶν δ’ ἐλάσ σων, καὶ κέντρωι μὲν τῶι Κ, δια στάματι δὲ τᾶι ληφθείσαι γραμ μᾶι κύκλος γεγράφθω· πεσεῖτ πεσεῖται οὖν ἁ περιφέρεια τοῦ κύκλου τὰ μὲν ἐντὸς ἔχουσαι τὰς ΑΒ ΓΔ γραμμάς, τὰ δ’ ἐκτός, ἐπει ἐπειδὴ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τινῶν μέν ἐστι μεῖζον τᾶν ἀπὸ τοῦ Κ ποτιπι πτουσῶν ποτὶ τὰν ΑΒΓΔ γραμ μάν, τινῶν δὲ ἐλάσσων. ἔστω οὖν τοῦ καταγραφέντος κύκλου περιφέρεια ἁ καὶ ἀ πὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Κ ἐυθεῖα ἄχθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ καὶ ΚΑ ΚΛ ἴσας ποιοῦσαι γωνίας, γεγράφθω δὲ καὶ κέντρωι τῶι Κ περιφέρειά τις ἁ ΞΟΠ ἐν τῶι ἐπιπέδωι καὶ ἐν τῶι ὑγρῶι· τὰ δὴ μέρη τοῦ ὑγροῦ τὰ κατὰ τᾶς ΞΟΠ περιφερείας ἐξ ἴσου τε κεί μενα καὶ συνεχόμενα ἀλλήλοις. θλίβονται τὸ μὲν κατὰ τὴν ΞΟ περιφέρειαν τῶι ὑγρῶι τῶι κα τὰ τὸν ΞΒΑ τόπον, τὰ δὲ κατὰ τὰν ΠΟ περιφέρειαν τῶι ὑγρῶι τῶι κατὰ τὸν ΠΟ ΒΛ τόπον· ἵσσ ἵσσον οὖν θλίβονται τὰ μέρη τοῦ ὑγρ ὑγροῦ τὰ κατὰ τὰν ΞΟ περιφέρειαν ἢ κατὰ τὰν ΟΠ· ὥστε ἐξωθήσο ἐξωθήσον ται τὰ ἧσσον θλιβόμενα ὑπὸ τ τῶν μᾶλλον θλιβομένων· οὐ μένει ἄρα τὸ ὑγρόν. ὑπέκειτο δὲ καθεστα κὸς εἶμεν ὥστε μένειν ἀκίνη τον· ἀναγκαῖον ἄρα τὰν ΑΒΓΔ γραμμὰν κύκλου περιφέρειαν εἶ μεν καὶ κέντρον αὐτᾶς τὸ Κ. ὁμοί ως δὴ δειχθήσεται καί, πως καὶ ἄλλως ἁ ἐπιφάνεια τοῦ ὑγροῦ ἐ πιπέδω τμαθῆ διὰ τοῦ κέντρ κέντρου τᾶς γᾶς, ὅτι ἁ τομὰ ἐσσεῖται κύ κλου περιφέρεια, καὶ κέντρον αὐτᾶς ἐσσεῖται, ὃ καὶ τᾶς γᾶς ἐστι κέντρον. δῆλον οὖν, ἁ ἐπιφά νεια τοῦ ὑγροῦ καθεστακότος ἀκινήτου σφαίρας ἔχει τὸ σχᾶ μα τὸ αὐτὸ κέντρον ἐχούσας τ τᾶς γᾶς, ἐπειδὴ τοιαύτα ἐστίν, ὥστε τεμνομέναν διὰ τούτου σαμεί ου τὰν τομὰν ποιεῖν περιφέρει αν κύκλου κέντρον ἔχοντα τὸ σαμεῖον, δι’ οὗ τέμνεται τῶι ἐπιπέ δωι.

Figure 1.2.1 Τῶν στερεῶν μεγεθέων τὰ ἰσοβαροῦντα τῶι ὑγρῶι ἀφεθ ἀφεθέν τα εἰς τὸ ὑγρὸν καταβαροῦνται, ὥστε τᾶς ἐπιφανείας τᾶς τοῦ ὑ γροῦ μὴ ὑπερέχειν μηθέν, καὶ οὐκέτι οἰσθήσονται ἐπὶ τὰ κά τω. ἀφείσθω γάρ τι στερεὸν μέ γεθος εἰς τὸ ὑγρὸν τῶν ἰσοβαρέω ἰσοβαρέων τῶι ὑγρῶι, καί , εἰ δυνατόν, ὑπερεχέ τω τι αὐτοῦ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας, καθεστάτω δὲ τὸ ὑγρόν, ὥστε μένειν ἀκίνητον. νοείσθω δή τι ἐ πίπεδον ἐκβεβλημένον διά τε τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ τοῦ ὑγροῦ καὶ διὰ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τομὰ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑ γροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφέρεια, τοῦ δὲ στερεοῦ μεγέθεος τὸ ΕΖΗΘ σχᾶ μα, κέντρον τε τᾶς γᾶς τὸ Κ. ἔστω δὴ τοῦ μὲν στερεοῦ τὸ μὲν ΒΓ ΗΘ ἐν τῶι ὑγρῶι, τὸ δὲ ΒΕ ΖΓ ἐκτός. νο είσθω δὴ τὸ στερεὸν σχῆμα περιλαμ βανόμενον πυραμοειδῆ βάσι βάσιν μὲν ἔχουσα τὸ παραλληλόγραμ μον τὸ ἐν τᾶι ἐπιφανείαι τοῦ ὑ γροῦ, κορυφὰν δὲ τὸ κέντρον τᾶς γᾶς, τομὴ δὲ ἔστω τοῦ τε ἐπιπέδου, ἐν ὧι ἐστιν ΑΒ ΓΔ περιφέρεια, καὶ τῶ τῶν τᾶς πυραμίδας ἐπιπέδων αἱ ΚΛ ΚΝ. γεγράφθω τις ἄλλας σφαί ρας ἐπιφανείας περὶ κέντρον τὸ Κ ἐν τῶι ὑγρῶι, ὧι ὑπὸ τοῦ ΕΖ ΗΘ μὴ τέμνεσθαι ἐπιπέδου, λελάφθω τις καὶ ἄλλα πυραμὶς ἴσα καὶ ὁ μοία τᾶ περιλαμβανούσαι τὸ στερεὸν συνεχὴς αὐτᾶς, τομὰ δὲ ἔστω τῶν ἐπίπεδον αὐτᾶς αἱ ΚΜ ΚΝ, καὶ τῶι ὑγρῶι νοείσθω τι μέγεθος τοῦ ὑγροῦ ἀπολαμ βανόμενον τὸ ΡΣ ΤΥ ἴσον καὶ ὅ μοιον τῶν στερεῶν κατὰ τὰ ΒΗ ΘΓ, ὅ ἐστιν αὐτοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι· τὰ δὴ μέρεα τοῦ ὑγροῦ τό τε ἐν τᾶι πρώται πυραμίδι τὰ ὑπὸ τὰ τὰν ἐπιφάνειαν, ἐν ἇ ἐστιν ἁ ΞΘ περιφέρεια, καὶ τὸ ἐν τᾶι ἑτέραι, ἐν ἇι ἐστιν ἁ ΠΟ, ἐξ ἴσου τέ ἐντι κεί μενα καὶ συνεχή. οὐχ ὁμοίως δὲ θλίβονται· τὸ μὲν γὰρ κατὰ τὰ τὰν ΞΟ θλίβεται τῶι στερεῶι τῶι ΘΗ ΕΖ καὶ τῶι ὑγρῶι τῶι μεταξὺ τᾶν ἐπιφανειᾶν τᾶν κατὰ τὰν ΞΘ ΛΜ καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐ πιπέδωι, τὸ δὲ κατὰ τὰν ΠΟ τῶι ὑγρῶι τὰν μεταξὺ τᾶν ἐπιφα νειᾶν τᾶν κατὰ τὰς ΠΟ ΜΝ καὶ τῶν τᾶς πυραμίδος ἐπιπέδω ἐπιπέδων . ἐλάσσων δ’ ἔσται τὸ βάρος τοῦ ὑ γροῦ τοῦ κατὰ τὰς ΜΝ ΟΠ· τὸ μὲν γὰρ κατὰ τὸ ΡΣ ΤΥ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΕΖΗΘ στερεοῦ· αὐτῶι γὰρ τῶ κατὰ τὸ ΗΒ ΓΘ ἴσον ἐστὶν διὰ τὸ τῶι μεγέθει ἴσον εἶμεν καὶ ἰ σοβαρῆ ὑποκεῖσθαι τὸ στερεὸν τῶι ὑγρῶι· τὸ δὲ λοιπὸν τῶι λοιπῶι ἄνισόν ἐστι. δῆλον οὖν, ὅτι ἐξω θήσεται τὸ μέρος τὸ κατὰ τὰν ΝΟΠ περιφέρειαν ὑπὸ τοῦ κατὰ τὰν ΕΞ περιφέρειαν, καὶ οὐκ ἔ σεται τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον. ὑ πόκειται δ’ ἀκίνητον ἐόν· οὐκ ἄ ρα ὑπερέξει τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας οὐδὲν τοῦ στερεοῦ με γέθεος. κατὰ ταῦτα δὲ τὸ στερε ὸν οὐκ οἰσθήσεται ἐς τὰν κάτω· ὁμοίως γὰρ πάντα ἐσσοῦνται τὰ μέρη τοῦ ὑγροῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα διὰ τὸ ἴσον βαρὺ εἶμ εἶμεν

Figure 1.3.1 τὸ ὑγρ ὑγρὸν τὸ στε ρεόν. Δ Τῶν στερεῶν μεγεθέων ὅ κα ἦι κ κου φότερον ἢ τοῦ ὑγροῦ, ἀφεθὲ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὐ καταδύσεται ὅλο ὅλον , ἀλλὰ ἐσσεῖταί τι αὐτοῦ ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. ἔστω γὰρ στερεὸν μέγεθος κουφότερον τοῦ ὑγροῦ καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν δεδυκέτω ὅλον, εἰ δυνατόν, καὶ μη δὲν αὐτοῦ ἔστω ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑ γροῦ ἐπιφανείας, κατέστηκε τῶ δε τὸ ὑγρόν, ὥστε μένειν ἀκίνητο ἀκίνητον . νοείσθω δή τι ἐπίπεδον ἐκβε βλημένον διὰ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς καὶ διὰ τοῦ ὑγροῦ καὶ τοῦ στερεοῦ μεγέθους, τεμνέσθω δὲ ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τούτου ἁ μὲ μὲν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνεια κατὰ τὰ τὰν ΑΒΓ περιφέρειαν, τὸ δὲ στερεὸν μέγεθος κα κατὰ τὸ σχᾶμα, ἐν ὧι Ζ, κέν τρον δὲ ἔστω τᾶς γᾶς τὸ Κ, νοείσθω δέ τις πυραμὶς περιλαμβάνου σα τὸ Ζ σχῆμα, καθ’ ἃ καὶ πρότε ρον, κορυφὰν ἔχουσα τὸ Κ σαμεῖ ον, τεμνέσθω δὲ αὐτᾶς τὰ ἐπίπε δα ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τ τοῦ ΑΒΓ κα κατὰ τὰς ΑΚ ΚΒ, λελάφθω δέ τις καὶ ἄλλα ἴσα πυραμὶς καὶ ὁμοία ταύ τηι, τεμνέσθω δὲ αὐτῆς τὰ ἐπίπε δα ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου κατὰ τὰς ΚΒ ΚΓ, γεγράφθω δέ τις καὶ ἄλλ ἄλλας σφαίρας ἐπιφάνειαι ἐν τῶι ὑγρῶι περὶ κέντρον τὸ Κ, ὑποκάτω δὲ τ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος, τεμνέσθω δ’ αὕ τα ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου κα τὰ τὰν ΞΟΠ περιφέρειαν, νοείσθω δὲ καὶ μέγεθος ἀπολαμβανό μενον τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὸ Η ἐν τᾶ ὕστερον πυραμίδι ἴσον τὸ κατὰ τὸ Ζ στερεόν· τὰ δὲ μέρεα τοῦ ὑ γροῦ τοῦ ἐν τᾶι πρώται πυρα μίδι τὰ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰ τὰν κατὰ τὸ ΞΟ περιφέρειαν καὶ τὸ ἐν τᾶι δευτέραι τῶν ὑπὸ τὰν ἐπι φάνειαν τὰν κατὰ τὸ ΝΟΠ περι φέρειαν ἐξ ἴσου τέ ἐντι κείμενα καὶ συνεχέα ἀλλήλοις. οὐχ ὁμοίως δὲ θλίβονται· τὸ μὲν γὰρ ἐν τᾶι πρώ ται πυραμίδι θλίβεται τῶι κατὰ τὸ Ζ στερεῶι μεγέθει καὶ τῶι περιέ χοντι ὑγρῶι αὐτὸ καὶ ἐόντι ἐν τῶι τόπωι τᾶς πυραμίδος τῶι κατὰ τὸ ΑΒ ΟΞ, τὸ δ’ ἐν τᾶι ἑτέραι πυρα μίδι θλίβεται τῶι ὑγρῶι τῶι πε ριέχοντι αὐτὸ καὶ ἐόντι τᾶς πυρα μίδος ἐν τῶι τόπωι τῶι κατὰ τὸ ΠΟ ΒΓ, ἔστι τὸ βάρος τὸ κατὰ τὸ ΖΗ τὸν τοῦ ὑγροῦ τοῦ κατὰ τὸ ΖΗ, ἐπειδὴ τῶι μὲν μεγέθει ἴσον ἐστίν, κουφότερον δὲ ὑπόκειται τὸ στερεὸν μέγεθος εἶμεν τοῦ ὑ γροῦ, τὰ δὲ περιέχοντος ὑγροῦ τὰ ΖΗ μεγέθη ἑκατέρα τῶν πυρα μίδων ἴσα· μᾶλλον οὖν θλιβή σεται τὸ μέρος τοῦ ὑγροῦ τὸ ὑπὸ τὴν ἐπιφάνειαν τὰν κατὰ τὰν ΟΠ περιφέρειαν· ἐξωθήσοι οὖν τὸ ἶσσον θλιβόμενον, καὶ οὐ με νεῖ τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον. ὑπόκει το δέ· οὐκ ἄρα καταδύσεται ὅλο ὅλον , ἀλλ’ ἔσσεταί τι

Figure 1.4.1 αὐτοῦ ἐκτὸς τᾶς τ τοῦ ὑ γροῦ ἐπι φανείας. Ε Τῶν στερεῶν μεγεθέων ὅ κα κ κου φότερον τοῦ ὑγροῦ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑ γρὸν τοσοῦτο καταδύσεται, ὡς τὸν ταλικοῦτον ὄγκον τοῦ ὑγροῦ, ἡλίκ ἡλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ καταδεδυκότος ὄγκος, ἴσον βάρος ἔχειν ὅλωι τῶι μεγέθει. κατασκευάσθω ταὐτὰ τοῖς πρότε ρον, καὶ ἔστω τὸ ὑγρὸν ἀκίνητον, ἔστω δὲ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ τὸ ΕΖ ΗΘ μέγεθος. ἐπεὶ οὖν ἀκίνητόν ἐστι ἐστιν τὸ ὑγρόν, ὁμοίως θλιβήσεται τὰ μέρη αὐτοῦ τὰ ἐξ ἴσου κείμενα· ὁμοίως ἄρα θλιβήσεται τὸ ὑγρὸν τὸ ὑπὸ τὰν ἐπιφάνειαν τὰν κα τὰ ΝΞΟ καὶ ΠΟ περιφέρειαν· ὥσ τε ἴσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὧι θλίβον ται. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑγροῦ τὸ βάρος τὸ ἐν τᾶι πρώτα πυραμίδι χωρὶς τοῦ ΒΗΘ στερεοῦ ἴσον τῶι βάρει τῶι ὑγρῶι τοῦ ἐν τᾶι ἑτέραι πυραμίδι χωρὶς τ τοῦ ΡΣ ΤΥ ὑγροῦ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ τοῦ ΕΖ ΗΘ μεγέθους βάρος ἴσον ἐστὶ τῶι τ τοῦ ΡΣ ΤΥ ὑγροῦ βάρει. φα νερὸν οὖν, ὅτι ταλικοῦτος ὄγκος τ τοῦ ὑγροῦ, ἁλίκον ἐστὶ τὸ δεδυκὸς τοῦ στε ρεοῦ μεγέθεος, ἴσον βάρος ἔχει ὅλωι τῶι μεγέθει.

Figure 1.5.1 Ϛ Τὰ κουφότερα στερεὰ τοῦ ὑ γροῦ βιαθέν τα εἰς τὸ ὑγρ ὑγρὸν ἀναφέρεται τοσαύτηι βίαι ἐς τὸ ἄνω, ὅσο ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὃ βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκον ἔχον τῶι μεγέθει. ἔστω τι μέγεθος τὸ Α κουφότερον τοῦ ὑγροῦ, ἔστω δὲ τοῦ μὲν μεγέθεος τοῦ ἐν ὧι Α βάρος τὸ Β, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγ κον ἔχοντος τῶι Α τὸ ΒΓ. δεικτέον ὅτι τὸ Α μέγεθος βιασθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν ἀ νοισεῖται. ἔστω ἄνω τοσαύτα βία, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος τὸ Γ. λελάφθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἄνω τὸ Δ βάρος ἴσο ἴσον ἔχον τῶι Γ· τὸ δὴ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμ φοτέρων τῶν ἐν οἷς ΑΔ μεγεθῶ μεγεθῶν ἔστω αὐτὸς συντεθὲν κουφότερό κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ· ἔστι γὰρ τοῦ μὲν με γέθεος τοῦ ἐξ ἀμφοτέρων βάρος τὸ ΒΓ, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκο ὄγκον ἔχοντος αὐτῶι μεῖζον τοῦ ΒΓ δι ὰ τὸ τοῦ ἴσον ἔχοντος ἀυτῶι τὸ Α τὸ βάρος εἶμεν τὸ ΒΓ. ἀφε θὲν οὖν ἔστω τὸ ὑγρὸν τὸ μέγεθ μέγεθος τὸ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΔ συγ κειμένων ἐς τοσοῦτον δυσεῖται, ἔστ’ ἂν καὶ ὁ ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑγροῦ, ἄδικον καὶ τὸ δεδυκὸς τ τοῦ μεγέθεος, ἴσον βάρος ἔχει τῶι ὅλωι μεγέθει· δέδεικται γὰρ τοῦ το. ἔστω δὲ ἐπιφάνειά τινος ὑ γροῦ ἁ ΑΒΓΔ περιφερείας. ἐπεὶ οὖν ὁ ταλικοῦτος ὄγκος τοῦ ὑ γροῦ, ἡλίκον ἐστὶ ἐστὶν τὸ Α μέγεθος, ἴσον βάρος ἔχει τοῖς ΑΔ μεγέθε σιν, δῆλον ὡς τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ ἐσσεῖται τὸ Α μέγεθος, τὸ δὲ λοιπ λοιπὸν ὑπεράνω, ἐσσεῖται ὅλον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας· εἰ γὰρ αὐ τᾶς δεδυκὸς εἶ τέλειον, ἐσσεῖται δεδυκὸς. τούτου δεδειγμένου δῆ λον οὖν ὅτι ὅσα βίαι ἀναφέρεται τὸ Α μέγεθος ἐς τὼ ἄνω τοσαῦ τα θλίβεται ὑπὸ τοῦ ἄνω τοῦ Δ· ἔστω κάτω, ἐπεὶ οὐδέτερον ὑπ’ οὐ δετέρου ἐξωθεῖτο. ἀλλὰ τὸ Δ ἐς τὸ κάτω θλίβει τοσούτω βάρει, ἁλίκ ἁλίκον ἐστὶ τὸ Γ· ὑπέκειτο γὰρ τὸ βάρος τὸ ἐν ὧι τὸ Δ εἶμεν ἴσον τῶι Γ· δῆ λον οὖν ὃ ἔδει δεῖξαι. ΕΞ ΕΞΗΣ Η ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΣΧΑΜΑ ΣΧΑΜΑΤΟΣ

Figure 1.6.1 Ζ Τὰ βαρύτερα τοῦ ὑγροῦ ἀφεθέντα εἰς τὸ ὑγρὸν οἰσεῖται κάτω, ἔστ’ ἂν καταβᾶντι, καὶ ἐσσοῦνται κουφότε ρα ἐν τῶι ὑγρῶι τοσοῦτον, ὅσον ἔχει τὸ βάρος τοῦ ὑγροῦ τοῦ ταλικ ταλικοῦ τον ὄγκον ἔχοντος, ἁλίκος ἐστὶν ὁ τοῦ στερεοῦ μεγέθεος ὄγκος. ὅτι μὲν οὖν οἰσεῖται ἐς τὸ κάτω, ἔστ’ ἂν καταβάντα, δῆλον· τὰ γὰρ ὑπο κάτω αὐτοῦ μέρη τοῦ ὑγροῦ θλι ψοῦνται μᾶλλον τῶν ἐξ ἴσου αὐτοῖς κειμένων μέρων, ἐπειδὴ βαρύ τερον ὑπόκειται τὸ στερεὸν μέ γεθος τοῦ ὑγροῦ· ὅτι δὲ κφότερα κουφότερα ἐσσοῦνται, ὡς εἴρηται, δειχθήσετ δειχθήσεται Ἔστω τι μέγεθος τὸ Α, ὅ ἐστι βαρύτερον τ τοῦ ὑγροῦ, βάρος δὲ ἔστω τοῦ μὲν ἐν ὧι Α μεγέθεος τὸ ΒΓ, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος τῶι Α τὸ Β. δει κτέον, ὅτι τὸ Α μέγεθος ἐν τῶι ὑγρῶι ἐὸν βάρος ἕξει ἴσον τῶι Γ. λελά φθω γάρ τι μέγεθος τὸ ἐν ὧι τὸ τὸ Δ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ. ἔστω δὲ τοῦ μὲν ἐν ὧι τὸ Δ μέγεθος βάρει ἴσον τῶι Β βάρος, τοῦ δὲ ὑγροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος τῶι Δ μεγέθει τὸ βάρος ἔστω ἴσον τῶι ΒΓ βάρει. συντεθέντων δὴ ἔστω αὐτὸ τῶν με γεθέων, ἐν οἷς τὰ ΑΔ τὸ τῶν συ ναμφοτέρων μέγεθος ἰσοβαρὲς ἐσσεῖται τῶι ὑγρῶι· ἔστι γὰρ τῶν μεγεθέων συναμφοτέρων τὸ βά ρος ἴσον ἀμφοτέροις τοῖς βάρε σιν τῶ τε ΒΓ καὶ τῶι Β, τοῦ τὲ ὑ γροῦ τοῦ ἴσον ὄγκον ἔχοντος ἀμ φοτέροις τοῖς μεγέθεσι τὸ βά ρος ἴσον ἐστὶ τοῖς αὐτοῖς βάρε σιν. ἀφεθέντων οὖν τῶν μεγε θέων ἐς τὸ ὑγρὸν ἰσορροπησ ἰσορροπησοῦν ται τῶι ὑγρῶι καὶ οὔτε εἰς τὸ ἄνω· διὸ τὸ μὲν ἐν ὧι Α μέγεθος οἰσεῖ ται ἐστὼ κάτω τοσαύτα βία ἡ ὑ πὸ τοῦ α ἐν ὧι Δ μεγέθεος ἀ νέλκεται ἐς τὸ ἄνω, τὸ δὲ ἐν ὧι Δ μέγεθος, ἐπὶ κουφότερόν ἐστι τοῦ ὑγροῦ, ἀνοισεῖται εἰς τὸ ἄνω τοσαύτα βίαι, ὅσον ἐστὶ τὸ Γ βά ρος· δέδεικτ δέδεικται γὰρ ὅτι τὰ κουφότερα τ τοῦ ὑγροῦ μεγέθεα στερεὰ βιασ θέντα ἐς τὸ ὑγρὸν ἀναφέρονται τοσαύτα βία ἐς τὸ ἄνω, ὅσον ἐστὶ τὸ βάρος, ὡς βαρύτερό βαρύτερόν ἐστι τοῦ μεγέθεος τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσον ὄγκ ὄγκον τῶι Δ μεγέθει. ἔστι δὲ τῶι Γ βάρει βαρύτερο βαρύτερον τ τοῦ Δ μεγέθεος τὸ ὑγρὸ ὑγρὸν τὸ ἴσ ἴσον ὄγκ ὄγκον ἔχο ἔχον τ τῶ Δ· δῆλον οὖν, ὅτι καὶ ἐ ν ὧι Α μέ

Figure 1.7.1 γεθος ἐς τὸ κάτω οἰσεῖ ται τοσούτω βάρει, ὅσον ἐστὶ τὸ Γ. Ὑποκείσθω, τῶν ἐν τῶι ὑγρῶι ἄνα φερομένων ἕκαστον ἀναφέρεσθ ἀναφέρεσθαι κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ κέν τρου τοῦ βάρεος αὐτοῦ ἀγμέναν. εἴ κα στερεόν τι μέγεθος κουφότε ρον τοῦ ὑγροῦ σφαίρας τμάματος ἔχον σχᾶμα ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφεθῆ οὕτω, ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὀρθὸν κατα στασεῖτε τὸ σχᾶμα οὕτως, ὥστε τὸν ἄ ξονα τοῦ τμάματος κατὰ κά θετον εἰ μέν· καὶ εἴ κα ὑπό τινος θλιβῆι τὸ σχᾶμα οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν τοῦ τμάματος ἅπτεσθαι τ τοῦ ὑγροῦ, οὐ μενεῖ κεκλιμένον, ὡς εἴ κα ἀφεθῆι, ἀλλ’ ὀρθὸν ἀποκα ταστασεῖτε. νοείσθω γάρ τι μέγε θος, οἷον εἴρηται, ἐς τὼ ὑγρὼν ἀ φεόμενον, καὶ δ διὰ τ τοῦ ἄξονος τοῦ τμάματος καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς νοείσθω ἐπίπεδον ἐκβαλ λόμενον, τομὰ δ’ ἔστω τᾶς μὲν ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ ὁ ΑΒ ΓΔ, τοῦ δὲ σχάματος τοῦ ἐς τὸ ὑγρὸν ἀ φεθέντος ἁ ΕΖ ΗΘ περιφέρει α, ἄξων δὲ τοῦ σχάματος ἔστω ὁ ΘΖ· τὸ δὴ κέντρον τᾶς σφαίρας ἐστὶν ἐπὶ τᾶς ΘΖ. πρῶτον μὲν γὰρ μεῖζόν ἐστιν ἡμισφαιρίου τὸ σχᾶ μα, ἔστω τὸ Κ, καὶ ἔστω, εἰ δυνα δυνατόν , κεκλιμένον τὸ σχᾶμα ἤτοι ὑπό τινος κλιθὲν ἢ ταὐτό. δεικτέον οὖν, ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλ’ εἰς ὀρθὸν ἀποκα ταστασεῖται, ὥστε τὰ ΖΘ κατὰ κάθετον εἰ μέν. ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται κε κλίσθαι τὸ σχᾶμα, οὐκ ἔστι τὰ ΖΕ κα τὰ κάθετον. ἄχθω δὴ διὰ τοῦ Κ καὶ τοῦ ΛΑ ΚΑ, τὸ δὲ Λ κέντρον ὑποκείσ θω τᾶς γᾶς· τὸ δὴ σχᾶμα τὸ ἐν τ τῶ ὑγρῶι ἀπολελημμένον ὑπὸ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τῆς ΚΛ· εἰ γάρ κα δύο σφαι ρῶν ἐπιφάνειαι τέμνοντι ἀλλήλας, τομὰ κύκλος ἐστὶν ὀρθὸν ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τὰν ἐπιζευγνύουσαν τὰ κέντρα τῆς σφαίρας. ἔστιν οὖν τοῦ σχάματος τοῦ κατὰ τὰν ΒΗΓ περιφέρεια περιφέρειαν ἀπολαμβανομέν ἀπολαμβανομένου ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ κέντρον τοῦ βάρε ος ἐπὶ τᾶς ΚΛ· ἔστω τὸ Ρ. τοῦ δὲ τμά ματος ὅλου τοῦ κατὰ τὰν ΘΗΖ περι φέρειαν τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ βάρε ος ἐπὶ τᾶς ΖΘ· ἔστω τὸ Ξ. τοῦ ἄρα λοιποῦ σχάματος ὅ ἐστιν ἐκτὸς τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸ κέν τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΡΞ ἐκβλη φθείσας καὶ ἀπολαφθείσας τινὸς ἁ ΕΞ ποτὶ τὰν ΞΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ βάρος τοῦ κατὰ τὰν ΒΜΓ περιφέρειαν τ τοῦ τμάματος ποτὶ τὸ βάρος τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ· δέδει κται γὰρ ταῦτα. ἔστω δὴ τὸ Σ κέν τρον τοῦ εἰρημένου σχάματος. ἐπεὶ οὖν τοῦ μὲν σχάματος, ὅ ἐστι ἐστιν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, τὸ βάρος ἐς τὸ κατα φέρεται κα τὰν εὐθεῖαν τὰν ΛΣ, τὸ δὲ ΕΝ τῶ ὑγρῶι ἔστω ἄν κατὰ τᾶς εὐθείας τᾶς ΡΚ, δῆλον, ὡς οὐ μενεῖ τὸ σχᾶμα, ἀλλὰ τὸ μὲν πο τὶ τὰν Η μέρη αὐτοῦ ἔστω κάτω οἰσοῦνται, τὰ δὲ ποτὶ τὰν Η ἔστω ἄνω, καὶ ἀεὶ ἐς τὸ αὐτὸ οἰσοῦνται, ἕ ως κα ἁ ΖΘ κατὰ κάθετον γέ νηται. κατὰ κάθετον δὲ γενομέ νας τᾶς ΖΘ τὰ κέντρα τοῦ βά ρεος ἐσσοῦνται τοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι καὶ τοῦ ἐκτὸς ἐπὶ τᾶς αὐτᾶς καθέ του· ἐπιγραφὰς τᾶς ΖΘ ἐσσοῦνται· ἀντιθλιψοῦνται οὖν ἀλλήλοις τὰ ΒΙΑ κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον, τὸ μὲν ἐς τὼ κάτω φερόμενον, τὸ δὲ ἐς τὼ ἄνω. ὥστε μένει τὸ σχᾶμα· οὐδέτερον γὰρ ὑπ’ οὐδετέρου ἐξωθή σει. τὰ δ’ αὐτὰ ἐρειται καὶ εἰ κατὰ τὸ σχᾶμα ἡμισφαίριον ἢ τῆι ἔλασ σον ἡμισφαιρίου.

Figure 1.8.1 ΚΑΙ τὸ νῦν, εἰς τὸ σχᾶμα κουφότερον ἐὸν ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῆ ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως , ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ ὅλην εἶμεν ἐν τῶ ὑγρῶι, ὀρθὸν κατατασεῖτ κατατασεῖται τὸ σχᾶμα οὕτως, ἔστω τὸν ἄξονα αὐτοῦ καθ’ ἑαυτὸν εἶμεν. νοείσθω γάρ τι μέγεθος, οἷον εἴρηται, εἰς τὸ ὑγρὸν ἀφεώμενον, νοείσθω δὴ καὶ ἐπίπεδον ἀγόμενον δ διὰ τ τοῦ ἄξον ἄξονος τοῦ τμάματος καὶ διὰ τ τοῦ κέντρου τοῦ ΓΛΑ, τομὰ δὲ ἔστω τᾶς μὲν ἐπι φανείας τοῦ ὑγροῦ ἁ ΑΒ ΓΔ πε ριφέρεια, τοῦ δὲ σχάματος ἁ ΕΖΗ περιφέρεια καὶ ἁ ΕΗ εὐθεῖα, ἄ ξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος ἁ ΖΘ. εἰ οὖν δυνατόν, μὴ κατὰ ὀρθὸν ἔστω ἁ ΖΘ· εἰ κται οὖν, ὅτι οὐ μενεῖ τὸ σχῆμα, ἀλλὰ ἐπ’ ὀρθὸν κατα τασεῖται. ἔστι δὴ τὸ κέντρον τᾶς σφαίρας ἐπὶ τῆς ΖΘ· πάλιν γὰρ ἡμισφαιρίου ἔστω πρῶ πρῶτον τὸ σχᾶμα· καὶ ἔστω τὸ Κ· διὰ δὲ τοῦ Κ καὶ τοῦ κέντρου τᾶς γᾶς τοῦ Λ ἄχθω δὲ κατὰ τὸ σχῆμα τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑ γροῦ ἀπολαμβανόμενον ὑπὸ τ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τὸν ἄξονα ἔχει ἐπὶ τᾶς διὰ τοῦ Κ, διὰ ταὐτὰ τοῖς πρότερόν ἐστιν αὐτοῦ τὸ κέν τρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τασι ΙΒ· ἔστω γὰρ τὸ Ρ. τοῦ δὲ ὅλου τμάματος τὸ κ κέν τρον ἐστὶ τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΖΘ μεταξὺ τῶν ΚΖ· ἔστω τὸ Τ. τοῦ ἄρα λοιποῦ σχάματος τοῦ ἐν τῶι ὑ γρῶι τὸ κέντρον ἐσσεῖται ἐπὶ τ τᾶς Τ εὐθείας ἐκβληθείσας τινός, δείξει περὶ τὸν ΤΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ἔχει τὸ μέρος τοῦ τμάματος ἐκ τὸς τοῦ Υ ποτὶ τὸ βάρος τοῦ σχά ματος τοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι· κατὰ τὸ Σ κέντρου εἰρημένου σχήματ σχήματος , διὰ τοῦ κάθετος ἔστω τὸ ΘΣΛ· οἰ σεῖται οὖν τὸ βάρος τοῦ μὲν τμά ματος, ὅ ἐστιν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, κατὰ τᾶς εὐθείας τᾶς ΡΛ ἔστω κάτω, τοῦ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι σχάματ σχάματος κατὰ τᾶς εὐθείας τᾶς ΕΛ ἔστω αν ει ω. οὐκ ἄρα μὲν εἰς τὸ σχᾶμα, ἀλλὰ τὰ μ μὲν τ τοῦ σχάματος τὰ μὲν ποτὶ τῶι ἡ μέρει οἷς οὔτε ἔστω κάτω, τὰ δὲ ποτὶ τὸ Ε ἔσται τὸ ἄνω, καὶ ἀεὶ τοῦτο ἐσσεῖται, καὶ ὁ ΕΖ κατὰ κά θετον γένηται. ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΥ ΑΡΧΙ ΜΗΔΟΥΣ ΟΧΟΥΜΕΝ ΟΧΟΥΜΕΝων Α

Figure 1.9.1

Β Α ΕΙ κά τι μέγεθος κουφότερον ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῆ ἐς τὸ ὑγρόν, τοῦτο τοῦτον ἕξει τὸν λόγον τῶι βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν ἔχει τὸ δεδυκὸς μέγεθ μέγεθος ποτὶ τὸ ὅλον μέγεθος. ἀφείσθω γάρ τι εἰς τὸ ὑγρὸν μέγεθος στερε ὸν τὸ ΦΑ κουφότερον τοῦ ὑγροῦ, ἔστω δὲ τὸ μὲν δεδυκὸς αὐτοῦ τὸ Α, τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ Φ. δεικτ δεικτέον ὅτι τὸ ΦΑ μέγεθος τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν τὸ ἰσόογκον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ Α πρὸς τὸ ΦΑ. εἰλήφθω γάρ τι τοῦ ὑγροῦ μέγεθος ἰσόογκ ἰσόογκον τῶι ΦΑ, τὸ ΝΙ καὶ τῶι μὲν Φ ἴσον ἔ στω τὸ Ν, τῶι δὲ Α τὸ Ι, καὶ ἔτι τὸ μὲν τοῦ ΦΑ μεγέθους βάρος ἔστω τὸ Β, τοῦ δὲ ΝΙ τὸ ΡΟ, τοῦ δὲ Ι τὸ Ρ· τὸ ΦΑ ἄρα πρὸς τὸ ΝΙ τοῦτον ἔχει τὸν λό γον, ὃν τὸ Β πρὸς τὸ ΡΟ. ἀλλ’ ἐπὶ τὸ ΦΑ μέγεθος ἐς τὸ ὑγρὸν ἀφίηται κου φότερον ὑπάρχον τοῦ ὑγροῦ, δῆ λον, ὡς ὁ τοῦ δεδυκότος μεγέ θους ὄγκος ἴσον βάρος ἔχει τῶι ΦΑ μεγέθει· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἴ σον ἄρα τὸ Β βάρος τῶι Ρ, ἐπει ἐπειδὴ τὸ μὲν Β βάρος τοῦ ὅλου τοῦ ΦΑ μεγέθους, τὸ δὲ Ρ τοῦ Ι ὑγροῦ οὗ περ ἐγίγνετο ἴσον τὸ ἴσον ὄγκο ὄγκον ἔχοντι τῶι δεδυκότι μεγέθει τῶι Α· ἔχει ἄρα τὸ ΦΑ μέγεθος τῶι βάρει πρὸς τὸ ΝΙ, ὃν τὸ Ρ πρὸς τὸν ΡΟ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ Ρ πρὸς τὸν ΡΟ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ Ι πρὸς τὸ ΙΝ καὶ τὸ Α πρὸς τὸ ΦΑ· δέδεικτ δέδεικται τὸ ὀρθόν.

Figure 2.1.1 Β Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς, ὅταν τὸν ἄξονα σχῆι μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τῆς μέ χρι τοῦ ἄξονος, πάντα λόγον ἔχο ἔχον πρὸς τὸ ὑγρὸν τῶι βάρει, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲ τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμέ νον, ἀλλὰ ἀποκαταστήσεται ὀρθ ὀρθόν . ὀρθὸν δὲ λέγω καθεστηκέναι τὸ τοιοῦτο τμᾶμα, ὁπόταν τὸ ἀπο τετμηκὸς αὐτὸ ἐπίπεδον ἦι π παρὰ τὴν ἐπιφάνειαν ἦι τοῦ ὑγροῦ. ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοει δοῦς, οἷον εἴρηται, καὶ κείσθω κεκλιμένον δεικτέον, ὅτι οὐ με νεῖ, ἀλλ’ ἀποκαταστήσεται ὀρθό ὀρθόν . τμηθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδωι διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῶι πρὸς τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐν τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ὑγροῦ τμάματος ἔστω τὸ μὴ ΑΠ ΟΛ ὀρθογωνίου κών κώνου τομή, ἄξων δὲ τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τῆς τομῆς ἡ ΝΟ, τῆς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανεί ἐπιφανείας τομὴ ἡ ΙΣ. ἐπεὶ οὖν τὸ τμᾶμα οὐ κ ἔστιν ὀρθόν, οὐκ ἂν εἴη παράλ ληλος ἡ ΩΛ τῆς ΙΣ· ὥστε οὐ ποι ήσει ὀρθὴν γωνίαν ἡ ΝΘ πρ πρὸς τ τὴν ΙΣ. ἤχθω οὖν παράλληλος ἡ ἐ φαπτομένη ΙΣ ΚΩ τῆι τῆς τοῦ κώνου τομῆς κατὰ τὸ Π, καὶ ἀπὸ τοῦ Π παρὰ τὸ ΝΟ ἤχθω· τέ μνει δὲ ἡ ΠΦ δίχα τὴν ΙΣ· δέδει κται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς. τετμήσ θω ἡ ΠΦ, ὥστε εἶναι διπλῆ τὴν ΠΒ τῆς ΒΦ, καὶ ἡ ΝΟ κατὰ τὸ Ρ, ὥστε καὶ ΟΡ τῆς ΡΝ διπλῆν εἶναι· ἔσται δὴ τοῦ μείζονος ὅ λου τμάματος τοῦ στερεοῦ κέν τρον τοῦ βάρους τὸ Ρ, τοῦ δὲ κατὰ τὴν ΙΠΟΣ τὸ Β· δέδεικται γὰρ ἐν ταῖς ἰσορροπείαις, ὅτι παν τὸς ὀρθογωνίου κώνου εἴδς εἴδους τμάματος τὸ κέντρον τοῦ βά ρους ἐστὶν ἐπὶ τοῦ ἄξονος διη ρήσθω οὕτως, ὥστε τὸ πρὸς τῆι κορυφῆι τοῦ ἄξονος τμᾶμα διπλάσιον εἶμεν τοῦ λοιποῦ. ἀ φαιρεθέντος δὲ τοῦ κατὰ τὴν ΙΠΟΣ τμάματος στερεοῦ ἀ πὸ τοῦ ὅλου τοῦ λοιποῦ κέν τρου ἔσται τοῦ βάρους ὁ ἐπὶ τ τῆς ΒΓ εὐθείας· δέδεικται γὰρ τοῦ το ἐν τοῖς στοιχείοις τῶν μηχα νικῶν, ὅτι , ἐὰν ἀπό τινος μεγέ θους ἀφειρηθη τι μέγεθος τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχον τοῦ βάρους τῶι ὅλωι μεγέθει, τοῦ λοιποῦ τὸ κέντρον ἔσται τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐπιζευγνούσης τὰ κέντρα τοῦ τε ὅλου μεγέθεος καὶ τοῦ ἀφηρημένου ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ’ οὗ τὸ κέντρον τοῦ ὅλου μεγέ θους ἐστίν . ἐκβεβλήσθω δὴ ἡ ΒΡ ἐπὶ τὸ Γ, καὶ ἔστω τὸ Γ τοῦ βάρους τοῦ λοιποῦ μεγέθους. ἐπεὶ οὖν ἡ ΝΟ τῆς μὲν ΟΡ η μη δια τις δὲ μέχρι τοῦ ἄξονος οὐ μεῖζον εἰ ἡμιολί α, δῆλον, ὅτι ἡ ΡΟ τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος οὐκ ἔστι μείζων· ἡ ΠΡ ἄρα πρὸς τὴν ΚΩ γωνίας ἀνίσους ποιεῖ, καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΡΠΩ γίνετ γίνεται ὀξείη· ἀπὸ τοῦ Ρ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὴν ΠΩ ἀγομένη μεταξὺ πεσεῖτ πεσεῖται τῶν ΠΩ. πιπτέτω ὡς ἡ ΡΘ· ἡ ΡΘ ἄρα ὀρθή ἐστι καὶ πρὸς τὸ τοῦ ὕδα τος ἐπίπεδον, ἐν ὧι ἐστιν ἡ ΣΙ, ὅ ἐστιν ἡ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ. ἤχθωσαν δέ τινες ἀπὸ τῶ τῶν ΒΓ παρὰ τὰν ΡΘ· ἐνεχθήσεται δὴ τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ οὗ μεγέ θους εἰς τὸ κάτω κατὰ τὴν διὰ τοῦ Γ ἀγομένην κάθετον· ὑπόκειται ἕκαστον τῶν βαρέων εἴς τε κάτω φέρεσθαι κατὰ τὴν κάθετον τὴν διὰ τοῦ κέντρου ἀγομένην· τὸ δὲ ἐν τῶι ὑγρῶι μέγεθος, ἐπὶ κουφό τερον γίνεται τοῦ ὑγροῦ, ἐνεχθή σεται εἰς τὸ ἄνω κατὰ τὴν κάθε τον τὴν διὰ τοῦ Β ἀγομένην. ἐπι πέδου κατὰ τὴν αὐτὴν κάθετο κάθετον ἀλλὰ ἀλλήλοις ἀντιθλίβονται, δῆλον, ὡς οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα ἐν τῶι ὑγρῶι ἀλλὰ τὰ μὲν κατὰ τὸ Α εἰς τὸ ἄνω ἐνεχθήσεται, τὰ δὲ κατὰ τὸ Λ εἰς τὸ κάτω, ἀεὶ ἔστε ἔστεν , ἕως ἂν ὀρθὸν ἀποκατασταθῆι. ΕΞΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ

Figure 2.2.1 Γ Ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κω νοειδοῦς, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχη μὴ μείζονα ἡμιόλιον τῆς μέχρι τοὺς ἄξονας, πάντα λόγον ἔχον πρὸς τὸ ὑγρὸν τῶι βάρει, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ ὅλην εἶναι ἐν τῶι ὑγρῶι, τε θὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλι μένον, ἀλλ’ ἀποκαταστησεῖται οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κα τὰ κάθετον εἶναι. ἀφείσθω γάρ τι τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρόν, οἷον εἴρητ εἴρηται , καὶ ἔσται αὐτοῦ ἡ βάσει ἐν τῶι ὑ γρῶι, τμηθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέ δωι διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῶι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ το μὴ ἔστω ἡ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομή, ἄξων δὲ τοῦ τμά ματος καὶ διὰ τῆς τομῆς ἡ ΠΦ, τῆς δ’ ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ το μὴ ἡ ΙΣ. ἔπειθ’ οὖν κεκλιμένον κεῖται τὸ τμᾶμα, οὐκ ἔσται κα τὰ κάθετον ὁ ἄξων· οὐκ ἄρα ποιήσει ἡ ΠΦ ἴσας γωνίας πρὸς τῆι ΙΣ η η ΧΘ ω δή τις ἡ ΚΩ παρὰ τὴν ΙΣ ἐφαπτομένα κατὰ τὸ Ο τᾶς ΑΠΟΛ τομῆς, καὶ τοῦ μ μὲν ΑΠΟΛ στερεοῦ ἔστω τοῦ βάρους τὸ Ρ, τοῦ δὲ ΙΠΟΣ στερεοῦ τὸ Β, καὶ ἐπιζευχθεῖσα δὴ ΒΡ ἐκβεβλήσ θω, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ βάρους τὸ Γ τοῦ ΙΣ ΛΑ. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται ἡ μὲν ὑπὸ τᾶν ΡΟ ΟΚ γωνίαν ὀξεῖ α, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ κάθετος ἐπὶ τὴν ΚΩ ἀγομένα μεταξὺ πίπτουσα τῶν ΚΩ· ἔστω ἡ ΡΘ. ἐὰν δὴ ἀπὸ τῶν ΓΒ ἀχθὴν ἔσται παρὰ τὴν ΡΘ, τὸ μὲν ἐν τῶι ὑγρῶι ἀποληφθὲ ἀποληφθὲν ἐνεχθήσεται ἄνω κατὰ τὴν δι ὰ τοῦ Γ ἀγομέναν, τὸ δ’ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὴν διὰ τοῦ Β εἰς τὸ κά τω, καὶ οὐ μενεῖ τὸ ΑΠΟΛ στερεὸν οὕτως ἔχον ἐν τῶι ὑγρῶι, ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ τὸ Α ἄνω τὴν φορὰν ἕξει, τὸ δὲ κατὰ τὸ Λ κάτω, ἕως ἂν γένηται ἡ ΠΦ κατὰ κά θετον.

Figure 2.3.1 ΤΟ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνί ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς, ὁπόταν κουφότε ρον ἦ τοῦ ὑγροῦ καὶ τὸν ἄξονα ἔχη μεῖζον ἡμιόλιον τῆς μέ χρι τοῦ ἄξονος, ἐὰν τῶι βάρει πρὸς τὸ ἴσογκον ὑγρὸν μὴ ἐλάσ σονα λόγον ἔχη τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ὑπε ροχῆς, ἧ μεῖζόν ἐστιν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τῆς μέχρι τοῦ ἄξον ἄξονος , πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμέ νον, ἀλλὰ ἀποκαταστήσεται εἰς ὀρθόν. ἔστω τμᾶμα ὀρθο γωνίου κωνοειδοῦς, οἷον εἴρη ται, καὶ ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρόν, εἰ δυ νατόν, ἔστω μὴ ὀρθόν, ἀλλὰ ἐκκλιθέν, τμηθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδωι διὰ τοῦ ἄξονος ὀρ θῶ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τοῦ μὲν τμάματος τομὴ. Τὸ ὀρθὸν τμῆμα τοῦ ὀρθογωνί ου κωνοειδοῦς, ὅταν τὸ ὑγρὸν κ κου φότερον ἦ καὶ τὸν ἄξονα ἔχη μείζονα ἢ ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε λόγον ἔχειν πρὸς τὴν μέχρι τοῦ ἄξονος ἢ ἡμιόλιον τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος, ὃν τὰ ΡΕ πρ πρὸς ΔΑ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν ὅ λην εἶναι ἐν τῶι ὑγρῶι, οὐδέποτε καταστήσεται οὕτως, ὥστε τὴν βά σιν αὐτοῦ ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. ἔστω τμῆμα, οἷον εἴρηται, καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑ γρὸν καθάπερ ἐρρέθη, καθε στηκέτω οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐ τοῦ ἅπτεσθ ἅπτεσθαι τ τῆς τ τοῦ ὑγρ ὑγροῦ ἐπι φανεί φανείας . δει κτέ κτέον , ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλ ἀλλὰ κλιθή ἀποκλιθή σετ σεται , τε ὥστε τ τὴν βάσ βάσιν αὐτοῦ μὴ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. τμηθέντος γὰρ αὐτοῦ ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρ πρὸς τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν τομὴ ἔστω ἡ ΑΠ ΟΛ ὀρθογωνίου κών κώνου τομῆς, ἔστω δὲ καὶ τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας τομὴ ἡ ΣΑ, ἄξων δ’ ἔ στω τοῦ τμήματος καὶ διάμετρος ἡ ΠΦ, πάλιν δὲ τεμήσθω ἡ ΠΦ κα κατὰ μὲν τὸ Ρ, ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΡΠ τῆς ΡΦ, κατὰ δὲ τὸ Ω, ὥστε τὴν ΠΦ πρὸς τὴν ΡΩ λόγον ἔχει ἔχειν ὃν τὰ ΙΕ πρὸς Δ, καὶ ἡ ΩΚ ὀρθὴ ἤχθω τῆι ΠΦ· ἔσται δ’ ἐλάσσων ἡ ΡΩ τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος. ἀπειλήφθω οὖν τῆ μέχρι τοῦ ἄξονος ἴση ἡ ΡΗ, καὶ ἡ μὲν ΤΟ ἤχθω ἐφαπτομένη τῆς τομῆς κατὰ τὸ Ο παράλληλος οὖσα τᾶι ΛΣ, ἡ δὲ ΝΟ τῆι ΠΦ, τεμνέτω δὴ ἡ ΝΟ τὴν ΚΩ πρότερον κατὰ τὸ Ι. ὁμοίως δὴ τῶ πρὸ τούτου δειχθήσετ δειχθήσεται , ὅτι ἡ ΝΟ ἤτοι ἡ ἡμιολία τῆς ΟΙ ἢ μεῖ ζον ἡμιολία· γίνεται ἡ δὲ ΟΘ τῆς ΘΝ ἔλασσον ἢ διπλασία τῆς ΒΝ, καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτά· ὁμοίως οὖν δειχθήσεται ἡ ΡΘ ὀρθὰς γωνίας ποιοῦσα πρὸς τὴν ΤΟ καὶ πρὸς τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, καὶ ἀπὸ τῶν ΒΓ ἀχθεῖσαν παρὰ τὴν ΡΟ κάθετοι ἔσονται ἐπὶ τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνει ἐπιφάνειαν . κατενεχθήσεται οὖν τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμῆμα εἰς τὸ ὑγρὸν κατὰ τὴν διὰ τοῦ Β κάθετον, τὸ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι ἀνενεχθήσεται κατὰ τὴν Γ· φανερὸν οὖν, ὅτι ἐπικλιθήσεται τὸ στερεόν, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μη δὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐ πιφανείας, ἐπειδὴ νῦν καθ’ ἓν ση μεῖον ἁπτομένη εἰς τὰ κάτω φέρε ται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶ Α. φανερὸν δέ, ὅτι , κἂν ἡ ΟΝ μὴ τέμνη τὴν ΩΚ, ταῦτα δειχθήσεται.

Figure 2.7.1 Τὸ ὀρθὸν τμῆμα τοῦ ὀρθογωνί ὀρθογωνίου κωνοειδοῦς, ὅταν τὸν ἄξονα ἔχη μεῖζον ἡμιόλιον τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ τὴν, ὥστε πρὸς τὴν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ΙΕ ἡ πρ πρὸς τὰ Δ, ἐὰν τὸ βάρος πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχη τοῦ, ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ὑπερο χῆς, ἧ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμι όλιος τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος, πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὴν βάσι βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὔτ’ ἐς ὀρθὸν ἀποκαταστήσεται οὐ μὴν κεκλιμένον, πλὴν ὁπόταν ὁ ἄξω ἄξων αὐτοῦ πρ πρὸς τὴν ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ποι ῆι γωνίαν ἴσην τῆι μελλούσηι λέ γεσθαι. ἔστω τμῆμα οἷον εἴρηται, καὶ ἡ ΒΔ ἴση τῶι ἄξονι, καὶ ἡ μ μὲν ΒΚ τῆς ΚΔ διπλῆ ἔστω , ἡ δὲ ΚΡ ἴση τῆι μέχρι τοῦ ἄξονος, ἔστω δὴ καὶ ἡ μὲν ΤΒ ἡμιολία τῆς ΒΡ, ἡ δὲ ΓΔ τ τῆς ΚΡ, ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ τμῆμα τῶ βάρει πρὸς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τῆς ΦΧ τετράγωνον πρ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ἔστω δὴ καὶ ἡ Φ διπλασία τῆς Χ. δῆλον οὖν, ὅτι ἡ Φ πρὸς τὴν ΔΒ ἐλάσσονα λόγο λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ἡ Β πρ πρὸς τὴν ΒΔ· ἔστι γὰρ ὑπεροχή, ἧ μείζων ἡμιόλιος ὁ ἄξων τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΦΧ τῆς ΒΤ· ὥσ τε καὶ ἡ Φ τῆς ΒΡ. ἔστω δὴ τῆι Φ ἴση ἡ ΡΨ, καὶ τῆι ΒΔ ὀρθὴ ἤχθω ἡ ΨΕ δυναμένη τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΚΡ ΒΨ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΙΕ. δει κτέον, ὅτι τὸ τμῆμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν, ὡς εἴρηται, καταστή καταστήσεται κεκλιμένον, ὥστε τὸν ἄξονα πρ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν ἴσην γωνίαν τῆι ΙΒ. ἀφειρήσθω γάρ τι ἐς τὸ ὑγρὸν τμῆμα, καὶ ἡ βάσις αὐτοῦ μὴ ἁπτέσθω τ τῆς τ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καί , εἰ δυνατό δυνατόν , μὴ ποιείσθω ὁ ἄξων αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἴσην τῆι Β, ἀλλὰ μείζω πρῶτον τμη θέντος δὴ τοῦ τμήματος ἐπιπέ δωι διὰ τοῦ ἄξονος πρ πρὸς τὴν ἐπιφά νειαν τοῦ ὑγροῦ τομὴ ἔσται ἡ ΑΠΟΛ ὀρθογώνιον κώνου τομή, ἐν δὲ τῆι τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείαι ἡ ΞΣ, ἄξω ἄξων δὲ καὶ διάμετρος τοῦ τμήματος ἡ ΝΟ. ἤχθω δὴ καὶ ἡ μὲν ΠΟ πα ρὰ τὴν ΞΣ ἐφαπτομένη τῆς ΑΠ ΟΛ τομῆς κατὰ τὸ Π, ἡ μὲν ΠΜ ἄρα τὴν ΝΟ, ἡ δὲ ΠΙ κάθετος ἐπὶ τὴν ΝΟ, καὶ τῆι ΒΡ ἔστω ἡ ΗΒΡ τῆι ΟΩ, ἡ δὲ ΡΚ τῆι ΩΘ, καὶ ὴ ὀρθὴ ἡ ΩΗ τῶ ἄξονι. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὁ ἄξω ἄξων τοῦ τμήματος πρ πρὸς τὴ τὴν ἐπιφά νειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖ μεί ζονα τῆς Ε, δῆλον, ὅτι τοῦ ΠΟϘ τριγώνου ἡ πρὸς τῶι Ϙ γωνία μεῖζον τῆς Β· μείζονα οὖν λόγ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΠΙ πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τ τῆς ΕϘ ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΨ πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΨΒ. ἀλλ’ ὃν μὲν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΠΙ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΙϘ, τοῦτον ἔχει ἡ ΚΡ πρὸς ΥΙ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΨ πρὸς τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΨΒ, τοῦτο τοῦτον ἔχει ἡμίσεια τῆς ΚΡ πρὸς τὴν ΨΒ· καὶ ὃν ἄρα λόγον ἔχει ἡ ΚΡ πρὸς τὴν ϘΙ, ἡ ΠΕΗ ἡμίσεια τῆς ΚΡ πρὸς τὴν ΨΒ· ἐλάσσων ἄρα ἢ διπλῆ ἡ ϘΙ τῆς ΨΒ. τῆς δ’ ἐλάσσω ἄρα ἡ ΟΙ τῆς ΨΒ· ὥστε ἡ ΙΩ μείζων ἐστὶ τῆς ΨΡ. ἡ δὲ ΨΡ ἴση ἐστὶ τῆς Φ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΗ τῆς Φ. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἔχειν λό γον, ὃν τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΦΧ πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τ τῆς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτ αὐτοῦ πρὸς τὸ ὅλον τμῆμα, ὃν δὲ τὸ δεδυ κὸς πρὸς τὸ ὅλον, τοῦτον ἔχει τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΠΜ πρ πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΟΝ, ὃν ἄρα λόγον ἔχει τὸ τετράγων τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΦΧ πρὸς τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΜΠ πρὸς τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΟΝ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΧ τῆι ΠΜ. ἡ δὲ ΠΗ ἐδείχθη μείζων οὖσα τῆς Φ· δῆλον οὖν, ὅτι ἡ ΠΜ ἐλάσσων ἡμιολία ἐστὶ ἐστὶν τῆς ΠΗ, ἡ δὲ ΠΗ τῆς ΗΜ μείζ μείζων ἢ διπλασίων. ἔστω οὖν ἡ ΠΖ δι πλασία τῆς ΖΜ· ἔσται δὴ τὸ μὲν Θ κέντρον τοῦ βάρους στε ρεοῦ, τοῦ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ Ζ· τοῦ λοιποῦ μεγέθους τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἔσται ἐπὶ τῆς τᾶς ΖΘ ἐπιζευγνυούσης, καὶ ἐκ βεβλήσθω ἐπὶ τὸ ΕΓ· δειχθή σεται δὲ ὁμοίως ἡ ΘΗ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνει ἐπιφάνειαν , καὶ τὸ μὲν ἐντὸς τοῦ ὑγροῦ τμῆμα ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατὰ τὴν διὰ τοῦ Ζ ἀγομένην κάθε τον ἐπὶ τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνεια ἐπιφάνειαν , τὸ δ’ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἐνεχθήσετ ἐνεχθήσεται ἐς τὸ ὑγρὸν κατὰ τὴν διὰ τοῦ Γ· οὐ μενεῖ δὲ τὸ τμῆμα κατὰ τὴν ὑπο τεθεῖσαν κλίσιν. οὐδὲ μὴν ἐς ὀρ θὸν ἀποκαταστήσηται. δῆλόν γε διὰ τούτων· ἐπὶ γὰρ τῶν ἠγμένω ἠγμένων διὰ τῶν ΖΓ καθέτων ἡ μὲν διὰ τοῦ Ζ ἀγομένη τῆς ΓΖ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πίπτει, ἐφ’ ἅ ἐστί κα τὸ Γ, ἡ δὲ διὰ τοῦ Γ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῆι ΖΓ, δῆλον, ὅτι διὰ τὰ προειρημένα τὸ μὲν Ζ κέν τρον ἀνοισθήσεται, τὸ δὲ Γ κάτω· ὥστε τοῦ ὅλου μεγέθους τὰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ Α κάτω οἰσθήσεται. τοῦ δ’ ἦν εὔχρηστον πρὸς τὸ δεῖξαι.

Figure 2.8.1 Ὑποκείσθω πάλιν τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτά, ὁ δ’ ἄξων τοῦ τμήματος πρὸς τὴ τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεί τω γωνίας τῆς Β· ἔλασσον δῆλ δῆλον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΠΙ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΙϘ ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΨ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΨΒ· καὶ ἡ ΚΡ ἄρα πρὸς τὴν ϘΙ ἐλάσσονα λόγον ἔ χει ἡ ἡμίσεια τῆς ΚΡ πρὸς τὴν ΨΒ. μεῖζον ἄρα ἐστὶν ἢ διπλασίων ἡ ΙϘ τῆς ΨΒ· ἡ δὲ ω ἔλασσον τῆς ΨΒ. ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΠΗ ἐλάσσων τῆς Φ. ἡ δὲ ΜΠ τῆς ΦΧ η ἴση · δῆλον, ὅτι μείζω μείζων ἡμιολία ἡ ΠΜ τῆς ΠΗ, ἡ δὲ ΠΗ ἐ λάσσων ἢ διπλασία τῆς ΗΜ. ἔστω οὖν ἡ ΠΖ τῆς ΖΜ διπλῆ. πάλιν οὖν τοῦ μὲν ὅλου κέντρον ἔσται τ τοῦ βάρους Θ, τοῦ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ Ζ· ἐπιζευχθείσης δὲ τῆς ΖΘ καὶ ἐκ βληθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἐπὶ τῆς ἐκβαλλο μένης. ἔστω τὸ Γ, καὶ ἤχθωσαν κά θετος ἐπὶ τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνει αν αἱ διὰ τῶν ΖΓ παρὰ τὴν ΗΘ· δῆλον οὖν, ὅτι οὐ μενεῖ τὸ ὅλον τμῆ μα, ἀλλὰ κλειθήσεται, ὥστε τὸν ἄξο να πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγρ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν μείζονα ἧς νῦν ποιεῖ. καὶ ἐπὶ δὲ οὔται γωνίαν μεί ζονα τῆς Β ποιοῦντος τοῦ ἄξονος πρὸς τὸ ὑγρὸν καθίστησται τὸ τμῆ μα οὔδ’ ἐλάσσονα, φανερόν, ὅτι τηλικαύτην ποιοῦντος ἀποκατα σταθήσεται· οὕτως γὰρ ἔσται ἥ τε ΙΟ ἴση τῆι ΨΒ καὶ ἡ Ρ τῆι ΨΡ καὶ ἡ ΠΗ τῆ Φ· ἡμιολία οὐν ἔσται ἡ ΜΠ τῆς Π, ἡ δὲ ΠΗ τῆς ΗΜ διπλα σία. τὸ δὲ Η ἄρα τοῦ ἐν τῶι ὑγρῶι

Figure 2.8.2 βάρους κέντρον ἐστίν· ὥστε κατὰ τὴν αὐτὴν κάθετον ἀνενεχθήσε ται, καὶ τὸ ἐκτὸς καὶ οὐδὲν κατενε χθήσεται. μενεῖ ἄρα· ἀντωθοῦνται γὰρ ὑπ’ ἀλλήλων. τὸ ὀρθὸν τμῆμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδς κωνοειδούς , ὅταν τὸν ἄξονα ἔχη μείζονα μὲν ἡμιόλιον τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ΙΕ πρὸς Δ, ἐὰν τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν μείζονα λό γον ἔχηι τό, ὃν ἔχει ἡ ὑπεροχή, ἧ μεῖ ζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος τετρά γωνον τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς, ἧ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξω ἄξων ἢ ἡμιόλιος τῆς μέχρι τοῦ ἄξον ἄξονος , πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄ ξονος, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ ὅλην εἶναι ἐν τῶι ὑγρῶι, τεθὲν κεκλιμένον οὔ τε καταστραφήσεται, ὥστε τὸν ἄξο να αὐτοῦ κατὰ κάθετον εἶναι, οὔτε μενεῖ κεκλιμένον, πλὴν ὅταν ὁ ἄξων αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνεια ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖ γωνίαν ἴσην τῆι ληφθείσηι ὁμοίως, ἧι πρότερον. ἔστω τμῆμα οἷον εἴρηται, καὶ κείσ θω ἡ ΛΒ ϘΠ τῶι ἄξονι τοῦ τμήμα τος, καὶ ἡ μὲν ΒΚ τῆς ΚΔ διπλα σία ἔστω, ἡ δὲ ΚΡ η ἴση τῆι μέχρι τοῦ ἄξονος, ἡ δὲ ΤΒ ἡμιολία τῆς ΒΡ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμῆμα το βάρει πρὸς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἔχει ἡ ὑπεροχή, ἧ ὑπερέχει τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ, πρός τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἔστω δὲ ἡ Φ διπλασία τῆς Χ. δῆλον, ὅτι ἡ ὑ περοχή, ἧ ὑπερέχει τὸ τετράγω νον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΤ, πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἐστὶν ἤ ἐστιν ὁ ἄξων τοῦ τμή ματος ἢ ἡμιόλιος τῆς μέχρι τ τοῦ ἄξονος. μείζονι ἄρα ὑπεροχῆ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ ἀ πὸ τῆς ΦΧ ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τῆς ΒΔ τοῦ τετραγώνου τούτου ἀπὸ τῆς ΒΤ· ὥστε ἔλασσόν ἐστιν ἡ ΦΧ τῆς ΒΤ· καὶ ἡ Φ ἄρα τῆς ΒΡ. ἔστω οὖν τῆι Φ ἴση ἡ ΡΨ, καὶ ἡ ΨΕ ὀρθὴ ἤχθω τῆι ΒΔ δυναμένη τὸ ἥμισυ τοῦ περιεχομένου ὑ πὲρ τῆς ΚΡ ΨΒ. φαμὶ δὴ τὸ τμῆ μα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὴ τὴν βάσιν αὐτοῦ ὅλην εἶναι ἐν τῶι ὑγρῶι, καταστήσεσθαι οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτ αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἴσην τῆι Β. ἀφείσθω μὲν γὰρ τὸ τμῆμα, ὡς εἴρηται, ἐς τὸ ὑγρόν, καὶ μὴ ποιείτω ὁ ἄξων πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ϘΗ τῆ ΙΒ, ἀλλὰ μείζονα πρότερον. τμη θέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἔστω τοῦ τμήματος τομὴ ἡ ΑΠ ΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομή, τῆς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας ΤΙ α, ἄξων δ’ ἔστω τοῦ τμήματ τμήματος καὶ διάμετρος ἡ ΝΟ, καὶ τετμήσ θω κατὰ τὰ ΩΘ, ὡς καὶ πρό τερον, ἤχθω δὲ καὶ ἡ μὲν ΥΠ παρὰ τὴν ΤΙ ἐφαπτομένην τῆς τομῆς κατὰ τὸ Π, ἡ δὲ ΠΗ παρὰ τὴν ΝΟ, ἡ δὲ ΠΣ κάθετος ἐπὶ τὸν ἄξονα. ἐπεὶ γὰρ ὁ ἄξων τοῦ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνει αν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖ γωνίαν μείζονα τῆς ΒΕ, εἴη ἂν ἡ ΣΥΠ μεῖζον τῆς Β· τὸ ἄρα τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΠΣ πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τ τῆς ΣΥ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΨΕ πρὸς τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΨΒ. καὶ ΚΡ ἄρα πρὸς ΣΥ μείζονα λόγον ἔχει ἡμι σείας τῆς ΚΡ πρὸς τὴν ΨΒ· ἐλάσσω ἐλάσσων ἄρα ἡ ΣΥ ἢ διπλάσια τῆς ΨΒ. καὶ ΠΣΟ τῆς ΨΒ ἐλάσσων· ἡ ΣΩ ἄρα μείζων τῆς ΡΨ καὶ ἡ ΠΗ τῆς Φ. καὶ ἐπεὶ τὸ τμῆμα τῶι βά ρει λόγον ἔχει πρὸς τὸ ὑγρόν, ὃν ἡ ὑπεροχή, ἧ μεῖζόν ἐστιν τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ τετρα γώνου τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ, πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ τμῆμα πρὸς τὸ ὅλο ὅλον , ὅτι τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ τμῆμα πρὸς τὸ ὅλον τμῆμα, ὃν ἡ ὑπεροχή, ἧ ὑπερέχει τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ τε τραγώνου τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ, πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ ΒΔ· ἕξει οὖν καὶ τὸ ὅλον τμῆμα πρὸς τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΦΧ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ὅλον τμῆμα πρὸς τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, τοῦτον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΝΟ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΠΙ· ἴση ἄρα ἡ ΜΠ τῆι ΦΧ. ἡ δὲ ΠΗ ἐδείχθη μεῖζ μεῖζον τῆς Φ· ἡ ΜΗ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς Χ· μείζων ἢ διπλασία ΔΙ ἡ ΠΗ τῆς ΗΜ. ἔστω οὖν διπλῆ ἡ ΠΖ τῆς ΖΜ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΘ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ· ἔσται οὖν τοῦ μὲν ὅλου τμήματος κέντρον τοῦ βά ρεος τὸ Θ, τοῦ δ’ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ ΖΠ, τοῦ δ’ ἐντὸς ἐπὶ τῆς ΘΓ· ἔστω δὲ τὸ Γ. δειχθήσεται δὴ ὁμοίως το τοῖς πρότερον ἥ τε ΘΚ κάθετος ἐπὶ τὴ τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν καὶ διὰ τῶν ΖΓ παρὰ τὴν ΘΗ ἀγόμεναι Α κά θετοι καὶ αὐταὶ ἐπὶ τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐ πιφάνειαν. κατενεχθήσεται ἄρα τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμῆμα ἐς τὸ κάτω διὰ τοῦ Ζ, τὸ δ’ ἐντὸς κατὰ τὴν διὰ τοῦ Γ ἀνενεχθή σεται· οὐ μενεῖ ἄρα τὸ ὅλον τμῆ μα ἀκλινές. οὐδὲ μὴν καταστρα φήσεται, ὥστε κατὰ κάθετον εἶναι τὸν ἄξονα ἐπὶ τὴν τοῦ ὑ γροῦ ἐπιφάνειαν, ἐπειδὴ τὰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶι Λ ἐς τὸ ἄνω φέρεται, διὰ τὰν ἀνάλογον τοῖς λεγομέ νοις ἐπὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ. ἐὰν δὲ ὁ ἄξων πρὸς τὸ ὑγρὸν ποιῆι γωνί αν ἔλασσον τῆς Β, ὁμοίως τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐ μέ νει τὸ τμῆμα, ἀλλὰ κλιθήσεται, ἕως ἂν ὁ ἄξων ποιῆι γωνίαν πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγρ ὑγροῦ ἴσην τῆι Β.

Figure 2.9.1 Τὸ ὀρθὸν τμῆμα τοῦ ὀρθογωνί ου κωνοειδοῦς, ὅταν κουφότε ρον ὂν τοῦ ὑγροῦ τὸν ἄξονα ἔ χη μείζονα ὥστε λόγον ἔχειν πρὸς τὴν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦ, ὃν ἔχει τὰ ΙΕ πρὸς τὰ Δ, ἀφεθ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὁτὲ μὲν ὀρθὸν καταστησεῖται, ὁτὲ δὲ κεκλιμένον, καὶ ποτὲ μὲν οὕ τω κεκλιμένον, ὥστε τὴν βάσι βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν σημεῖον ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τοῦτο ἐν δισσοῖς κλίμασι ποιή σει, ποτὲ δὲ οὕτως κεκλιμένο κεκλιμένον καταστήσεται, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον βρέχεσθαι, ποτὲ δ’ οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας· τίνα δὲ λόγον ἔχοντα τῶ βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἕκαστα τού των ἐσται, νῦν δηλωθήσεται. ἔστω τμῆμα, οἷον εἴρηται, καὶ τμηθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδωι ὀρθῶι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὴ ἔστω ἐν τῆ ἐπιφα νείαι ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κών κώνου τομή, ἄξων δ’ ἔστω καὶ διάμετρ διάμετρος τῆς τομῆς ἡ ΒΔ, τετμήσθω δὲ ἡ ΒΔ κατὰ τὸ Κ, ὥστε διπλῶς εἶναι τὴν ΒΚ τῆς ΚΔ, κατὰ δὲ τὸ Τ, ὥστε τὴν ΔΒ πρὸς τὴν ΚΤ λόγον ἔχειν, ὃν τὰ ΙΕ πρὸς Δ· δῆλον οὖν, ὅτι ἡ ΚΤ μείζων ἐστὶ τῆς μέ χρι τοῦ ἄξονος. ἔστω οὖν ἡ ΚΡ ἴση τῆι μέχρι τοῦ ἄξονος, τῆς ΔΕ ΒΡ ἡμίσεια ἔστω ἡ ΡΣ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΣΒ ἡμιολία τῆς ΒΡ. ἐπιζευχθείς ἐπιζευχθείσης δὲ τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΤΕ ὀρθῆς ἀχθεί σης ἤχθω ἡ ΕΖ παρὰ τὴν ΒΔ, καὶ πάλιν τῆς ΑΒ δίχα τμηθείσης κα τὰ τὸ Θ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΔ ἡ ΘΗ, καὶ εἰλήφθω ὀρθογωνίου κώνου τομὴ ἡ ΑΕΙ περὶ διάμετρον τὴν ΕΖ καὶ ἡ ΑΘΔ περὶ διάμετρον τὴ τὴν ΘΗ, ὥστ’ ὁμοίαν εἶναι τὰ ΑΘ ΙΑ ΘΔ τμήματα τῶι ΑΒΛ τμήμα τι· γραφήσεται δὴ ἡ ΑΕΙ κώνου τομὴ διὰ τοῦ Κ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ ὀρ θὴ ἀχθεῖσα τῆι ΒΔ τεμεῖ τὴν ΑΕΙ. τεμνέτω κατὰ τὰ Υ Γ, καὶ διὰ τῶν ΥΓ ἤχθωσαν παρὰ τὴν ΒΔ αἱ ΥΧ ΓΝ, τεμνέτωσαν δὲ αὗται τὴν ΑΒΔ τομὴν κατὰ τὰ ΞΦ, ἤ χθωσαν δὲ καὶ αἱ ΠΨ ΟΗ ἐφα πτόμεναι τῆς ΑΠ ΟΛ τομῆς κα τὰ τὰ ΟΠ. ομενα δή τινα τρία τρήματα τὰ ΑΠΟΛ ΑΕΙ ΑΘΔ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν εὐθειῶ εὐθειῶν καὶ τῶν ὀρθογωνίων κώνω κώνων τομῶν ὀρθὰ καὶ ὅμοια, καὶ ἄνι σα καὶ ἀπείληπται ἀφ’ ἑκάσ της βάσεως, ἀπὸ δὲ τοῦ Ν ἀνηγ μέναι αἱ ΝΞ ΓΝ ΟΓ· ὁ τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΣΞ τὸν συγκείμενον λόγον ἕξει ΙΛ πρὸς ΛΑ, καὶ ὃν ἔ χει ἡ ΑΔ πρὸς ΔΙ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΛΙ πρὸς ΛΑ, ὃν δύο πρ πρὸς Ε· ἡ γὰρ ΤΒ πρ πρὸς ΒΔ ἐστί, ὡς δύο πρ πρὸς Ε, καὶ ἡ ΕΒ πρ πρὸς ΒΑ καὶ ἡ ΔΖ πρὸς ΔΑ, τούτων δὲ διπλῶς αἱ ΛΙ ΛΑ· ἡ ΔΕ ΑΔ πρὸς ΔΙ ἔχει, ὅσον πέντε πρὸς μίαν, ὁ δὲ συνημμένος λόγος ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ δύο πρὸς τὰ Ε καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὸ ἕν, ὁ αὐτός ἐστι τὸ ὧν ἔχει τὰ δύο πρὸς τὸ ΑΔ· ἔστιν ἡ ΟΓΔ τ τῆς ΓΞ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΥ τῆς ΥΦ. ἐπείπερ ἐστὶν ἡ ΔΣ ἡμιολία τ τῆς ΚΡ, δῆλον, ὅτι ἡ ΒΣ ὑπεροχή ἐστι, ἧ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἡμιόλιος τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος. εἰ μὲν οὖν τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἢ μείζων τούτου τοῦ λόγου, ἀφεθὲν τὸ τμῆμα εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὀρ θὸν καταστήσεται· δέδεικται γὰρ πρότερον, ὅτι ἐὰν τμῆμα μείζο να ἔχον τὸν ἄξονα ἢ ἡμιόλιον τ τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐὰν τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν μὴ ἐλάσσονα λόγον ἔχηι τοῦ, ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς, ἧ μείζων ἐστὶ ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος, πρὸς τὸ τετράγωνο τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν οὕτως, εἴρηται, ὀρθὸν καταστήσηται. ἐπὰν δὲ τὸ τμῆ μα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσ σονα μὲν ἔχη τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΣΒ πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τῆς ΒΔ, μείζονα δὲ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΞΘ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τῆς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὴν βά σιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγρ ὑγροῦ , καταστήσεται κεκλιμένον οὕτ οὕτως , ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μηδὲν καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανεί ας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ γωνίαν ποιεῖν πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ μείζονα τῆς Η. ἐὰν δὲ τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχη τὸν λόγον, τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΞΟ πρὸς τὸ τε τράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἀφε θὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον οὕτω, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστήσεται κεκλι μένον οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐ τοῦ ἅπτεσθαι καθ’ ἓν τῆς τοῦ ὑγρ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν εἴση τῆ Η. ἐὰν δὲ τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα μὲν λόγον ἔ χη τοῦ, ὃν ἔχη τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΞΟ πρὸς τὸ τετράγωνο τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, μείζονα δὲ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΠΦ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑ γρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστήσε ται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὴ τὴν δὲ βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τό πον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ. ἐν δὲ τὸ τμῆμα πρὸς τούτω βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λό γον, ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τῆς ΠΦ πρὸς τὸ τετράγωνο τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑ γρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως , ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν ση μεῖον ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, κατα στήσεται δὲ κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν ση μεῖον ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποιεῖ γω νίας ἴσην τῆι Ψ. ἐὰν δὲ τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχη τοῦ, ὃν ἔχει τὸ τετράγω νον τὸ ἀπὸ τῆς ΠΦ πρὸς τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένο κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅ πτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστήσεται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὸν μὲν ἄξονα αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνει αν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσ σονα τῆς Ψ, τὴν δὲ βάσιν τοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑ γροῦ ἐπιφανείας. δειχθήσεται δὲ ταῦτα ἑξῆς. ἐχέτω δὴ πρῶτον τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρ πρὸς τὸ ὑγρὸν μείζονα μὲν λόγον το τοῦ , ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΞΠ τετρά γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἐλάσ σονα δὲ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ὑ περοχῆς τετράγωνον, ἧ μείζω μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἡμιόλιος τῆς μέχρι τοῦ ἄξονος, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον, κ καὶ ὑποκείσθω τὸ πρότερον κατεσκευασμένο κατεσκευασμένον σχῆμα, ὃν δῆλον ἔχει τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τῆς Ψ τετράγω νον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· ἔστι δὴ Ψ τῆς μὲν ΞΠ μείζων ἐστὶ ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τῆς μέχρι τ τοῦ ἄξονος. ἐνηρμώσθω δέ τις μεταξὺ τῶν ΑΠΟ ΛΑ ΞΔ κώνω κώνων πλασία τῆς ϠΘΕ. ὡς τῶι ΟΥΝ ἡ ΠΗ διπλασία τῆς ΗΘ, καὶ ἐπε ζεύχθω ἡ ΗΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ω. ἔσται δὴ τοῦ μὲν ὅλου τμή ματος κέντρον τοῦ βάρους τὸ Κ, τοῦ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ Η, τοῦ δ’ ἐκτ ἐκτὸς ἐπὶ τῆς ΚΩ· ἔσται τὸ Ω. δειχθή σεται δὴ ὁμοίως ἥ τε ΚΤ κά θετος ἐπὶ τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφά νειαν καὶ διὰ τῶν ΝΩ ἔσται π παρὰ τὴν ΚϠ. φανερόν, ὅτι οὐ μένει τὸ τμῆμα, ἀλλ’ ἐπικλίνει, ἕως ἂν ἡ βάσις αὐτοῦ ἅπτηται κα θ’ ἓν σημεῖον τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας, καθάπερ ἐδείκνυ το ἐν τῶι ἑτέρωι τμήματι, ὡς ἐχεῖ ἐπὶ τοῦ τρίτου, καὶ μενεῖ οὕ τως τὸ τμῆμα καθεστηκός. ἐ ν ἴσοις γὰρ τμήμασι τοῖς ΑΠΟ ΑΟΘΛ. ἠγμέναι ἔσονται ἀπ’ ἄκρων τῶν βάσεων αἱ ΑΧ ΑΟ ἴσας ἀφαιροῦσαι· δειχθήσεται γὰρ αὐτῶι τῶι ΑΠΟ ὁμοίως τοῖς πρό τερον. ἴσας οὖν ποιήσει τὰς γω νίας ὀξείας αἱ ΑΟ ΑΧ πρὸς τὰς τῶν τμημάτων διαμέτρ διαμέτρους , ἐπεὶ δ’ ἴσαι εἰσὶν πρὸς τοῖς ΝΥ γω νίαι καὶ αἱ ΒΟ ΒΤ ἴσαι εἰσὶν, ὥσ τε καὶ ΟΡ ΡΤ καὶ αἱ ΟΥ ΠϠ ἴσ αι ΥΞ ΘϠ. δίπλη οὖν ἐστι τῆς ϠΘ, ἐπιζευχθείσης δὲ τῆς ϠΚ ἐκβληθείσης ἐπὶ τὸ Ω ἔσται τοῦ παντὸς τμήματος κέντρου βά ρους τοῦ Κ, τοῦ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ Ϡ, τοῦ δ’ ἐκτὸς ἐπὶ τῆς ΚΩ ἔστω τὸ Ω. καὶ ἡ ΚϠ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν. κατὰ τὰς αὐτὰς οὖν εὐθείας τώ τ’ ἐν τῶι ὑγρῶι ἀνε νεχθήσεται καὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ κατενεχθήσεται· μενεῖ τὸ τμῆμα, καὶ ἥ τε βάσις καθ’ ἓν σημεῖον ἅ ψεται τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ ὁ ἄξων τοῦ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιήσει γω νίαν ἴσην τῆι προγεγραμμένηι. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ ἐὰν τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν λό γον ἔχη τὸν αὐτὸν, τὸ ἀπὸ τῆς ΜΠ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ὅτι ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν, ὥστε τὴν βάσιν αὐ τοῦ μὴ ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπι φανείας, κατατήσεται κεκλιμέ νον οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν σημεῖον ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑ γροῦ γωνίαν ἴσην πρὸς τῆι Φ. Ε ΕΞΗΣ ΑΙ ΚΑΤΑΓΡΑΦΑΙ. Ἐχέτω δὴ πάλιν τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρόν σημεῖον λόγον ἢ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΝΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, ὃν λόγον ἔχει τὸ τμῆμα τῶι βά ρει πρὸς τὸ ὑγρόν, τοῦτον εχέτω τὸ ἀπὸ τ τῆς Ψ τετράγωνον· ἐλάσσων δὴ οὖν ἐστιν ἡ Ψ τῆς ΟΝ. πάλιν δὴ οὖν ἐνηρμόσθω τις μεταξὺ τῶν ΑΜ ΔΑ ΠΟΛ τεμῶν τὴν ΨΣ ΗΠ παρὰ τὴν ΒΔ ἠγμένη. ἴση δ’ ἡ ΡΗ ΗΨ. τέ μνει δὴ αὐτὴ τὴν μεταξὺ τοῦ κώ νου τομὴν κατὰ τοῦ, τὴν δὲ τὴν ΞΡ εὐθεῖαν κατὰ τὸ Η. δειχθήσεται δὲ ἡ ΠΥ διπλῆ τῆς ΥΙ, καθάπερ δέδει κται καὶ ἡ ΓΟ τῆς ΓΠ. ἤχθω δὲ καὶ ἡ μὲν ΠΩ ἐφαπτομένη τῆς ΑΠ ΟΛ κατὰ τὸ Τ, τῆι δὲ ΠΕ κάθετος ἐπὶ τὴ τὴν ΒΔ, καὶ ἡ ΥΑ ἐπιζευχθεῖσα διήχθω ἐπὶ τὸ Χ· ἔσται δὴ ἥ τε αι τῆι ΙΧ καὶ ἡ ΑΧ τῆι ΠΩ παράλληλος. δεικτέο δεικτέον δή, ἔστιν τὸ τμῆμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑ γρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὕτως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κεκλιμένον καταστήσεται πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν ἐλάσσονα τῆς Φ, τὴν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα νείας. ἀφείσθω οὖν εἰς τὸ ὑγρὸν

Figure 2.10.1

Figure 2.10.2 καὶ καθεστηκέτω, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ καθ’ ἓν σημεῖον ἅπτεσθαι τῆς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, τμη θέντος δὴ τοῦ τμήματος ἐπιπέ δωι ὀρθῶι πρὸς τὴν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφά νειαν διὰ τοῦ ἄξονος τομῆς, ὥστε τῆς μὲν τοῦ τμήματος ἐπιφα νείας ἡ ΑΗΒΛ ὀρθογωνίου κών κώνου τομή, τῆς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἡ ΑΖ, ἄξων δὲ τοῦ τμήματος καὶ διάμετρος τῆς τομῆς ἡ ΒΔ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΔ κατὰ τὰ ΚΡ ὁμοίως τοῖς ἐπά νω, ἤχθω δὲ καὶ ἡ ΗΑ παρὰ τὴν ΑΖ ἐφαπτομένη τῆς τοῦ κώνου τομῆς κατὰ τὸ Η, ἡ δὲ ΗΘ παρὰ τὴν ΒΔ, ἡ δὲ ΗΘ κάθετος ἐπὶ τὴ τὴν ΒΔ. ἔπει οὖν τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς Ψ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τ τῆς ΒΔ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, ὅτι ἴση ἐστὶ ἡ ΗΘ τῆι Ψ, ὥστε ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΗΖ ΑΠΧ τμήματα. καὶ ἐπὶ οις ἴσοις καὶ ὁμοίοις τμήμασι τοῖς Π ΓΑ ΒΔ ΒΑ ἀπ’ ἄκρων τῶν βάσεων. ἠγμέναι εἰσὶ αἱ ΑΧ ΑΖ ΑΖ ἴσα τμήματα ἀφαιροῦσαι· δῆλον ὅτι ἴσας ποιοῦσι γωνίας πρὸς τοῖς διαμέτροις τῶν τμημά των. τῶν ἐπὶ δὲ τῶν ΗΙΤ ΡΩΕ τρι γώνων ἴσαι εἰσὶ αἱ πρὸς τοῖς ΙΩ ἴσα καὶ ἐπειδή ἐστιν δι πλῆ ἡ ΡΥ τῆς ΥΙ, φανερόν, ὅτι ἡ ΗϠ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Β τῆς ϠΤ. ἔστω οὖν ἡ ΗΥ διπλασία τῆς ΥΤ καὶ ἐπιζευχθεῖσα διήχθω ἡ ΥΚΤ. ἔσται δὲ κέντρα τῶν βάρω βάρων τοῦ ὅλου τὸ Κ, τοῦ δ’ ἐν τῶι ὑγρῶι τὸ Υ, τοῦ δ’ ἐκτὸς ἐπὶ τῆς ΚΘ. ἔσται οὖν φανερὸν διὰ τὰ πρότερα, ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμῆμα οὕτως, ἀλλὰ κλι θήσεται, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ μηδὲ καθ’ ἓν σημεῖον τοῦ ὑγροῦ ἐπι φάνειας. ὅτι δὲ καταστήσεται οὕ τως, ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν ἐλάσσονα τῆς Φ, δειχθή σεται. κατεστάτω οὖν, εἰ δυνα δυνατόν , οὕτως, ὤστε ποιεῖν γωνίαν μὴ ἐ λάσσονα τῆς Φ, καὶ τὰ ἄλλα κα κατα σκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῶι τρί τωι σχήματι. ὁμοίως δὲ δειχθή σεται ἡ ΘΗ ἴση τῆι Ψ· ὥστε καὶ τῆι ΙΠ. καὶ ἐπειδὴ δὲ ἡ Λ γωνία οὐκ ἐ λάσσων ἐστὶ τῆς Φ, οὐκ ἄρα μείζω μείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΣΒ, οὐδὲ ἡ ΓΡ τῆι ΣΡ οὐδὲ ἡ ΗϠ τῆς ΟΓ. καὶ ἐπειδὴ ἡ ΙΠ ἡμιολία ἐστὶ τῆς ΠΥ, ἐλάσσ ἐλάσσων δὲ ἡ ΥΠ τῆς ΗΟ, καὶ ἡ μὲν ΗΘ ἴ σηι τῆι ΗΙ, ἡ δὲ ΗϠ οὐκ ἐλάσσω ἐλάσσων τῆς ΘΓ, μείζων ἄρα ἡ ϠΗ τῆι ΠΥ· ἡ ἄρα ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ τῆς ϠΘ. ἔστω δὴ ἡ Υ διπλῆ τῆς ϠΘ, καὶ ἐπεζευχθεῖσα ἡ ΥΚ ἐκβεβλήσθω· δῆλον δὲ ὁμοί ως τοῖς πρότερον, ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμῆ μα, ἀλλὰ κληθήσεται, ὥστε τὸν ἄ ξονα αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνεια ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τῆς Φ

Figure 2.10.3 ἔστω δὴ πάλιν τὸ τμῆμα πρὸς τὸ ὑ γρὸν τῶι βάρει μείζονα μὲν λό γον ἔχον τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΠ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἐ λάσσονα δὲ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τ τῆς ΞΟ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμῆμα τῶι βάρει πρὸς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἐχέτω τὸ ἀπὸ τῆς Ψ πρὸς