Sphere and Cylinder

ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΠΕΡΙ Τ ΤΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙ ΚΥΛΙΝ ΔΡΟΥ Ἀρχιμήδης Δοσιθέωι χαίρειν πρότερον μὲν ἀπέσταλκά σοι τῶν ὑφ’ ἡμῶν τεθεωρημέ νων γράψας μετὰ ἀποδείξε ἀποδείξεως , ὅτι πᾶν τμῆμα τὸ περιεχόμε νον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογω νίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος τῶι τμήματι καὶ ὕψ ὕψος ἴσον· ὕστερον δὲ ἡμῖν ὑποπε σόντων θεωρημάτων ἀξίων λόγου πεπραγματεύμεθα περὶ τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν. ἔστι δὲ τάδε· πρῶτον μέν, ὅτι πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλα σία ἐστὶν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῆι· ἔπειτα δέ, ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας τῆι ἐπιφα νείαι ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι εὐθείαι τῆι ἀ πὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἀγομένηι ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τ τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμάματος· πρὸς δὲ τούτοις, ὅτι πάσης σφαίρ σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῶι μεγίστωι κύκλωι τῶν ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ἴσον τῆι δια μέτρωι τῆς σφαίρας αὐτός τε ἡ μιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανεί ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. ταῦτα δὲ τὰ συμ πτώματα τῆι φύσει προϋπῆρχ προϋπῆρχεν περὶ τὰ εἰρημένα σχάματα, ἠ γνοεῖτο δὲ ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν π περὶ γεωμετρίαν ἀνεστραμμένων οὐδενὸς αὐτῶν ἐπινενοηκότος ὅτι τούτων τῶν σχαμάτων ἐστὶν συμμετρία· διόπερ οὐκ ἂν ὀκνή σαιμι ἀντιπαραβαλεῖν αὐτὰ πρὸς τὰ τοῖς ἄλλοις γεωμέτραις τε θεωρημένα καὶ πρὸς τὰ δόξα δόξαν τα πολὺ διαφέρειν τῶν ὑπὸ Εὐ δόξου περὶ τὰ στερεὰ θεωρηθέ θεωρηθέν των, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρί τον ἐστὶ μέρος πρίσματος τ τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν πυ ραμίδι καὶ ὕψος ἴσον, καὶ ὅτι πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶν τοῦ κυ λίνδρου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴ τὴν αὐτὴν τῶι κώνωι καὶ ὕψος ἴσον· καὶ γὰρ τούτων προϋπαρχόντω προϋπαρχόντων φυσικῶς περὶ ταῦτα τὰ σχάμα τα, πολλῶν πρὸ Εὐδόξου γεγενη μένων ἀξίων λόγου γεωμετρῶν συνέβαινεν ὑπὸ πάντων ἀγνο εῖσθαι μηδ’ ὑφ’ ἑνὸς κατανοηθῆ ναι. ἐξέσται δὲ περὶ τούτων ἐπισκέ ψασθαι τοῖς δυνησομένοις. ὤ φειλε μὲν οὖν Κόνωνος ἔτι ζῶν τος ἐκδίδοσθαι ταῦτα· τῆνον γὰρ ὑπολαμβάνομέν που μά λιστα δύνασθαι κατανοῆσαι ταῦτα καὶ τὴν ἁρμόζουσαν ὑ πὲρ αὐτῶν ἀπόφασιν ποιήσ ποιήσασ θαι· δοκιμάζοντες δὲ καλῶς ἔχειν μεταδιδόναι τοῖς οἰκείοις τῶν μαθημάτων ἀποστέλλο μέν σοι τὰς ἀποδείξεις ἀναγρά ψαντες, ὑπὲρ ὧν ἐξέσται τοῖς περὶ τὰ μαθήματα ἀναστρε φομένοις ἐπισκέψασθαι. ἐρω μένως. γράφονται δὲ πρῶτον τά τε ἀξιώματα καὶ τὰ λαμ βανόμενα εἰς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν. εἰσί τινες ἐν ἐπιπέδωι καμπύλαι γραμμαὶ πεπερασ μέναι, αἳ τῶν τὰ πέρατα ἐπιζευ γνυουσῶν αὐτῶν εὐθειῶν ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰ αὐτά εἰσιν ἢ οὐδὲν ἔχου σιν ἐπὶ τὰ ἕτερα. ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλην καλῶ τὴν τοιαύτην γραμ μήν, ἐν ἧι ἐὰν δύο σημείων λαμ βανομένων ὁποιωνοῦν αἱ μετα ξὺ τῶν σημείων εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ πίπτουσιν τ τῆς γραμμῆς, ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐ τά, τινὲς δὲ κατ’ αὐτῆς, ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μηδεμία. ὁμοίως δὴ κ καὶ ἐπιφάνειαί τινές εἰσιν πεπερασ μέναι, αὐταὶ μὲν οὐκ ἐν ἐπιπέ δωι, τὰ δὲ πέρατα ἔχουσαι ἐν ἐ πιπέδωι, καὶ τοῦ ἐπιπέδου, ἐν ὧι τὰ πέρατα ἔχουσιν, ἤτοι ὅλαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἔσονται ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα ἐπὶ τὰ αὐτὰ δὴ κοίλας καλῶ τὰς τοιαύτας ἐπιφα νείας, ἐν αἷς ἂν δύο σημείων λαμ βανομένων αἱ μεταξὺ τῶν σημεί ων εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐ τὰ πίπτουσιν τῆς ἐπιφανείας, ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ, τινὲς δὲ κατ’ αὐτῆς, ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μέρη μη δεμία. τομέα δὲ στερεὸν καλῶ, ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμηι κορυφὴν ἔχων πρὸς τῶι κέντρωι τῆς σφαίρας, τὸ ἐμπεριεχόμε νον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἐπιφα νείας τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐπιφα νείας τῆς σφαίρας ἐντὸς τοῦ κώνου. ῥόμβον δὲ καλῶ στερε όν, ἐπειδὰν δύο κῶνοι τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντες τὰς κορυφὰς ἔχωσιν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ἐπιπέ δου τῆς βάσεως, ὅπως οἱ ἄξο νες αὐτῶν ἐπ’ εὐθείας ὦσι κείμε νοι, τὸ ἐξ ἀμφοῖν τοῖν κώνοιν συγκείμενον τὸ στερεὸν σχῆμα. λαμβάνω δὲ ταῦτα· τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐ λαχίστην εἶναι τὴν εὐθεῖαν. τῶν δὲ ἄλλων γραμμῶν, εἶναι τὰς τοιαύ τας, ἐπειδ’ ἂν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι, καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ἡ ἑτέρα αὐτ αὐτῶν ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἐπιφανείας καὶ τῆς εὐθείας τῆς τὰ αὐτὰ πέρα τα ἐχούσης αὐτῆ, ἢ τινὰ μὲν περι λαμβάνηται, τινὰ δὲ κοινὰ ἔχη, καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περιλαμ βανομένην. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐπιφα νειῶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχου σῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδωι τὰ πέρα τα ἔχωσιν, ἐλάσσονα εἶναι τὴν ἐπίπεδον. τῶν δὲ ἄλλων ἐπιφα νειῶν καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδωι τὰ πέρατα ἦ, ἀ νίσους εἶναι τὰς τοιαύτας, ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖ λαι, καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἐπιφανείας καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐτὰ πέρα τα ἐχούσης αὐτῆ, ἢ τινὰ μὲν πε ριλαμβάνηται, τινὰ δὲ κοινὰ ἔ χη, καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν περι λαμβανομένην. ἔτι δὲ τῶν ἀνίσων γραμμῶν καὶ τῶν ἀνίσων ἐπιφα νειῶν καὶ τῶν ἀνίσων στερεῶν τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονος ὑπερέχει ὑπερέχειν τοιούτω, ὃ συντιθέμενον ἑαυτὸ ἑ αυτῶι δυνατόν ἐστιν ὑπερέχειν παν τὸς τοῦ προτεθέντος τῶν πρὸς ἄλλη λα λεγομένων. τούτων δὲ ὑποκει μένων, ἐὰν εἰς κύκλον πολύγωνον ἐγγραφῆ, φανερὸν ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγώνου ἐλάσ σων ἐστὶν τῆς τοῦ κύκλου περιφερεί περιφερείας · ἑκάστη γὰρ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευ ρῶν ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ κύκλου περι φερείας τῆς ὑπὸ τῆς αὐτῆς ἀπο τεμνομένης. Α ἐάνπερ κύκλ κύκλον πολύγωνον περιγραφῆι, ἡ τοῦ περιγραφέντος πολυγώνου περί μετρος μείζων ἐστὶν τῆς περιμέ τρου τοῦ κύκλου. περὶ γὰρ κύκλο κύκλον πολύγωνον περιγεγράφθω τὸ ὑ ποκείμενον. λέγω ὅτι ἡ περίμε τρος τοῦ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου. ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΒΑΛ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΛ περιφερείας διὰ τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαν πε ριλαμβάνειν τὴν περιφέρεια περιφέρειαν , ὁμοίως καὶ συναμφότερος μὲν ἡ ΔΓ ΓΒ τῆς ΔΒ, συναμφότερος δὲ ἡ ΛΚ ΚΘ τῆς ΛΘ, συναμφό τερος δὲ ἡ ΖΗΘ τῆς ΘΖ, ἔτι δὲ συναμ φότερος ἡ ΔΕ ΕΖ τῆς ΔΖ, ὅλη ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου μεί ζων ἐστὶν τῆς περιφερείας τ τοῦ κύκλ κύκλου . Β Δύο μεγεθῶν ἀνίσων δοθέντων δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο εὐθείας ἀνίσους, ὥστε τὴν μείζονα εὐθεῖα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἐλάσ σονα ἤτοι μείζων μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον. ἔστω δύο μεγέθη ἄνισα τὰ ΑΒΔ, καὶ ἔστω μείζων τὸ ΑΒ. λέγω ὅτι δυνατόν ἐστι δύο εὐθείας ἀνί σους εὑρεῖν τὸ εἰρημένον ἐπίταγ μα ποιούσας. κείσθω διὰ τοῦ Β τοῦ Α Εὐκλείδου τῶι Δ ἴσον τὸ ΒΓ, καὶ κείσθω τις εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ· τὸ δὴ ΓΑ ἑαυτῶι ἐπισυντιθέμεν ἐπισυντιθέμενον ὑπερέξει τοῦ Δ. πεπολλαπλασι άσθω οὖν, καὶ ἔστω τὸ ΑΘ, καὶ ὁσαπλά σιόν ἐστι τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ, τοσαυταπλά σιος ἔστω ἡ ΖΗ τῆς ΖΕ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ΘΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ΖΗ πρὸς ΗΕ· καὶ ἀνά παλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΗΖ, οὕτως τὸ ΑΓ πρὸς ΑΘ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστιν τὸ ΑΘ τοῦ Δ, τουτέστι τοῦ ΓΒ, τὸ ἄρα ΓΑ πρὸς τὸ ΑΘ λόγον ἐλάσσονα ἔχει ἤ ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς ΓΒ. ἀλλ’ ὡς τὸ ΓΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ· ἡ ΕΗ ἄρα πρὸς ΗΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ πρὸς τὸ ΓΒ· καὶ συνθέντι ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ διάλλη μα. ἴσον δὲ τὸ ΒΓ τῶι Δ· ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Δ. εὑρημέναι εἰσὶν ἄρα δύο εὐ θεῖαι ἄνισοι ποιοῦσαι τὸ εἰρημέ νον ἐπίταγμα τουτέστιν τὴν μείζο να πρὸς τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχoν ἐλάσσονα ἢ τὸ μεῖζον μέγεθος πρὸς τὸ ἔλασσον. πυραμὶς βάσιν μὲν ἔχουσα ἰ σόπλευρον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐ πεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΔΓ ΔΒ· λέ γω ὅτι τὰ ΑΔΒ ΑΔΓ τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τριγώνωι, οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῆι περιμέτρωι τοῦ ΑΒΓ τρι γώνου, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἴση τῆι καθέτωι τῆι ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἀγομένην. ἤχθωσαν γὰρ κά θετοι αἱ ΔΚ ΔΛ ΔΜ· αὗται ἄρα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . καὶ κείσθω τρί γωνον τὸ ΕΖΗ ἔχον τὴν μὲν ΕΖ βάσιν τῆ περιμέτρωι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἴσην, τὴν δὲ ΗΘ κάθε τον τῆι ΔΛ ἴσην. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΛ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΔΒΓ τριγώνου, ἔστι δὲ καὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒ ΔΚ διπλάσιον τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓΔΜ διπλάσιον τοῦ ΑΔΓ τριγώνου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΔΓ τριγώνου, τουτ τουτέστι τῆς ΕΖ, καὶ τῆς ΔΛ, τουτ τουτέστι τῆς ΗΘ, διπλάσιόν ἐστι τῶν ΑΔΒ ΒΔΓ ΑΔΓ τριγώνων. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΗΘ διπλάσι διπλάσιον τοῦ ΕΗΖ τριγώνου· ἴσον ἄρα τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τοῖς ΑΛΒ ΒΔΓ ΑΔΓ τρι γώνοις. Θ Ἐὰν περὶ κῶνον ἰσοσκελῆ πυρα μὶς περιγραφῆ ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστὶν τριγώνωι βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῆι περιμέτρωι τῆς βάσεως, ὕψος δὲ τὴν πλευρὰ πλευρὰν τοῦ κώνου. ἔστω κῶνος οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος καὶ πυραμὶς περι γεγράφθω ὥστε τὴν βάσιν αὐτῆς τουτ τουτέστι τὸ ΔΕΖ πολύγωνον περιγε γραμμένον περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον εἶναι· λέγω ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυ ραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῶι εἰρημένωι τριγώνωι. ἐπεὶ γὰρ ὁ ἄξων τοῦ κώνου ὀρθός ἐστι πρὸς τὴν βάσιν τουτ τουτέστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὰς ἁφὰς ἐπεζευγμέναι εὐθεῖαι κάθετοί εἰσιν ἐπὶ τὰς ἐφαπτομέ νας, ἔσονται ἄρα καὶ αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὰς ἁφὰς ἐπεζευγμέναι κάθετοι ἐπὶ τὰς ΔΕ ΖΕ ΖΔ. αἱ ΗΑ ΗΒ ΗΓ ἄρα αἱ εἰρημέναι κάθετοι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις· πλευραὶ γάρ εἰσιν τοῦ κώνου. κείσθω δὴ τὸ τρί γωνον τοῦ ΘΚΛ ἴσην ἔχων τὴν μὲν ΘΚ τῆι περιμέτρωι τοῦ ΔΕΖ τριγών τριγώνου , τὴν δὲ ΛΜ κάθετον ἴσην τῆι ΗΑ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ ΔΕ ΑΗ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΔΕΗ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΖ ΗΒ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΔΖΗ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΖ ΓΗ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ Ε ΗΖ τριγώνου, ἔστιν ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΘΚ και τῆς ΑΗ τουτ τουτέστι τῆς ΜΛ διπλάσιον τῶν ΕΔΗ ΔΗΖ ΕΗΖ τρίγωνον. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΚ ΛΜ διπλάσιον τοῦ ΛΚΘ τριγώνου· διὰ τοῦτο δὴ ἴση ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως τριγώνωι βάσιν μ μὲν ἔχοντι ἴσην τῆι περιμέτρωι τοῦ ΔΕΖ, ὕψος δὲ τὴν πλευρὰν τοῦ κών κώνου . ἐξ ἐξῆς τὸ σχᾶμα Ι Ἐὰν κώνου τινὸς ἰσοσκέλους εἰς τὸν κύκλον, ὅς ἐστι βάσις τοῦ κώνου, εὐ θεῖα γραμμὴ ἐμπέσηι, ἀπὸ δὲ τῶν περάτων αὐτῆς εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώ νου, τὸ περιληφθὲν τρίγωνον ὑπό τε τῆς ἐμπεσούσης καὶ τῶν ἐπι ζευχθεισῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν ἐλάσ σων ἔσται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου τῆν μεταξὺ τῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν ἐπιζευχθεισῶν. ἔστω κώ νου ἰσοσκελοῦς βάσις ὁ ΑΒΓ κύ κλος, κορυφὴ δὲ τὸ Δ, καὶ διήχθω τις εἰς αὐτὸν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ ΑΓ ἐπεζεύ χθωσαν αἱ ΑΔ ΔΓ· λέγω ὅτι τὸ ΑΔΓ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν τῆς ἐπι φανείας τῆς κωνικῆς τῆς με ταξὺ τῶν ΑΔΓ. τετμήσθω ἡ ΑΒΓ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΓΒ ΔΒ· ἔστ ἔσται δὴ τὰ ΑΒΔ ΒΓΔ τρίγωνα μείζο να τοῦ ΑΔΓ τριγώνου. ὧι δὴ ὑ περέχει τὰ εἰρημένα τρίγωνα τοῦ ΑΔΓ τριγώνου, ἔστω τὸ Θ. τὸ δὴ Θ ἤτοι τῶν ΑΒ ΒΓ τμημάτων ἔλασσόν ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω μὴ ἔλασσον πρότερον. ἐπεὶ οὖν δύο εἰσὶν ἐπιφά νειαι ἥ τε κωνικὴ ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΒ μετὰ τοῦ ΑΕΒ τμήματος καὶ ἡ τοῦ ΑΔΒ τριγώνου τὸ αὐτὸ πέρ πέρας ἔχουσαι τὴν περίμετρον τοῦ τρι γώνου τοῦ ΑΒΔ, μείζων ἔσται ἡ περιλαμβάνουσα τῆς περιλαμ βανομένης· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΒ μετὰ τοῦ ΑΕΒ τμήματος τοῦ ΑΒΔ τριγώνου. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ μεταξὺ τοῦ ΔΒΓ τριγώνου μετὰ τοῦ ΓΒ τμήματος μείζων ἐστὶν τοῦ ΒΔΓ· ὅλη ἄρα ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια μετὰ τοῦ Θ χωρίου μείζων ἐστὶ τῶν εἰρημένων τριγώνων. τὰ δὲ εἰρη μένα τρίγωνα ἴσα ἐστὶν τῶ τε ΑΔΓ τριγώνωι καὶ τῶι Θ χωρίωι. κοινὸν ἀφηιρήσθω τὸ Θ χωρίον· λοιπὴ ἄρα ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΒΓ μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΔΓ τριγώνου. ἔστω δὴ τὸ Θ ἔλασ ἔλασσον τῶν ΑΒ ΒΓ τμημάτων τέμνον τες δὴ τὰς ΑΒ ΒΓ περιφεριφε ρείας δίχα καὶ τὰς ἡμισείας αὐτῶν δίχα λείψομεν τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Θ χωρίου. λε λείφθω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ εὐθειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΕ ΔΖ. πάλιν τοίνυν κατὰ τὰ αὐτὰ ἡ μὲν ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἡ με ταξὺ τῶν ΑΔΕ μετὰ τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ τμήματος μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΔΕ τριγώνου, ἡ δὲ μεταξὺ τοῦ Ε ΔΒ μετὰ τοῦ ἐπὶ τῆς ΕΒ τμήμα τος μείζων ἐστὶν τοῦ ΕΔΒ τριγώ νου· ἡ ἄρα ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΒ μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΑΕ ΕΒ τμη μάτων μείζων ἐστὶν τῶν ΑΔΕ ΕΒΔ τριγώνων. ἐπεὶ δὲ τὰ ΑΕΔ ΔΕΒ τρίγωνα μείζονά ἐστιν τοῦ ΑΒΔ τριγώνου, καθὼς δέδεικτ δέδεικται , πολλῶ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώ νου ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΒ μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΑΕ ΕΒ τμημάτων μείζ μείζων ἐστὶ τοῦ ΑΔΒ τριγώνου. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΒΓ μετὰ τῶν ἐπὶ τῶν ΒΖ ΖΓ τμημάτων μείζων ἐστὶν τοῦ ΔΒΓ τριγώνου· ὅλη ἄρα ἡ ἐπιφάνει ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΓ μετὰ τῶν εἰρη μένων τμημάτων μείζων ἐστὶ τῶν ΑΒΔ ΔΒΓ τριγώνων. ταῦτα δέ ἐστιν ἴσα τῶι ΑΔΓ τριγώνωι καὶ τῶι Θ χωρίωι· ὧν τὰ εἰρημένα τμήματα ἐλάσσονα τοῦ Θ χω ρίου· λοιπὴ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τῶν ΑΔΓ μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΔΕ τριγώνου. ἑξῆς τὸ ΣΧΗΜΑ. ΙΑ Ἐὰν ἐπιψαύουσαι ἀ χθῶσι τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τ τοῦ κώνου, ἐν τῶ αὐτῶ ἐπιπέδω οὖ σαι τῶι κύκλωι καὶ συμπίπτουσαι ἀλλήλαις, ἀπὸ δὲ τῶν ἁφῶν καὶ τ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου εὐθεῖαι ἀχθῶσιν, τὰ περιε χόμενα τρίγωνα ὑπὸ τῶν ἐπιψαυ ουσῶν καὶ τῶν ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν μείζονά ἐστιν τῆς τοῦ κώνου ἐπι φανείας τῆς ἀπολαμβανομέ νης ὑπ’ αὐτῶν. ἔστω κῶνος οὗ βά σις μὲν ὁ ΑΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον, καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν ἐν τῶι αὐτῶι ἐπιπέδωι οὖσαι αἱ ΑΔ ΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου, ὅ ἐστι κορυ φὴ τοῦ κώνου, ἐπὶ τὰ ΑΔΓ ἐπεζεύ χθωσαν αἱ ΕΑ ΕΔ ΕΓ· λέγω ὅτι τὰ ΑΔΕ ΔΕΓ τρίγωνα μείζονά ἐστι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕ ΓΕ εὐθειῶν καὶ τῆς ΑΓ περιφερείας. ἤχθω γὰρ ἡ ΗΒΖ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου καὶ πα ράλληλος οὖσα τῆι ΑΓ δίχα τμηθεί σης τῆς ΑΒΓ περιφανείας κα τὰ τὸ Β, καὶ ἀπὸ τῶν ΗΖ ἐπὶ τὸ Ε ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΕ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μείζους εἰσὶν αἱ ΗΔ ΔΖ τῆς ΗΖ, κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΗΑ ΖΓ· ὅλαι ἄρα αἱ ΑΔ ΔΓ μείζους εἰσὶν τῶν ΑΗ ΗΖ ΖΓ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΑΕ ΕΒ ΕΓ πλευραί εἰσιν τοῦ κώνου, ἴσαι εἰσὶν διὰ τὸ ἰσο σκελῆ εἶναι τὸν κῶνον· ὁμοίως δὲ καὶ κάθετοί εἰσιν ὡς ἐδείχθη ἐν τῶ λήματι λήμματι , τὰ δὲ ὑπὸ τῶν καθέτων καὶ τῶν βάσεων διπλάσιά ἐστιν τῶν τριγώνων· μείζονά ἐστιν τὰ ΑΕΔ ΔΕΓ τρίγωνα τῶν ΑΗΕ ΗΕΖ ΖΕΓ τριγώνων· εἰσὶν γὰρ αἱ μὲν ΑΗ ΗΖ ΖΓ ἐλάσσους τῶν ΓΑ ΔΑ, τὰ δὲ ὕψη αὐτῶν ἴσα· φανερὸν γὰρ ὅτι ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ ὀρθοῦ κώνου ἐ πὶ τὴν ἐπαφὴν τῆς βάσεως ἐ ζευγμένη κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ἐ φαπτομένην. ὧι δὴ μείζονά ἐστι ἐστιν τὰ ΑΕΔ ΔΕΓ τρίγωνα τῶν ΑΗΕ ΗΕΖ ΖΕΓ τριγώνων τῶν ἤτοι ἔλατόν ἔλαττόν ἐστιν τμημά των ἢ οὔ. εἰσὶν ἐπιφά νειαι σύνθετοι, ἥ τε τῆς πυραμίδος τῆς ἐπὶ βάσεως τοῦ ΗΑΓΖ τρα πεζείου κορυφὴν ἔχουσα τὸ Ε καὶ ἡ κωνικὴ ἐπιφάνεια ἡ μεταξὺ τ τῶν ΑΕΓ μετὰ τοῦ ΑΒΓ τμήματος, καὶ πέρας ἔχουσι τὴν αὐτὴν περίμε τρον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου, δῆλον ὡς ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χω ρὶς τοῦ ΑΕΓ τριγώνου μείζων ἐστὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας μετὰ τοῦ τμήματος τοῦ ΑΒΓ. κοινὸν ἀφη ρήσθω τὸ ΑΒΓ τμῆμα· λοιπὰ ἄρα τὰ τρίγωνα τὰ ΑΗΕ ΗΕΖ ΖΕΓ μετὰ τῶν ΑΗΒΚ ΒΖΓΑ περιλειμμάτω περιλειμμάτων μείζονά ἐστιν τῆς κωνικῆς ἐπι φανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕ ΕΓ. τῶν δὲ ΑΗΒΚ ΒΖΓΛ περιλειμμά των οὐκ ἔλασσόν ἐστιν τὸ Θ χωρί χωρίον · πολλῶ ἄρα τὰ ΑΗΕ ΗΕΖ ΖΕΓ τρί γωνα μετὰ τοῦ Θ μείζονα ἔσται τ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μετα ξὺ τῶν ΑΕ ΕΓ. ἀλλὰ τὰ ΑΗΕ ΗΕΖ τρί γωνα μετὰ τοῦ Θ ἐστὶν τὰ ΑΕΔ ΔΕΓ τρίγωνα· τὰ ἄρα ΑΕΔ ΔΕΓ τρίγω να μείζονα ἔσται τῆς εἰρημέν εἰρημένης κωνικῆς ἐπιφανείας. ἔστω δὴ τὸ Θ ἔλασσον τῶν περιλειμμάτω περιλειμμάτων . ἀεὶ δὴ περιγράφοντες πολύγωνα περὶ τὰ τμήματα ὁμοίως δίχα τεμνομένων τῶν περιλειπομέ νων περιφερειῶν καὶ ἀγομένω ἀγομένων ἐφαπτομένων λείψομέν τινα ἀ πολείμματα, ἃ ἔστ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου. λελείφθω καὶ ἔστω τὰ ΑΜΚ ΚΝΒ ΒΞΛ ΛΟΓ ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Θ χωρίου, καὶ ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ Ε. πάλιν δὴ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΗΕ ΗΕΖ ΖΕΓ τρίγωνα τῶν ΑΕΜ ΜΕΝ ΝΕΞ ΞΕΟ ΟΕΓ τριγώ νων ἔσται μείζονα αἵ τε γὰρ βάσεις τῶν βάσεών εἰσι μείζους καὶ τὸ ὕψος ἴσον. ἔτι δὲ πάλιν ὁμοί ως μείζονα ἔχει ἐπιφάνειαν ἡ πυ ραμὶς ἡ βάσιν μὲν ἔχουσα τὸ ΛΜΝ ΞΟΓ πολύγωνον, κορυφὴν δὲ τὸ Ε, χ χωρὶς τοῦ ΑΕΓ τριγώνου, τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν ΑΕΓ μετὰ τοῦ ΑΒΓ τμήματος. πίπεδα τμήματα μείζονά ἐστι ἐστιν τῶν παραλληλογράμμων, ὧν βά σεις μὲν αἱ ΑΕ ΕΒ, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ κυλίνδρωι. τὰ δὲ παραλληλόγραμ μα, ὧν βάσεις μὲν αἱ ΑΕ ΕΒ, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῶι κυλίνδρωι, ἴσα εἶναι τῶι ΑΒ ΓΒ παραλληλογράμμωι καὶ τῶι Η χωρίωι· καὶ ἡ ἀποτεμνο μένη ἄρα κυλινδρικὴ ἐπιφά νεια ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ εὐθειῶν καὶ τὰ ΑΘ ΘΕ ΕΚ ΚΒ ΓΛ ΛΖ ΖΜ ΜΔ ἐπί πεδα τμήματα μείζονά ἐστιν τῶν ΑΓΔΒ παραλληλογράμμων καὶ τοῦ Η χωρίου. ἀφαιρεθέντα δὲ τὰ ΑΘ ΘΕ ΕΚ ΚΒ ΓΛ ΛΖ ΖΜ ΜΔ τμή ματα τοῦ Η χωρίου ἐλάσσονα· λοι πὴ ἄρα ἡ ἀποτεμνομένη κυλι κυλιν δρικὴ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ εὐθειῶν μείζων ἐστὶν τοῦ ΑΓ ΒΔ πα ραλληλογράμμου. Ἐὰν ἐν ἐπιφανείαι κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ δύο εὐθεῖαι ὦσιν, ἀπὸ δὲ τῶν περάτων τῶν εὐθειῶν ἀχθῶσίν τινες ἐπιψαύουσαι τῶν κύκλων, αἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου, ἐν τῶι ἐπιπέδωι αὐτῶν οὖσαι καὶ συμπέ σωσιν, τὰ παραλληλόγραμμα τὰ περι εχόμενα ὑπό τε τῶν ἐπιψαυουσῶν κ καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζο να ἔσται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίν δρου τῆς μεταξὺ τῶν εὐθειῶν τῶν ἐν τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κυλίνδρου. ἔστω κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ βάσις ὁ ΑΒΓ κύκλος, καὶ ἔστωσαν ἐν τῆι ἐπιφανείαι αὐτοῦ δύο εὐθεῖαι, ὧν πέρατα τὰ ΑΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΑΓ ἤχθω σαν ἐπιψαύουσαι τοῦ κύκλου ἐν τῶι αὐτῶι ἐπιπέδωι οὖσαι καὶ συμπιπτέ τωσαν κατὰ τὸ Η, νοείσθωσαν δὲ καὶ ἐν τῆι ἑτέραι βάσει τοῦ κυλίνδρου ἀ πὸ τῶν περάτων ἐν τῆι ἐπιφανεί αι εὐθεῖαι ἠγμέναι ἐπιψαύουσαι τοῦ κύκλου· δεικτέον ὅτι τὰ παραλλη λόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ἐπιψαυουσῶν καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζονά ἐστι τῆς κατὰ τ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου. ἤχθω γὰρ ἡ ΕΖ ἐπιψαύου σα, καὶ ἀπὸ τῶν ΕΖ σημείων ἤχθω σάν τινες εὐθεῖαι παρὰ τὸν ἄξονα τοῦ κυλίνδρου ἕως τῆς ἐπιφανεί ἐπιφανείας τῆς ἑτέρας βάσεως· τὰ δὴ παραλ ληλόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ΑΗ ΗΓ καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυ λίνδρου μείζονά ἐστιν τῶν παραλ ληλογράμμων τῶν περιεχομένω περιεχομένων ὑπό τε τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου· ἐπεὶ γὰρ αἱ ΕΗ ΗΖ τῆς ΕΖ μείζους εἰσίν , κοιναὶ κείσθωσαν προσκείσθωσαν αἱ ΑΕ ΖΓ· ὅλαι ἄρα αἱ ΗΑ ΗΓ μείζους εἰσίν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ. ὧι δὴ μείζονά ἐστιν , ἔστω τὸ Κ χωρίον. τοῦ δὴ Κ χωρίου τὸ ἥμι συ ἤτοι μεῖζόν ἐστι τῶν σχημάτων τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν ΑΕ ΕΒ ΖΓ εὐθειῶν καὶ τῶν ΑΔ ΔΛ ΒΘ ΘΓ περιφερειῶν ἢ οὔ. ἔστω πρότε ρον μεῖζον. τῆς δὴ ἐπιφανείας τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῶν γραμ μῶν τῶν κατὰ τὰς ΑΕ ΕΖ ΖΓ καὶ τ τοῦ ΑΕΖΓ τραπεζίου καὶ τοῦ κατεναν τίον αὐτοῦ ἐν τῆι ἑτέρα βάσει τοῦ κυλίνδρου πέρας ἐστὶν ἡ περίμε τρος τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ κατὰ τὴν ΑΓ. ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐπιφα νείας τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου τῆς κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειας καὶ τῶν τμημάτων τοῦ τε ΑΒΓ καὶ τ τοῦ ἀπεναντίον αὐτοῦ πέρας ἡ αὐ τὴ περίμετρος· αἱ οὖν εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὸ αὐτὸ πέρας ἔχου σαι τυγχάνουσιν, ὅπερ ἐστὶν ἐν ἐ πιπέδωι, καί εἰσιν ἀμφότεραι ἐ πὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι, καί τινα μὲν περιλαμβάνει ἡ ἑτέρα αὐτῶν, τι νὰ δὲ κοινὰ ἔχουσιν· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ περιλαμβανομένη. ἀφαι ρεθέντων οὖν κοινῶν τοῦ τε ΑΒΓ τμήματος καὶ τοῦ ἀπεναντίον αὐτοῦ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ἐπιφάνει α τοῦ κυλίνδρου ἡ κατὰ τῆς ΑΒΓ περιφέρειας τῆς συγκειμένης ἐπιφανείας ἔκ τε τῶν παραλλη λογράμμων κατὰ τὰς ΑΕ ΕΖ ΖΓ καὶ τῶν σχημάτων τῶν ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ καὶ τῶν ἀπεναντίων αὐτῶν. αἱ δὲ τῶν εἰρημένων παραλληλο γράμμων ἐπιφάνειαι μετὰ τῶν εἰρημένων σχημάτων ἐλάτ ἐλάττους εἰσὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς συγκει μένης ἔκ τῶν παραλληλογράμ μων τῶν κατὰ τὰς ΑΗ ΗΓ· μετὰ γὰρ τοῦ Κ μείζονος ὄντος τῶν σχη μάτων ἴσαι ἦσαν αὐτοῖς· δῆλον οὖν ὅτι τὰ παραλληλόγραμμα τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ΑΗ ΓΗ καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ κυλίνδρου μείζονά ἐστι τῆς ἐπιφανείας τ τοῦ κυλίνδρου τῆς κατὰ τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν. εἰ δὲ μή ἐστιν μεῖζο μεῖζον τὸ ἥμισυ τοῦ Κ χωρίου τῶν εἰρη μένων σχημάτων, ἀχθήσονται εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι τοῦ σχήμα τος, ὥστε γενέσθαι τὰ περιλειπό μενα σχήματα ἐλάσσονα τοῦ ἡ μίσους τοῦ Κ, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν δειχθήσεται. τούτω τούτων δὴ δεδειγμένων φανερὸν ἐπὶ μὲν τῶν προειρημένων ὅτι , ἐὰν εἰς κῶ νον ἰσοσκελῆ πυραμὶς ἐγγραφῆι, ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χω ρὶς τῆς βάσεως ἐλάσσων ἐστὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας· ἕκαστον γὰρ τῶν περιεχόντων τὴν πυρα μίδα τριγώνων ἔλασσόν ἐστιν τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τοῦ τριγώνου πλευρῶν· ὥστε καὶ ἡ ὅλη ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βάσεως, καὶ ὅτι , ἐὰν περὶ κῶνον ἰσοσκελῆ πυ ραμὶς περιγραφῆι, ἡ ἐπιφάνει ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βά σεως μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφα νείας τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βά σεως κατὰ τὸ συνεχὲς ἐκείνωι. φανερὸν δὲ ἐκ τῶν ἀποδεδειγ μένων ὅτι τε, ἐὰν εἰς κύλινδρον ὀρθὸν πρίσμα ἐγγραφῆι, ἡ ἐπι φάνεια τοῦ πρίσματος ἡ ἐκ τῶ τῶν παραλληλογράμμων συγκειμέ νη ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῆς βάσε ως· ἔλασσον γὰρ ἕκαστον παραλ ληλόγραμμον τοῦ πρίσματός ἐστι τῆς καθ’ αὑτὸ τοῦ κυλίνδρου ἐ πιφανείας, καὶ ὅτι , ἐὰν περὶ κύλιν δρον ὀρθὸν πρίσμα γραφῆ περιγραφῆ , ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος ἡ ἐκ τῶν παραλληλογράμμω παραλληλογράμμων συγκειμένη μείζων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου χωρὶς τῆς βάσεως. ΙΔ Παντὸς κυλίνδρου ὀρθοῦ ἡ ἐπι φάνεια χωρὶς τῆς βάσεως ἴ ση ἐστὶν κύκλωι, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου. ἔστω κυλίνδρου τινὸς ὀρθοῦ βάσις ὁ Α κύκλος, καὶ ἔστω τῆι μὲν διαμέ τρωι τοῦ Α κύκλου ἴση ἡ ΓΔ, τῆι δὲ πλευρᾶι τοῦ κυλίνδρου ἡ ΕΖ, ἐχέτω δὲ μέσον λόγον τῶν ΔΓ ΕΖ ἡ Η, καὶ κείσθω κύκλος, οὗ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι Η ΟΒ· δεικτέον ὅτι ὁ Β κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κυλίν δρου χωρὶς τῆς βάσεως. εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσος, ἤτοι μείζων ἐστὶ ἢ ἐλάσσω ἐλάσσων . ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, ἐλάσσω ἐλάσσων . δύο δὴ μεγεθῶν ὄντων ἀνίσων τῆς τε ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρ κυλίνδρου καὶ τοῦ Β κύκλου δυνατόν ἐστιν εἰς τὸν Β κύκλον ἰσόπλευρον πολύγω νον ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγρά ψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν πρὸς τὸ ἐγ γραφὲν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον. νοείσθω δὴ περιγεγραμ μένον καὶ ἐγγεγραμμένον, καὶ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγράφθω εὐθύ γραμμον ὅμοιον τῶι περὶ τὸν Β περιγεγραμμένω, καὶ ἀναγεγρά φθω ἀπὸ τοῦ εὐθυγράμμου πρίσ μα· ἔσται δὴ περὶ τὸν κύλινδρον περιγεγραμμένον. ἔστω δὴ καὶ τῆι περιμέτρω τοῦ εὐθυγράμμου τοῦ περὶ τὸν Α κύκλον ἴση ἡ ΚΔ καὶ τῆι ΚΔ ἴση ἡ ΛΞ, τῆς δὲ ΓΔ ἡμίσεια ἔστω ἡ ΓΔΤ· ἔσται δὴ τὸ ΚΔΤ τρίγωνον ἴσο ἴσον τῶι περιγεγραμμένωι εὐθυγρά εὐθυγράμ μωι περὶ τὸν α κύκλον ἐπειδὴ βά σιν μὲν ἔχει τῆι περιμέτρωι ἴσην, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α κύκλου, τὸ δὲ ΕΛ παραλληλόγραμ μον τῆι ἐπιφανείαι τοῦ πρίσμα τος τοῦ περὶ τὸν κύλινδρον πε ριγεγραμμένου ἐπειδὴ περιέχετ περιέχεται ὑπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς ἴσης τῆι περιμέτρωι τῆς βάσεως τοῦ πρίσματος. κείσθω δὴ τῆι ΕΖ ἴση ἡ ΕΡ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΖΡΛ τρίγωνον τῶι ΕΛ παραλληλογράμ μωι, ὥστε καὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ πρίσ ματος. καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστιν τὰ εὐθύ γραμμα τὰ περὶ τοὺς ΑΒ κύκλους περιγεγραμμένα, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὰ εὐθύγραμμα, ὅνπερ αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει· ἕξει ἄρα τὸ ΚΤΔ τρίγωνον πρὸς τὸν περὶ τὸν Β κύκλον εὐθύγραμμον, ὃν ἡ ΤΔ πρὸς Η δυνάμει· αἱ γὰρ ΤΔΗ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων. ἀλλ’ ὃν ἔ χει λόγον ἡ ΤΔ πρὸς Η δυνάμει, τοῦ τον ἔχει τὸν λόγον ἡ ΤΔ πρὸς ΡΖ μήκει· ἡ γὰρ Η τῶν ΤΔ ΡΖ μέση ἐστὶν ἀνάλογον διὰ τὸ καὶ τῶν ΓΔ ΕΖ· πῶς δὲ τοῦτο; ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΤ τῆι ΓΗ, ἡ δὲ ΡΕ τῆι ΕΖ, διπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΔ τῆς ΓΔ, καὶ ἡ ΡΖ τῆς ΡΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΔΤ, οὕτως ἡ ΡΖ πρὸς ΖΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῶι ὑπὸ τῶν ΤΔ ΡΖ. τῶ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Η· καὶ τῶι ὑπὸ τῶν ΤΔ ΡΖ ἄρα ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Η· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΤΔ πρὸς Η, οὕτως ἡ Η πρὸς ΡΖ. ἔστιν ἄρα ἡ ΤΔ πρὸς ΡΖ, τὸ ἀπὸ τῶν ΤΔ πρὸς τὸ ἀ πὸ τῆς Η· ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνά λογον ὦσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας εἶ δος τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγρα μμένον· ὃν δὲ λόγον ἔχει ἡ ΤΔ πρὸς ΡΖ μήκει, τοῦτον ἔχει τὸ ΚΤΔ τρίγω νον πρὸς τὸ ΡΛΖ· ἐπειδήπερ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΚΔ ΛΖ· τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΚΤΔ τρίγωνον πρὸς τὸ εὐθύγραμ μον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγε γραμμένον, ὅνπερ τὸ ΤΚΔ τρίγω νον πρὸς τὸ ΡΖΛ τρίγωνον. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΖΛΡ τρίγωνον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένωι εὐθυ γράμμω· ὥστε καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος τοῦ περὶ τὸν Α κύ λινδρον περιγεγραμμένου τῶι εὐθυγράμμωι τὸ περὶ τὸν Β κύκλ κύκλον ἴση ἐστίν. καὶ ἐπειδὴ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμμ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλ κύκλον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τῶι κύκλωι τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ Α κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον, ἐλάσσονα λόγον ἕξει καὶ ἡ ἐπιφά νεια τοῦ πρίσματος τοῦ περὶ τὸ κύλινδρον περιγεγραμμένου πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῶι κύ κλωι τῶ Β γεγραμμένον ἤπερ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὸν Β κύκλον· καὶ ἐναλλάξ· ὅπερ ἀδύνατον· ἡ μὲν γὰρ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος τοῦ περιγεγραμ μένου περὶ τὸν κύλινδρον μείζω μείζων οὖσα δέδεικται τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου, τὸ δὲ ἐγγεγραμμέ νον εὐθύγραμμον ἐν τῶι Β κύκλωι ἔλασσόν ἐστιν τοῦ Β κύκλου. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὁ Β κύκλος ἐλάσσων τῆς ἐπιφα νείας τοῦ κυλίνδρου. ἔστω δέ, εἰ δυ νατόν, μείζων. πάλιν δὲ νοείσθω εἰς τὸν Β κύκλον εὐθύγραμμον ἐγ γεγραμμένον, ὥστε τὸ περιγεγραμ μένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσ σονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὸν Β κύκλον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρ κυλίνδρου , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν Α κύκλον πολύγωνον ὅμοιον τῶι εἰς τὸν Β κύ κλον ἐγγεγραμμένον, καὶ πρίσ μα ἀναγεγράφθω ἀπὸ τοῦ ἐν τῶι κύκλωι ἐγγεγραμμένου πο λυγώνου· καὶ πάλιν ἡ ΚΔ ἴση τῆι περιμέτρωι τοῦ εὐθυγράμμ εὐθυγράμμου τοῦ ἐν τῶι Α κύκλωι ἐγγεγραμμέ νου, καὶ ἡ ΖΑ ἴση αὐτῆι ἔστω. ἔσται δὴ τὸ μὲν ΚΤΔ τρίγωνον μεῖζο μεῖζον τοῦ εὐθυγράμμου τοῦ ἐν τῶι Α κύ κλωι ἐγγεγραμμένου· δι διότι βάσιν μὲν ἔχει τὴν περίμετρον αὐτοῦ, ὕψος δὲ μεῖζον τῆς ἀπὸ τοῦ κέν τρου πλευρᾶς ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου ἀγομένης καθέτ καθέτου · τὸ δὲ ΕΛ παραλληλόγραμμον ἴσ ἴσον ἐν τῆι ἐπιφανείαι τοῦ πρίσματος τῆ ἐκ τῶν παραλληλογράμμων συγκειμένηι· δι διότι περιέχεται ὑπὸ τ τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς ἴσ ἴσης τῆι περιμέτρωι τοῦ εὐθυγράμμου, ὅς ἐστιν βάσις τοῦ πρίσματος· ὥστε καὶ τὸ ΡΛΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ πρίσματος. καὶ ἐπεὶ α ἴσα ἐστὶ τὰ εὐθύγραμμα τὰ ἐν τοῖς ΑΒΓ κύκλοις ἐγγεγραμμένα, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον πρὸς ἄλληλα ὃν αἱ ἐκ τῶν κέντρων αὐτῶν δυνάμει. ἐπεὶ καὶ τὰ ΚΤΔ ΖΡΛ τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον , ὃν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλω κύκλων δυνάμει· τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῶι Β ἐγγε γραμμένον καὶ τὸ ΚΤΔ τρίγωνο τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΖΡ τρίγωνον. ἔλασσον δέ ἐστι ἐστιν τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῶι Α κύκλ κύκλω ἐγγεγραμμένον τ τοῦ ΚΤΔ τριγώνου· ἔλασσον ἄρα τὸ εὐθύγραμμον τὸ ἐν τῶι Β κύκλωι ἐγγεγραμμένον τ τοῦ ΖΡΛ τριγώνου· ὥστε καὶ τῆς ἐπιφα νείας τοῦ πρίσματος τοῦ ἐν τῶ κυλίνωι ἐγγεγραμμένου· ὅπερ ἀ δύνατον· ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσονα λόγο λόγον ἔχει τὸ περιγεγραμμένον εὐθύγρα εὐθύγραμ μον περὶ τὸν Β κύκλον πρὸς τὸ ἐγγε γραμμένον ἢ ὁ Β κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου, καὶ ἐ ναλλάξ, μεῖζον δέ ἐστι τὸ περιγεγραμ μένον περὶ τὸν Β κύκλον τοῦ Β κύκλ κύκλου , μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ ἐγγεγραμμένον ἐν τ τῶ Β κύκλωι τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλί κυλίν δρου· ὥστε καὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ πρίσματος. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ Β κύκλος τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου. ἐ δείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων· ἴσον ἄρα ἐστίν . Παντὸς κώνου ἰσοσκελοῦς χωρ χωρὶς τῆς βάσεως ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλωι οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέ σον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέν τρου τοῦ κύκλου ὅς ἐστιν βάσις τ τοῦ κώνου. ἔστω κῶνος ἰσοσκελής οὗ βάσις ὁ Α κύκλος , ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέν τρου ἔστω ἡ Γ, τῆι δὲ πλευρᾶ τοῦ κώνου ἔστω ἴση ἡ Δ, τῶν δὲ ΓΔ μέση ἀνάλογον ἡ Ε, ὁ δὲ Β κύκλ κύκλος ἐχέτω τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆ Ε ἴσην· λέγω ὅτι ὁ κύκλος ἐστὶν ἴσος τῆι ἐ πιφανείαι τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βάσεως. εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσος ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρό τερον ἐλάσσων. ἔστι δὴ δύο με γέθη ἄνισα ἥ τε ἐπιφάνεια τοῦ κώνου καὶ ὁ Β κύκλος, καὶ μείζων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου· δυνατὸν ἄρα εἰς τὸν Β κύκλον πολύ γωνον ἰσόπλευρον ἐγγράψαι καὶ ἄλλο περιγράψαι ὅμοιον τῶι ἐγγε γραμμένωι ὥστε τὸ περιγεγραμ μένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένο ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ, ὃν ἔ χει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου πρὸς τὸ τὸν Β κύκλον. νοείσθω δὴ καὶ περὶ τὸ τὸν Α κύκλον πολύγωνον περιγεγρα περιγεγραμ μένον ὅμοιον τῶι περὶ τὸν Β κύ κλον περιγεγραμμένωι, καὶ ἀ πὸ τοῦ περὶ τὸν Α κύκλον περὶ περιγεγραμμένου πολύγωνο πολύγωνον πυραμὶς ἀνεστάτω ἀναγε γραμμένη τὴν αὐτὴν κορυφ κορυφὴν ἔχουσα τῶι κώνω. ἐπεὶ οὖν ὅ μοιά ἐστιν τὰ πολύγωνα τὰ περὶ τοὺς ΑΒ κύκλους περιγεγραμ μένα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον πρὸς ἄλληλα ὃν αἱ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάμει πρὸς ἀλλήλας, τουτ τουτέστιν ὃν ἔχει ἡ Γ πρὸς Ε δυνάμει, τουτ τουτέστιν ἡ Γ Δ μή κει. ὃν δὲ λό γον ἔχει ἡ Γ πρὸς Δ μήκει τοῦτο τοῦτον ἔχει τὸ περιγεγραμμένον πολύγων πολύγωνον περὶ τὸν Α κύκλον πρὸς τὴν ἐπιφά νειαν τῆς πυραμίδος τῆς περι γεγραμμένης περὶ τὸν κῶν κῶνον · ἡ μὲν γὰρ Γ ἴση ἐστὶ τῆι ἀπὸ τοῦ κ κέν τρου καθέτωι ἐπὶ μίαν πλευρὰ πλευρὰν τοῦ πολυγώνου, ἡ δὲ Δ τῆι πλευ ρᾶι τοῦ κώνου· κοινὸν δὲ ὕψος ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἐπιφανειῶν· τ τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ εὐθύγραμ μον τὸ περὶ τὸν Α κύκλον καὶ αὐ τὸ τὸ εὐθύγραμμον πρὸς τὴν ἐπιφά νειαν τῆς πυραμίδος τῆς περὶ παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν παραλλήλων ἐπι πέδων. καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλω κύκλων τῶν ἐν τοῖς παραλλήλοις ἐπιπέ δοις ἔστω κῶνος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον ἴσον τῶι ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω παραλλήλωι ἐπιπέ δωι τῆι βάσει, καὶ ποιείτω τομὴν τὴν ΔΕ, ἄξων δὲ τοῦ κώνου ἔστω ὁ ΒΗ, κύκλος δέ τις ἐκκείσθω, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέση ἀνάλογόν ἐστι τῆς τε ΑΔ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΔΖ ΗΑ, ἔστω δὲ ὁ κύκλος ὁ Θ· λέγω ὅτι ὁ Θ κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ κώνου τῆι μεταξὺ τῶν ΔΕ ΑΓ. ἐκκείσθωσαν γὰρ κύκλοι οἱ ΛΚ καὶ τοῦ μὲν Κ κύκλου ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ τὸ ΒΔΖ, τοῦ δὲ Λ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυ νάσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΗ· ὁ μὲν ἄρα Λ κύκλος ἴσος ἐστὶν τῆι ἐπιφανείαι τ τοῦ ΔΕΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ ΑΗ ἴσ ἴσον ἐστὶ τῶ τε ὑπὸ τῶν ΒΔ ΔΖ καὶ τῶι ὑπὸ τῆς ΑΔ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΔΖ ΑΗ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΔΖ τῆι ΑΗ, ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒ ΑΗ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τ τοῦ Λ κύκλου, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΔ ΔΖ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΔΑ καὶ συναμφοτέ ρου τῆς ΔΖ ΑΗ δύναται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Λ κύκλου ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ἐκ τῶν κέντρων τῶν ΚΘ κύκλων· ὥστε καὶ ὁ Λ κύκλος ἴσος ἐστὶ τοῖς ΚΘ κύκλοις. ἀλλ’ ὁ μὲν Λ ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΒΑΓ κώνου, ὁ δὲ Κ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΔΒΕ κώνου· λοιπὴ ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἡ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΔΕ ΑΓ ἴση ἐστὶ τῶι Θ κύκλωι. Ἔστω τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ΒΑΗ, καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἔστω ἡ ΒΗ. καὶ τετμήσθω ἡ ΒΑ πλευρά, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, καὶ διὰ τοῦ Δ ἤχθω πα ράλληλος τῆι ΑΗ ἡ ΔΘ, διὰ δὲ τοῦ Ζ τῆι ΒΑ ἡ ΚΛ· λέγω ὅτι τὸ ὑπὸ ΒΑΗ ἴσ ἴσον ἐστὶ τῶ τε ὑπὸ ΒΔΖ καὶ τῶι ὑπὸ ΔΑ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΔΖ ΑΛ. ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ ΒΑΗ ὅλον ἐστὶ τὸ ΒΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΔΖ τὸ ΒΖ, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΑ καὶ συ ναμφοτέρου τῆς ΔΖ ΑΛ ὁ ΜΝΞ γνώμων· τῶ μὲν γὰρ ὑπὸ ΔΑΗ ἴ σον ἐστὶν τὸ ΚΗ διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ΚΘ παραπλήρωμα τῶ ΔΛ πα ραπληρώματι, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΑ ΔΖ τὸ ΔΛ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΗ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΗ, ἴσον ἐστὶ τῶι τε ὑπὸ ΒΔΖ καὶ τῶι ΜΝΞ γνώμονι, ὅς ἐστιν ἴσος τῶι ὑπὸ ΔΑ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ ΔΖ. οἱ κῶνοι οἱ ἴσον ὕψος ἔχτες ἔχοντες τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς βάσε σιν· καὶ οἱ ἴσας ἔχοντες βάσεις τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον τοῖς ὕψεσι ὕψεσιν . ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδωι τμηθῆι π παρὰ τὴν βάσιν, ἔστιν , ὧι ὁ κύλινδρος πρὸς τὸ τὸν κύλινδρον, ὁ ἄξων πρὸς τὸν ἄξονα. τοῖς δὲ κυλίνδροις ἐν τῶι αὐτῶι λόγωι εἰσὶν οἱ κῶνοι οἱ ἔχοντες τὰς αὐτὰς βάσεις τοῖς κυλίνδροις. καὶ τῶν ἴσων κώνων ἀντιπεπόν θασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· καὶ ὧν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσοι εἰσίν . καὶ οἱ κῶνοι, ὧ ὧν αἱ διάμετροι τῶν βάσεων τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν τοῖς ἄξοσι τουτέστι τουτέστιν τοῖς ὕψεσι, πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλα σίονι λόγωι εἰσὶν τῶν ἐν ταῖς βάσε σιν διαμέτρων. ταῦτα δὲ πρότερο πρότερον πάντα ὑπὸ Εὐκλείδς Εὐκλείδους ἀπεδεί χθη. ΙΗ ἐὰν ὦσι δύο κῶνοι ἰσοσκελεῖς, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἦ τῆι τοῦ ἑτέρου βάσει, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πλευ ρὰν τοῦ κώνου κάθετος ἀγομένη τῶι ὕψει ἴση ἦ, ἴσοι ἔσονται οἱ κῶ νοι. ἔστωσαν δύο κῶνοι ἰσοσκε λεῖς οἱ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ τοῦ ΑΒΓ ἡ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῆι ἐπιφανείαι τ τοῦ ΔΕΖ, τὸ δὲ ὕψος τὸ ΔΗ ἴσον ἔστω τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τ τοῦ Θ ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ κώνου, οἷον ἐπὶ τὴν ΔΕ, καθέτωι ἠγμένη τῆι ΚΘ· λέγω ὅτι ἴσοι εἰσὶν οἱ κῶνοι. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ βάσις τοῦ ΑΒΓ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΔΕΖ, τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐ τὸν ἔχει λόγον, ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΒΑΓ βά σις πρὸς τὴν τοῦ ΔΕΖ βάσιν, οὕτως ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΔΕΖ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΔΕΖ. ἀλλ’ ὡς ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τ τὴν ἰδίαν βάσιν, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τ τὴν ΘΚ· ἐδεί χθη γὰρ τοῦτο, ὅτι παντὸς κώνου ἰ σοσκελοῦς ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν βά σιν τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν ἡ πλευ ρὰ τοῦ κώνου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τῆς βάσεως, ἡ ΔΕ τουτ τουτέστι πρὸς ΔΘ. ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς ΘΔ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ· ἰσο γώνια γάρ ἐστι τὰ τρίγωνα. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΘΚ τῆι ΑΗ· ὡς ἄρα ἡ βάσις τ τοῦ ΒΑΓ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ὕψος τ τοῦ ΔΕΖ πρὸς τὸ ὕψος τοῦ ΑΒΓ. τῶν ΑΒΓ ΔΕΖ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΑΓ τῶι ΔΕΖ κώ νωι. ἑξ ἑξῆς τὸ ΣΧΗΜΑ. ΙΘ Παντὶ ῥόμβωι ἐξ ἰσοσκελῶν κών κώνων συγκειμένωι ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βά σιν μὲν ἔχων ἴσην τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ ἑτέρου κώνου τῶν περιε χόντων τὸν ῥόμβον, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ ἑτέρ ἑτέρου κώνου καθέτωι ἀγομένη ἐπὶ μία μίαν τὸ ὕψος αὐτοῦ τὸ ΝΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΝΟ τῆι ΑΔ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΝΟ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ ῥόμβος πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶ νον, ὡς δὲ ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ὁ ΜΝΞ κῶνος πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶνον διὰ τὸ τὰς βάσεις αὐτῶν εἶναι ἴσας· ὡς ἄρα ὁ ΜΝΞ κῶνος πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶνον, οὕτως ὁ ΑΒΓ ῥόμβος πρὸς τὸν ΒΓΔ κῶνον· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΜΝΞ τῶι ΑΒΓΔ ῥόμβωι. καὶ ἐπεὶ ἡ ἐπιφά νεια τοῦ ΑΒΓ ἴση ἐστὶν τῆι βάσει τοῦ ΗΘΚ, ὡς ἄρα ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ πρὸς τ τὴν ἰδίαν βάσιν, οὕτως ἡ βάσις τ τῆς ΗΘΚ πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΜΝΞ· ἡ γὰρ βάσις τοῦ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ τῆι βάσει τοῦ ΜΝΞ πρὸς τὴν βάσιν. ὡς δὲ ἡ ἐπι φάνεια τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὴν ἰδίαν βάσι βάσιν Κ Ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδωι τμηθῆι παραλλήλωι τῆι βάσει, ἀπὸ δὲ τοῦ γενομένου κύκλου κῶ νος ἀναγραφῆι κορυφὴν ἔχον τὸ κέντρον τῆς βάσεως, ὁ δὲ γενόμε νος ῥόμβος ἀφαιρεθῆ ἀπὸ τοῦ ὅλου κώνου, τῶι περιλείμματι ἴσος ἔσται κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κώνου τῆι μεταξὺ τῶν παραλλή λων ἐπιπέδων, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ μίαν τοῦ κώνου καθέτω ἠγμένηι. ἔστω κῶνος ἰσοσκελὴς ὁ ΑΒΓ καὶ τετμήσθω ἐπιπέδωι παραλλήλωι τοῦτο ἴσος ἐστὶν ὁ ΜΝΞ κῶνος τῶι Α ΒΓ κώνωι· ἐὰν γὰρ ὦσι δύο κῶνοι ἰσοσκελεῖς, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἦ τῆι τοῦ ἑτέρου βάσει, ἔτι δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου λεγομένη κάθετος τῶι ὕψει ἴση, ἴσοι ἔσονται οἱ κῶνοι, τὴν δὲ τοῦ ΟΠΡ κώνου βάσιν ἴσην εἶναι τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΔΒΕ κώ νου, ὕψος δὲ τῆι ΖΗ διὰ δὴ τούτοις ἴσος ἐστὶν ὁ ΟΠΡ κῶνος τῶι ΒΔ ΖΕ ῥόμ βωι· τοῦτο γὰρ προαπεδείχθη. ἐπεὶ δὲ ἡ τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ΔΒΕ ἐπι φανείας καὶ τῆς μεταξὺ τῶν ΔΕ ΑΓ, ἀλλ’ ἡ μὲν τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῆι βάσει τοῦ ΚΑ Ἐὰν ῥόμβου ἐξ ἰσοσκελῶν κώνω κώνων συγκειμένου ὁ ἕτερος κῶνος ἐπιπέδῶι τμηθῆι παραλλήλωι τῆι βάσει, ἀπὸ δὲ τοῦ γενομένου κύκλου κῶνος ἀναγραφῆι κο ρυφὴν ἔχων τὴν αὐτὴν τῶι ἑ τέρωι κώνωι, ἀπὸ δὲ τοῦ ὅλου ῥόμ βου ὁ γενόμενος ῥόμβος ἀφαι ρεθῆ, τῶι περιλείμματι ἴσος ἔσται ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσ ἴσην τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κώνου τῆι μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπι πέδων, ὕψος δὲ ἴσον τὸ ἀπὸ τ τῆς κορυφῆς τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ ἑτέρου κώνου κα θέτωι ἠγμένηι. ἔστω ῥόμβος ἐξ ἰσο σκελῶν κώνων συγκείμενος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ τμηθήτω ὁ ἕτερος κῶνος ἐπιπέδωι παραλλήλωι τῆι βάσει, καὶ ποιείτω τομὴν τὴ τὴν ΕΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ περὶ διάμετρον τὴ τὴν ΕΖ κύκλον κῶνος ἀναγεγράφθω τὴν κορυφὴν ἔχων τὸ Δ σημεῖον· ἔσται δὴ γεγονὼς ῥόμβος ὁ ΕΒΔΖ. καὶ νοείσθω ἀφηρημένος ἀπὸ τοῦ ὅλου ῥόμβου, ἐκκείσθω δέ τις κῶνος ὁ ΘΚΛ τὴν μὲν βάσιν ἴ σην ἔχων τῆι ἐπιφανείαι τῆι με ταξὺ τῶν ΑΓ ΕΖ, τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου καθέτω ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΒΔ ἢ τὴν ἐπ’ εὐ θείας αὐτῆι· λέγω ὅτι ὁ ΘΚΛ κῶν κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι εἰρημένῶι περιλείμ ματι. ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κῶ νοι οἱ ΜΝΞ ΟΠΡ, καὶ ἡ μὲν βάσις τοῦ ΜΝΞ κώνου ἴση ἔστω τῆι ἐπι φανείαι τοῦ ΑΒΓ, τὸ δὲ ὕψος ἴσ ἴσον τῆι ΔΗ διὰ δὴ τὰ προδειχθέντα ἴ σος ἐστὶν ὁ ΜΝΞ κῶνος τῶι ΑΒΓΔ ῥόμβωι, τοῦ δὲ ΟΠΡ κώνου ἡ μ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΕΒΖ κώνου, τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῆι ΔΗ ὁμοίως δὴ ἴσος ἐστὶν ὁ ΟΠΡ κῶνος τῶ ΕΒΔΖ ῥόμβῶι. ἐπεὶ δὲ ὁμοίως ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ κώνου σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ΕΒΖ καὶ τῆς μεταξὺ τῶν ΕΖ ΑΓ, ἀλλὰ ἡ μὲν τοῦ ΑΒΓ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῆι βάσει τοῦ ΜΝΞ, ἡ δὲ τοῦ ΕΒΖ κώνου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ τῆι βά σει τοῦ ΟΠΡ κώνου, ἡ δὲ μεταξὺ τῶν ΕΖ ΑΓ ἴση ἐστὶ τῆι βάσει τ τοῦ ΘΚΛ, ἡ ἄρα βάσις τοῦ ΜΝΞ ἴση ἐστὶ τς ταῖς βάσεσι τῶν ΟΠΡ ΘΚΛ. καί εἰσιν οἱ κῶνοι ὑ πὸ τὸ αὐτὸ ὕψος· καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα κῶ νος ἴσος ἐστὶ τοῖς ΘΚΛ ΟΠΡ κώνοις. ἀλλ’ ὁ μὲν ΜΝΞ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι Α ΒΓΔ ῥόμβωι, ὁ δὲ ΟΠΡ κῶνος τῶ Ε ΒΔΖ ῥόμβωι· λοιπὸς ἄρα ὁ κῶνος ὁ ΘΚΛ ἴσος ἐστὶ τῶι περιλείμματι τῶι λοιπῶι. ΚΒ Ἐὰν εἰς κύκλον πολύγωνον ἐγγραφῆι ἀρτιόπλευρόν τε καὶ ἰσόπλευρο ἰσόπλευρον καὶ διαχθῶσιν εὐθεῖαι ἐπιζευγ ἐπιζευγνύ ουσαι τὰς πλευρὰς τοῦ κώνου ὥστε αὐτὰς παραλλήλους εἶναι μιᾶι ὁποιαοῦν τῶν ὑπὸ δύο πλευ ρὰς τοῦ πολυγώνου ὑποτεινου σῶν αἱ ἐπιζευγνύουσαι πᾶσαι πρὸς τ τὴν τ τοῦ κύκλου διάμετρον τοῦτον ἔ χουσι τὸν λόγον ὃν ἔχει ἡ ὑποτεί νουσα τὰς μιᾶ ἐλάσσονα τῶν ἡμίσεων πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ πο λυγώνου. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ καὶ ἐν αὐτῶι πολύγωνον ἐγγεγρά φθω τὸ ΑΕΖ ΒΗΘ ΓΜ ΝΔ ΛΚΑ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΚ ΖΛ ΒΔ ΗΝ ΘΜ· δῆλον δὴ ὅτι παράλληλ παράλληλοί εἰσιν τῆι ὑπὸ δύο πλευρὰς τοῦ πολυ γώνου ὑποτεινούσηι· λέγω οὖν ὅτι αἱ εἰρημέν εἰρημέναι πᾶσ πᾶσαι πρὸς τ τὴν τ τοῦ κύκλου διά μετρον τὴν ΑΓ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσι τῶι τῆς ΓΕ πρὸς ΕΑ. ἐπεζεύ χθωσαν γὰρ αἱ ΖΚ ΑΒ ΗΔ ΘΝ· παράλληλος ἄρα ἡ μὲν ΖΚ τῆι ΕΑ ἡ δὲ ΒΛ τῆι ΖΚ, καὶ ἔτι ἡ μὲν ΔΗ τῆι ΒΛ ἡ δὲ ΘΝ τῆι ΔΗ καὶ ἡ ΓΜ τῆι ΘΝ· καὶ ἐπεὶ δύο παράλληλοί εἰσιν αἱ ΕΑ ΚΖ καὶ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΚ ΑΟ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ ἡ ΚΞ πρὸς ΞΟ. ὡς δὲ ἡ ΚΞ πρὸς ΞΟ ἡ ΖΠ πρὸς ΠΟ ὡς δὲ ἡ ΖΠ πρὸς ΠΟ ἡ ΛΠ πρὸς ΠΡ ὡς δὲ ἡ ΛΠ πρὸς ΠΡ οὕτως ἡ ΒΣ πρὸς ΡΣ, καὶ ἔτι ὡς ἡ μὲν ΒΣ πρὸς ΣΡ ἡ ΔΣ πρὸς ΣΤ ὡς δὲ ἡ ΔΣ πρὸς ΣΤ ἡ ΗΥ πρὸς ΥΤ, καὶ ἔτι ὡς ἡ μὲν ΗΥ πρὸς ΥΤ ἡ ΝΥ πρὸς ΥΦ ὡς δὲ ἡ ΝΥ πρὸς ΥΦ ἡ ΘΧ πρὸς ΧΦ, καὶ ἔτι ὡς μὲν ἡ ΘΧ πρὸς ΧΦ ἡ ΜΧ πρὸς ΗΓ, καὶ πάν τα ἄρα πρὸς πάντα ἐστὶν ὡς εἷς τῶν λόγων πρὸς ἕνα· ὡς ἄρα ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ οὕτως αἱ ΕΚ ΖΛ ΒΔ ΗΝ ΘΜ πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον. ὡς δὲ ἡ ΕΞ πρὸς ΞΑ οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ· ἔστ ἔσται ἄρα καὶ ὡ ὡς ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ οὕτως πᾶσαι αἱ ΕΚ ΖΛ ΒΔ ΗΝ ΘΜ πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον. ἑξ ἑξῆς Η ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ. Ἐὰν εἰς τμῆμα κύκλου πολύγωνον ἐγ γραφῆι τὰς πλευρὰς ἔχον χωρὶς τῆς βάσεως ἴσας καὶ ἀρτίους, ἀ χθῶσι δὲ εὐθεῖαι π παρὰ τὴν βάσιν τ τοῦ τμήματος αἱ τὰς πλευρὰς ἐ πιζευγνύουσαι τοῦ πολυγώνου αἱ ἀχθεῖσαι πᾶσαι καὶ ἡμίσεια τῆς βάσεως πρὸς τὸ ὕψος τοῦ τμή ματος τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν ὃν ἡ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλ κύκλου ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου ἐπιζευγνυμένη πρὸς τὴν τοῦ πολυγώ νου πλευράν. εἰς γὰρ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ πολύγων πολύγωνον ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἀρ τιόπλευρόν τε καὶ ἴσας ἔχον τὰς πλευρὰς χωρὶς τῆς βάσεως τῆς ΑΓ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΗ ΕΘ αἵ εἰσιν παράλληλοι τῆι βάσει τοῦ τμή ματος· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΖΗ ΕΘ ΑΞ πρὸς ΒΞ οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΒ. πάλιν γὰρ ὁμοί ως ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΕ ΑΘ· παράλ ληλοι ἄρα εἰσὶν τῆι ΒΖ· διὰ δὴ ταὐτά ἐστιν ὡς ἡ ΚΖ πρὸς ΚΒ ἥ τε ΗΚ πρὸς ΚΛ καὶ ἡ ΕΜ πρὸς ΜΛ καὶ ἡ ΗΘ πρὸς ΜΝ καὶ ἡ ΞΑ πρὸς ΞΝ· καὶ ὡς ἄρα πάντα πρὸς πάντα εἷς τὸν λόγον πρὸς ἕνα· ὡς ἄρα αἱ ΖΗ ΕΘ ΑΞ πρὸς ΒΞ οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΒ. ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΒ οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΒ· ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς ΖΒ οὕτως αἱ ΖΗ ΕΘ ΑΞ πρὸς ΞΒ. ἑξ ἑξῆς τὸ ΣΧΗΜΑ. Ἔστω ἐν σφαίραι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν πολύγωνον ἰσόπλευρον, τὸ δὲ πλῆ θος τῶν πλευρῶν αὐτοῦ μετρείσ θω ὑπὸ τετράδος, αἱ δὲ ΑΓ ΔΒ διάμετροι ἔστωσαν. ἐὰν δὴ μενού σης τῆς ΑΓ διαμέτρου περιενε χθῆ ὁ ΑΒ ΓΔ κύκλος ἔχων τὸ πο λύγωνον, δῆλον ὅτι ἡ μὲν περιφέ ρεια αὐτοῦ κατὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ἐνεχθήσεται, αἱ δὲ τοῦ πολυγώνου γωνίαι χωρὶς τῶ τῶν πρὸς τοῖς ΑΓ σημείοις κατὰ κύκλω κύκλων περιφέρειαν ἐνεχθήσονται ἐν τῆι ἐπιφανείαι τῆς σφαίρας γεγραμμένων ὀρθῶν πρὸς τὸ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον· διάμετροι δὲ αὐτῶν ἔσ ἔσονται αἱ ἐπιζευγνοῦσαι τὰς γωνίας τοῦ πο λυγώνου π παρὰ τὴν ΒΔ οὖσαι. αἱ δὲ τοῦ πολυγώνου πλευραὶ κατά τινων κώνων ἐνεχθήσονται, αἱ μὲν ΑΖ ΑΝ κατ’ ἐπιφανείας κώνου, οὗ βά σις μὲν ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρο διάμετρον τὴν ΖΝ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, αἱ δὲ ΖΗ ΜΝ κατά τινος κωνικῆς ἐπιφανείας οἰσθήσονται, ἧς βά σις μὲν ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΗΝ, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον, κα θ’ ὃ συμβάλλουσι συμβάλλουσιν ἐκβαλλόμεναι αἱ ΖΗ ΜΝ ἀλλήλαις τε καὶ τῆι ΑΓ, αἱ δὲ ΒΗ ΜΔ πλευραὶ κατὰ κωνι κῆς ἐπιφανείας οἰσθήσονται, ἧς βάσις μέν ἐστιν ὁ κύκλ κύκλος ὁ περὶ τὴν διάμετρον τὴν ΒΔ ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλον, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον, καθ’ ὃ συμβάλλουσι συμβάλλουσιν ἐκβαλλόμε ναι αἱ ΒΗ ΔΜ ἀλλήλαις τε καὶ τῆι ΓΑ· ὁμοίως δὲ καὶ ἐν τῶι ἑτέρωι ἡμικυ κλίωι πλευραὶ κατὰ κωνικῶν ἐπιφανειῶν οἰσθήσονται πάλι πάλιν ὁμοίων ταύταις. ἔσται δή τι σχῆ μα ἐγγεγραμμένη ἐν τῆι σφαίρ σφαίρας ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περι εχόμεν εχόμενον τῶν προειρημένων, οὗ ἡ ἐπιφάνεια ἐλάσσων ἔστ ἔσται τῆς ἐπι φανείας τῆς σφαίρας. διαιρε θείσης γὰρ τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ κα κατὰ τὴν ΒΔ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ΑΒ ΓΔ κύκλ κύκλον ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἑτέρου ἡμισφαιρίου καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ σχήματος τοῦ ἐν αὐτῶι ἐγγε γραμμένου τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχ ἔχου σιν ἐν ἑνὶ ἐπιπέδωι· ἀμφοτέρων γὰρ τῶν ἐπιφανειῶν πέρας ἐστὶ τ τοῦ κύκλου ἡ περιφέρεια τοῦ περὶ διά μετρον τὴν ΒΔ ὀρθοῦ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον· καί ἐστιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐ τὰ κοῖλαι, καὶ περιλαμβάνεται αὐτ αὐτῶν ἡ ἑτέρα ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἐπιφα νείας καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐ τὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῆι. ὁμοί ως δὲ καὶ τοῦ ἐν τῶι ἑτέρωι ἡμισφαι ρίωι σχήματος ἐπιφάνεια ἐλάσ σων ἐστὶν τῆς τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπι φανείας· καὶ ὅλη οὖν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ σχήματος τοῦ ἐν τῆι σφαίραι ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. ΚΔ Ἡ τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος εἰς τ τὴν σφαῖραν ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλω, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ πε ριεχόμενον ὑπό τε τῆς πλευρᾶς τ τοῦ σχήματος καὶ τῆς ἴσης πάσαις τς ταῖς ἐπιζευγνυούσαις τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου παραλλήλας οὔσας τῆι ὑ πὸ δύο πλευρὰς τοῦ πολυγών πολυγώνου ὑποτεινούσα εὐθεία. ἔστω Ἐν σφαίραι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῶι πολύγωνον ἐγγεγρά φθω ἰσόπλευρον, οὗ αἱ πλευραὶ ὑπὸ τετράδος μετροῦνται, καὶ ἀπὸ τοῦ πολυγώνου τοῦ ἐγγεγραμμένου νοείσθω τι εἰς τὴν σφαῖραν ἐγγρα φὲν σχῆμα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ ΗΘ ΓΔ ΚΛ ΜΝ παράλληλοι οὖ σαι τῆι ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτειν ὑποτεινού σηι εὐθείαι, κύκλος δή τις ἐκκείσ θω ὁ Ξ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνά σθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τῆς ἴσης ταῖς ΕΖ ΗΘ ΓΔ ΚΛ ΜΝ· λέγω ὅτι ὁ κύκλ κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶ τῆι ἐ πιφανείαι τοῦ εἰς τὴν σφαῖραν ἐγ γραφομένου σχήματος. ἐκκείσθω σαν γὰρ κύκλοι οἱ Ο Π Ρ Σ Τ Υ, καὶ τοῦ μὲν Ο ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ πε ριεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΕΖ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τοῦ Π δυνάσθω τὸ περιεχόμ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΕΖ ΗΘ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΗΘ ΓΔ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Σ δυνάσθω τὸ περιεχόμ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἡμισείας τ τῶν ΓΔ ΚΛ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Τ δυνθω δυνάσθω τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τῆς ἡμισείας τῶν ΚΛ ΜΝ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Υ δυνάσθω τὸ περι εχόμενον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ τῆς ἡμι σείας τῆς ΜΝ. διὰ δὴ ταῦτα ὁ μὲν κύκλος κύκλος ἴσος ἐστὶν τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κώνου, τῆι μεταξὺ τοῦ κώνου τῶ τῶν ΕΖ ΗΘ, ὁ δὲ Ρ τῆι μεταξὺ τῶν ΗΘ ΓΔ, ὁ δὲ Θ τῆι μεταξὺ τῶν ΔΓ ΚΛ, καὶ ἔτι ὁ μὲν Τ ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ κώ νου τῆι μεταξὺ τῶν ΚΛ ΜΝ, ὁ δὲ Υ τῆι τοῦ ΜΒΝ κώνου ἐπιφανεία ἴσ ἴσος ἐστίν · οἱ πάντες ἄρα κύκλοι ἴσοι εἰσὶν τῆι τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐπι φανείαι. καὶ φανερὸν ὅτι αἱ ἐκ τῶ τῶν κέντρων τῶν Ο Π Ρ Σ Τ Υ κύκλων δύ ναται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆ τῆς ΑΕ καὶ δὶς τῶν ἡμίσεων τῆς ΕΖ ΗΘ ΓΔ ΚΛ ΜΝ, αἳ ὅλοι εἰσὶν αἱ ΕΖ ΗΘ ΚΛ ΜΝ· αἱ ἄρα ἐκ τῶν κέντρων τῶν Ο Π Ρ Σ Τ Υ κύκλων δύνανται τὸ περιεχόμε νον ὑπό τε τῆς ΑΕ καὶ πασῶν τῶν ΕΖ ΗΘ ΓΔ ΚΛ ΜΝ. ἀλλὰ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ξ κύκλου δύναται τὸ ὑπὸ τῆς ΑΕ καὶ τῆς συγκειμέν συγκειμένης ἐκ πασῶν τῶν ΕΖ ΗΘ ΓΔ ΚΛ ΜΝ· ἡ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ξ κύκλου δύ ναται τὰς ἐκ τῶν κέντρων τ τῶν Ο Π Ρ Σ Τ Υ κύκλων· καὶ ὁ κύκλ κύκλος ἄρα ὁ Ξ ἴσ ἴσος ἐστὶ τοῖς Ο Π Ρ Σ Τ Υ κύκλοις. οἱ δὲ Ο Π Ρ Σ Τ Υ κύκλοι ἀπεδείχθησαν ἴσοι τῆι εἰρημένηι τοῦ σχήματος ἐπιφα νείαι· καὶ ὁ Ξ ἄρα κύκλος ἴσος ἔσται τῆ ἐπιφανείαι τοῦ σχήματος. ΚΕ Τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος εἰς τή τήν σφαῖραν ἡ ἐπιφάνεια ἡ περιεχο μένη ὑπὸ τῶν κωνικῶν ἐπιφα νειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλα σία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαίραι. ἔστω ἐν σφαίρα μεγιστ μεγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῶι ἐγγε γράφθω πολύγωνον ἀρτιόγωνο ἀρτιόγωνον ἰσόπλευρον, οὗ αἱ πλευραὶ ὑπὸ τετράδος μετροῦνται, καὶ ἐπ’ αὐτ αὐτοῦ νοείσθω ἐπιφάνεια ἡ ὑπὸ τῶν κω νικῶν ἐπιφανειῶν περιεχομένη· λέγω ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγραφέν τος ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλα σία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαίραι. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ὑ πὸ δύο πλευρὰς ὑποτείνουσαι τ τοῦ πολυγώνου αἱ ΕΙ ΘΜ καὶ ταύταις παράλληλοι αἱ ΖΚ ΔΒ ΗΛ, ἐκκείσ θω δέ τις κύκλ κύκλος ὁ Ρ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κεντρ κεντρου δύναται ὑπὸ τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἴσης πάσαις τς ταῖς ΕΙ ΖΚ ΒΔ ΗΛ ΘΜ· διὰ δὴ τὸ προδειχθὲν ἴσος ἐστὶν ὁ κύκλος τῆι τοῦ εἰρημένου σχήματος ἐπιφανείαι. καὶ ἐπεὶ ἔδει ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ἴση πάσαις ταῖς ΕΙ ΖΚ ΒΔ ΗΛ ΘΜ πρὸς τὴν διά μετρον τοῦ κύκλου τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ἴσης πάσς πάσαις τς ταῖς εἰρημέναις καὶ τῆς ΕΑ, τουτ τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ κύ κλου, ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΓ ΓΕ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ· ἔλασσον ἄρα ἐστὶ ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ τῆς ΑΓ· ὥσ τε ἡ διάμετρος τοῦ Ο κύκλου ἐλάσ σων ἐστὶν ἢ διπλασία τῆς δια μέτρου τοῦ ΑΒ ΓΔ κύκλου, καὶ δύο ἄρα τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου διάμετροι μείζ μείζους εἰσὶ τῆς διαμέτρου τοῦ Ρ κύκλου, καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, τουτ τουτέστι τῆς ΑΓ, μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς τοῦ Ρ κύκλου διαμέ τρου. ὡς δὲ τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ Ρ κύκλου μέτρ διαμέτρου , οὕτως τέσσαρες κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ πρὸς τὸν Ρ κύκλον· τέσσαρες ἄρα κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ μείζους εἰσὶν τοῦ Ρ κύκλου· ὁ ἄρα κύκλος ὁ Ρ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλά σιος τοῦ μεγίστου κύκλου. ὁ δὲ Ρ κύ κλος ἴσος ἐδείχθη τῆι εἰρημέναι ἐπιφανεία τοῦ σχήματος· ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαί ραι. ἑξ ἑξῆς τὸ ΣΧΗΜΑ. τῶ ἐγγραφομένωι ἐν τῆι σφαίρ σφαίραι σχήματι τῶι περιεχομένωι ὑπὸ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν κωνικῶν ἴσος ἐστὶν κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν ἴσον τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ σχήματος τοῦ ἐγγρα φέντος ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ἴσ ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρ σφαίρας ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγών πολυγώνου καθέτω ἠγμένη. ἔστω ἡ σφαῖρα καὶ ὁ ἐν αὐτῆι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τῶ πρότε ρον, ἔστω δὲ κῶνος ὀρθὸς ὁ Ρ βά σιν μὲν ἔχων τῆι ἐπιφανείαι τοῦ σχήματος τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐν τῆι σφαίραι, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγών πολυγώνου καθέτωι ἠγμένη· δεικτέον ὅτι ὁ κῶ νος ὁ Ρ ἴσος ἐστὶν τῶι ἐγγεγραμμένωι ἐν τῆι σφαίραι σχήματι. ἀπὸ γὰρ τῶν κύκλων, ὧν εἰσι διάμετροι αἱ ΖΝ ΗΜ ΘΛ ΙΚ, κῶνοι ἀναγεγράφθω σαν κορυφὴν ἔχοντες τὸ τῆς σφαί ρας κέντρον· ἔσται δὴ ῥόμβος στερεὸς ἔκ τε τοῦ κώνου, οὗ βάσις μ μὲν ἔστω ὁ κύκλος ὁ περὶ τὴν ΖΝ, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, καὶ τοῦ κώνου, οὗ βάσις ὁ αὐτὸς κύκλ κύκλος , κορυφὴ δὲ τὸ Χ σημεῖον· ἴσος ἐστὶ ἐστὶν τῶι κώνωι τῶι βάσιν μὲν ἔχον τι τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ΝΑΖ, ὕψ ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἀπὸ τοῦ Χ καθέτωι ἔστι δὲ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγε γραμμένου σχήματος περὶ τὴ τὴν σφαῖραν μείζων ἢ τετραπλα σία τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαίρας, μεῖζον ἄρα ἢ τετρα πλάσιον ἔσται τὸ σχῆμα τὸ περι γεγραμμένον περὶ τὴν σφαῖρα σφαῖραν τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἐπειδὴ καὶ ὁ κῶνος ὁ ἴσος αὐτῶι μείζων ἢ τετραπλάσιος γίνε ται τοῦ εἰρημένου κώνου· βά σιν τε γὰρ μείζονα ἢ τετρα πλάσιον ἔχει καὶ ὕψος ἴσον. ἐὰν ἐν σφαίραι σχ σχῆμα ἐγγεγραμμέ νον καὶ ἄλλο περιγεγραμμέ νον ὑπὸ ὁμοίων πολυγώνων τὸν αὐτὸν τρόπον τοῖς πρότερ πρότερον κατεσκευασμένοις, ἡ ἐπιφά νεια τοῦ περιγεγραμμένου σχή ματος πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμέ νου ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγών πολυγώνου περὶ τὸν μέγιστον κύκλον πρὸς τὴ τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου ἐν τῶι αὐτῶι κύκλ κύκλω , αὐτὸ δὲ τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμ μένον πρὸς τὸ σχῆμα τριπλασί ονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγ λόγου . ἔστω ἐν σφαίραι κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν πο λύγωνον ἰσόπλευρον, τὸ δὲ πλῆ θος τῶν πλευρῶν αὐτοῦ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος, καὶ ἄλλο περιγε γράφθω περὶ τὸν κύκλον ὅμοιο ὅμοιον τῶι ἐγγεγραμμένωι, ἐπὶ δὲ τοῦ περι γεγραμμένου πολυγώνου πλευ ραὶ ἐπιψαυέτωσαν τοῦ κύκλου κ κα τὰ μέσα τῶν περιφερειῶν τῶν ἀποτεμνομένων ὑπὸ τῶν τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώνου πλευ ρῶν, αἱ δὲ ΕΗ ΖΘ μετροι διάμετροι πρὸς ὀρθ ὀρθὰς ἔστωσαν ἀλλήλαις τοῦ κύκλου τ τοῦ περιλαμβάνοντος τὸ περιγε γραμμένον πολύγωνον καὶ ὁμοί ως κείμεναι ταῖς ΑΓ ΒΔ διαμέ τροις, καὶ νοείσθωσαν ἐπεζευγ μέναι ἐπὶ τὰς ἀπεναντίον γω νίας τοῦ πολυγώνου, αἳ γίγνοντ γίγνονται ἀλλήλαις τε καὶ τῆι ΒΖ ΘΔ παράλ ληλοι. μενούσης δὴ τῆς ΕΗ δια μέτρου καὶ περιενεχθεισῶν τῶν περιμέτρων τῶν πολυγώνων περὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρει περιφέρειαν τὸ μὲν περιγεγραμμένον σχῆ μα ἔσται ἐν τῆι σφαίραι, τὸ δὲ ἐγ γεγραμμένον· δεικτέον οὖν ὅτι ἡ μ μὲν ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμέ νου σχήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνει ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλασίονα λόγον ἔχει εἴ εἴπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ τὸ δὲ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον τριπλασίον τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγου. ἔστω γὰρ ὁ μὲν Μ κύκλος ἴσος τῆι ἐπιφα νείαι τοῦ περιγεγραμμένου πε ρὶ τὴν σφαῖραν, ὁ δὲ Ν ἴσος τῆι ἐπι φανείαι τοῦ περιγεγραμμέν περιγεγραμμένου · περὶ τὴν σφαῖραν ὁ δὲ Ν ἴσος τῆι ἐπιφανείαι τοῦ γεγραμμένου· δύ νατ ναται ἄρα τοῦ μὲν Μ ἡ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΕΑ καὶ τῆς ἴσης πάσαις ταῖς ἐπι γνυούσαις τὰς γωνίας τοῦ πολυγώ νου τοῦ περιγεγραμμένου, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν τὸ ὑπὸ τῆς ΑΚ καὶ τῆς ἴσης πάσαις τς ταῖς ἐπιζευγνυ ούσαις τὰς γωνίας. καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι ἐστιν τὰ πολύγωνα, ὅμοια ἂν εἴη καὶ τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν εἰρη μένων γραμμῶν, τουτέστι τῶν ἐ πὶ τὰς γωνίας ἢ τὰς πλευρὰς τῶν πολυγώνων, ὥστε τὸν αὐτὸν λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλας, ὃν ἔχουσιν αἱ τῶ τῶν πολυγώνων πλευραὶ δυνάμει. ἀλλ ἀλλὰ καὶ ὃν ἔχει λόγον τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν εἰρημένων γραμμῶν, τοῦ τον ἔχουσιν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν ΜΝ κύκλων πρὸς ἀλλήλαις δυνάμει· ὥστε καὶ αἱ τῶν ΜΝ διάμετροι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς τῶν πολυγώ νων πλευραῖς. οἱ δὲ κύκλοι πρὸς ἀλ λήλους διπλασίονα λόγον ἔχουσιν τῶν διαμέτρων, οἵτινες ἴσοι εἰσὶν τς ταῖς ἐπιφανείαις τοῦ περιγεγραμμέν περιγεγραμμένου · δῆλον οὖν ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περι γεγραμμένου σχήματος περὶ τ τὴν σφαῖραν πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγ γεγραμμένου σχήματος εἰς τὴν σφαῖ ραν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ. εἰλήφθωσαν δὴ δύο κῶνοι οἱ ΟΞ καὶ ἔστω ὁ μὲν Ξ κῶν κῶνος βάσιν ἔχων τοῦ Ξ κύκλον ἴσον τῶι Μ, ὁ δὲ Ο βάσιν ἔχων τὸν Ο κύκλον ἴσο ἴσον τῶι Ν, ὕψος δὲ ὁ μὲν Ξ κῶνος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ Ο τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετον ἠγμένην· ἴσος ἄρα ὁ μὲν Ξ κῶνος τῶι σχήματι τῶι περιγε γραμμένωι περὶ τὴν σφαῖραν, ὁ δὲ Ο τῶι ἐγγεγραμμένωι. δέδεικτ δέδεικται οὖν ταῦτα. καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ πο λύγωνα, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ, ὃν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαί ρας πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ΑΚ κάθετον ἀ γομένην· τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ὕψος τοῦ Ξ κώνου πρὸς τὸ ὕψος τοῦ Ο κώνου, ὃν ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ. ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν διά μετρον τοῦ Ν κύκλου λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ· τῶν ἄρα ΞΟ κώνων αἱ διά μετροι τῶν βάσεων τοῖς ὕψεσι τὸ τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον, ὅμοιοι ἄρα εἰσίν , καὶ διὰ τὸ αὐτὸ τριπλασίονα λόγον ἕ ξει ὁ Ξ κῶνος πρὸς τὸν Ο κῶνον ἤ περ ἡ μετρος διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴ τὴν μετρον διάμετρον τοῦ Ν κύκλου. δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ σχῆμα τὸ περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον τριπλα σίονα λόγον ἕξει ἤ ἤπερ ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ. ἑξ ἑξῆς Η Κ ΚΑΤΑ ΓΡΑΦΗ Πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπαλσία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύ κλου τῶν ἐν αὐτῆι. ἔστω γὰρ σφαῖ ρά τις καὶ ἔστω τετραπλάσιος

Figure 1.33.1 τοῦ μεγίστου κύκλου ὁ Α· λέγω ὅτι ὁ Α ἴσος ἐστὶν τῆι ἐπιφανείαι τῆς σφαίρας. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον μείζ μείζων ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας καὶ ὁ Α κύκλος· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ λαβεῖν δύο εὐθείας ἀνίσους, ὥστε τὴν μείζο να πρὸς τ τὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἐλάσσονα τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνει α τῆς σφαίρας πρὸς τὸν κύκλον. εἰλή φθωσαν αἱ ΒΓ, καὶ τῶν ΒΓ μέση ἀ νάλογον ἔστω ἡ Δ, νοείσθω δὲ καὶ ἡ σφαῖρα ἐπιπέδωι τετμημένη διὰ τοῦ κέντρου κατὰ τὸν ΕΖΗΘ κύκλ κύκλον , νοείσθω δὲ καὶ εἰς τὸν κύκλον ἐγγε γραμμένον πολύγωνον, ὥστε ὅμοι ον εἶναι τὸ περιγεγραμμένον τῶ ἐγ γεγραμμένωι πολυγώνωι καὶ τὴν τοῦ περιγεγραμμένου πλευρὰν ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ, ὃν ἔ χει ἡ Β πρὸς Δ, καὶ ὁ διπλάσιος ἄρα λόγ λόγος τοῦ διπλασίου λόγου ἐστὶν ἐλάσσ ἐλάσσων . καὶ τοῦ μὲν τῆς Β πρὸς Δ διπλάσιός ἐστιν

Figure 1.33.1 ὁ τῆς Β πρὸς τ τὴν Γ, τῆς δὲ πλευρᾶς τοῦ περι γεγραμμένου πολυγώνου πρὸς τ τὴν πλευ ρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου διπλάσιος ὁ τῆς ἐπιφανείας τοῦ περιγεγραμ μένου στερεοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τ τοῦ ἐγγεγραμμένου· ἡ ἐπιφάνεια ἄρα τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος περὶ τὴν σφαῖραν πρὸς τ τὴν ἐπιφάνεια ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐλάσ σονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ ἡ ἐπιφάνει ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας πρὸς τὸν Α κύκλον· ὅ ὅπερ ἄτοπον· ἡ μὲν γὰρ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου τῆς ἐπιφάνει ἐπιφάνειας τῆς σφαίρας μείζων ἐστίν , ἡ δὲ ἐπι φάνεια τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήμα σχήματος τοῦ Α κύκλου ἐλάσσων ἐστί · δέδεικται γὰρ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγεγραμμέ νου ἐλάσσων τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαίραι ἢ τετραπλα σία, τοῦ δὲ μεγίστου κύκλου τετραπλ τετραπλά σιός ἐστιν ὁ Α κύκλος. οὐκ ἄρα ἡ ἐπιφά νεια τῆς σφαίρας μείζων ἐστὶν τοῦ Α κύκλου. λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ὁμοίως εὑρήσθωσαν αἱ ΒΓ εὐθεῖαι ὥστε τὴν Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Α κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφά νειαν τῆς σφαίρας, καὶ τῶν ΒΓ μέ ση ἀνάλογον ἡ Δ, καὶ ἐγγεγράφθω καὶ περιγεγράφθω πάλιν, ποτὲ τὴ τὴν τοῦ περιγεγραμμένου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ τῆς Β πρὸς δ· καὶ τὰ διπλάσια ἄρα· ἡ ἐπιφάνεια ἄρα τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ἐγγεγραμμέ νου ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ ἡ Β πρὸς Γ. ἡ δὲ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔ χει ἤ ἤπερ ὁ Α κύκλος πρὸς τὴν ἐπι φάνειαν τῆς σφαίρας· ὅ ὅπερ ἄτο πον· ἡ μὲν γὰρ τοῦ περιγεγραμ μένου ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ Α κύκλου, ἡ δὲ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐ λάσσων τῆς ἐπιφανείας τῆς σφ σφαί ρας. οὐκ ἄρα οὐδὲ ἐλάσσων ἡ ἐπιφά νεια τῆς σφαίρας τοῦ Α κύκλου. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ μείζων· ἡ ἄρα ἐπιφά νεια τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶ τῶι Α κύ κλωι, τουτ τουτέστι τῶι τετραπλασίωι τ τοῦ μεγίστου κύκλου.

Figure 1.33.2 Πᾶσα σφαῖρα τεπλασία τετραπλασία ἐστὶ κών κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῶι μεγίστω κύκλωι τῶν ἐν τῆι σφαί ραι, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τ τῆς σφαίρας. ἔστω γὰρ σφαῖρά τις καὶ ἐν αὐτῆι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ. εἰ οὖν μή ἐστιν ἡ σφαῖρα τετραπλασία τοῦ εἰρημένου κώνου, ἔστω, εἰ δυ νατόν, μείζων ἢ τετραπλασία· ἔστω δὲ ὁ Ξ κῶνος βάσιν μὲν ἔ χων τετραπλασίαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέ κέν τρου τῆς σφαίρας· μείζων οὖν ἐστιν ἡ σφαῖρα τοῦ Ξ κώνου. ἔσται δὴ δύο μεγέθη ἄνισα ἥ τε σφαῖρα καὶ ὁ κῶνος· δυνατὸν οὖν δύο εὐθεί εὐθείας λαβεῖν ἀνίσους, ὥστε ἔχειν τὴν μείζονα πρὸς τ τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσο να λόγον τοῦ, ὃν ἔχει ἡ σφαῖρα πρὸς τὸν Ξ κῶνον. ἔστωσαν οὖν αἱ ΚΗ, αἱ δὲ ΙΘ εἰλημμέναι, ὥσ τε τῶι ἴσωι ἀλλήλων ὑπερέχειν τὴν Κ τῆς Ι καὶ τὴν Ι τῆς Θ καὶ τὴν Θ τῆς Η, νοείσθω δὲ καὶ εἰς τὸν Α ΒΓΔ κύκλον ἐγγεγραμμένον πο λύγωνον, οὗ τὸ πλῆθος τῶν πλευ ρῶν μετρείσθω ὑπὸ τετράδος, καὶ ἄλλο περιγεγραμμένον ὅμοιον τῶι ἐγγεγραμμένωι, καθάπερ ἐπὶ τῶν πρότερον, ἡ δὲ τοῦ περιγε γραμμένου πολυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἐλάσ σονα λόγον ἐχέτω τοῦ, ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς Ι, καὶ ἔτωσαν αἱ ΑΒΓΔ διὰ σχῆμα εἰς αὐτό, οἷον εἴρηται, περι εχόμενον ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφα νειῶν, καὶ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΗΘ καὶ ἀρτιόπλευρον πολύγωνον τὸ ΑΓΕ ΘΔ ΔΗ χωρὶς τῆς ΑΗ πλευρᾶς, καὶ εἰλήφθω κύκλος ὁ Λ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῶι περιε χομένωι ὑπό τε τῆς ΑΓ πλευρᾶς καὶ ὑπὸ πασῶν τῶν ΕΖ ΓΔ καὶ ἔτι τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως, τουτ τουτέστι τῆς ΑΚ· δεικτέον ὅτι ὁ κύκλος ἴσ ἴσος ἐστὶ τῆι τοῦ σχήματος ἐπιφανεί αι. εἰλήφθω γὰρ κύκλος ὁ Μ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ περιε χόμενον ὑπό τε τῆς ΕΘ πλευρᾶς καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΕΖ· γίγνετ γίγνεται δὴ ὁ Μ κύκλος ἴσος τῆι ἐπιφανεί αι τοῦ κώνου, οὗ βάσις μὲν ὁ πε ρὶ τὴν ΕΖ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σονται τῆ ὅλη τοῦ σχήματος ἐπιφα νεία, καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων αὐτῶν ἴσον δυνήσονται τῶι περιεχομένω ὑπὸ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΑΓ καὶ τῆς ἴ σης ταῖς ΕΖ ΓΔ καὶ τῆι ἡμισείαι τ τῆς βάσεως τῆι ΑΚ. ἐδύνατο δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Λ κύκλου ἴσον τῶι αὐτῶι χωρίωι· ὁ ἄρα Λ κύκλος ἴσος ἔσται τοῖς Μ Ν Ξ κύκλοις· ὥστε καὶ τῆι ἐ πιφανείαι τοῦ ἐγγεγραμμένου σχ σχήματος . τοῖς πρότερον τὴν ἐπιφάνειαν ἐ λάσσονα ἕξει τῆς τοῦ τμήματος ἐπι φανείας τοῦ περιλαμβάνοντος· τὸ γὰρ αὐτὸ πέρας αὐτῶν ἐστιν ἐν ἐπιπέ δωι τοῦ τε τμήματος καὶ τοῦ σχήμα τος ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου, οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλ κοῖλαι ἀμφότεραί εἰσιν αἱ ἐπιφάνειαι, καὶ περι λαμβάνεται ἡ ἑτέρα ὑπὸ τῆς ἑτέρ ἑτέρας . ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐν τῶι τμήματι τῆς τῆς τοῦ σχήματος ἐπιφανείας. ἡ γὰρ ἐπιφάνεια τ τοῦ σχήματος δέδει κται ἴση οὖσα κύκλωι, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύναται τῶι περιε χομένωι ὑπό τε τῆς ΕΘ καὶ τῶν ΕΖ ΓΔ ΚΑ· τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΕΘ καὶ τῶ τῶν ΕΖ ΓΔ ΚΑ δέδεικται ἴσον τῶι ὑπὸ τῶν ΕΛ ΚΘ περιεχομένωι· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΛ ΚΘ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΘ· καὶ γὰρ τοῦ ΛΘ ΘΚ· φανερὸν ὅτι ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ὅς ἐστιν ἴσος τῆι ἐπιφανείαι τοῦ σχήματ σχήματος , ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ· δῆλον ἄρα ὅτι ὁ Μ κύκλος μείζ μείζων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ σχήματ σχήματος . μέγιστος κύκλος καὶ τμῆμα ἔ λασσον ἡμικυκλίου τὸ ΑΒΓ καὶ κέ κέν τρον τὸ Ε, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πολύγωνον ἀρτιό πλευρον χωρὶς τῆς ΑΓ ὁμοίως τοῖς πρότερον, καὶ μενούσης τῆς ΒΑ περιενεχθεῖσα ἡ σφαῖρα ποιεῖ τῶι σχήματι ὑπὸ κωνικ κωνικῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον, καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ μετρ διάμετρον τὴν ΑΓ κῶνος ἀναγεγράφθω κορυφὴν ἔχων τὸ κέντρον, καὶ εἰ λήφθω κῶνος ὁ Κ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῆι ἐπιφανείαι τοῦ σχή ματος, ὕψος δὲ τὴν ἀπὸ τοῦ Ε κέν τρου ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυ γώνου καθέτωι ἠγμένηι· δεικτέ δεικτέον ὅτι ὁ Κ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι περι εχομένωι τμήματι σὺν τῶι κώ νωι τῶι ΑΕΓ. ἀναγεγράφθωσαν δὲ καὶ κῶνοι ἀπὸ τῶν κύκλων τῶν περὶ διαμέτρους τῆς ΘΖ ΚΙ κορυφὴν ἔχοντες τὸ Ε σημεῖον· οὐκοῦν ὁ μὲν ΗΒ ΘΕ ῥόμβος στερεὸς ἴσος ἐστὶ κώνωι, οὗ ἡ μ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΗΒΘ κώνου, τὸ ὕψος δὲ τῆι ἀπὸ τ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΖΒ ἀγομένη καθέτωι, τὸ δὲ περίλειμα τὸ περιεχόμεν περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς με ταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέ δων τῶν κατὰ τὰς ΗΘ ΖΛ κ καὶ τῶν κωνικῶν τῶν ΖΕΔ ΗΕΘ ἴση ἐστὶ κώνωι, οὗ βάσις μέν ἐστι ἐστιν ἴση τῆι ἐπιφανείαι τῆι μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶ τῶν κατὰ τὰς ΗΘ ΖΔ, ὕψος δὲ τῆ ἀπὸ τοῦ Ε ἐν τῆι ΖΗ καθέτωι ἠγμένηι. πάλιν τὸ περίλειμμα τὸ περιεχό μενον ὑπό τε τῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐ πιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΖΛ ΑΓ καὶ τῶν κωνικῶν τῶν ΑΕ ΓΖ ΕΔ ἴσον ἐστὶ κώνωι, οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τῆι μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν κατὰ τὰς ΖΛ ΑΓ, ὕψος δὲ τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τ τὴν ΖΑ καθέτωι ἠγμένη· οἱ οὖν εἰρημένοι κῶνοι ἴσοι ἔσονται τ τῶ σχήματι καὶ μετὰ τοῦ ΑΕΓ κών κώνου . καὶ ὕψος μὲν ἴσον ἔχουσι τῆι ἀπὸ τ τοῦ Ε ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώ νου καθέτωι ἠγμένηι, τὰς δὲ βά σεις ἴσας τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΑΖ ΗΒ ΛΓ σχήματος· ἔχει δὲ καὶ ὁ Κ κῶ νος τὸ αὐτὸ ὕψος καὶ βάσιν ἴσ ἴσην τῆ ἐπιφανείαι τοῦ σχήματος· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ κῶνος τ τοῖς εἰρημένοις κώ νοις. οἱ δὲ εἰρημένοι κῶνοι ἐ δείχθησαν ἴσοι τῶι σχήματι καὶ τῶι ΑΕΓ κώνωι· καὶ ὁ Κ ἄρα κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶ τε σχήματι καὶ τῶι ΑΕΓ κώνωι. ἐκ δὴ τοῦτο φανερὸν ὅτι ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσ ἴσος ἐστὶ τῆι ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήμα τος ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμέ νη τοῦ κύκλου, ὅς ἐστὶν βάσις τοῦ τμήμα τμήματος , ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τ τῆς σφαίρας, μείζων ἐστὶ τοῦ ἐγγεγραμμέ νου σχήματος σὺν τῶι κώνωι· ὁ γὰρ προειρημένος κῶνος μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τοῦ ἴσου τῶι σχήματι σὺν τῶι κώνωι το τοῦ βάσιν μὲν ἔχον τὸς τὴν βάσιν τοῦ τμήματος, τὴν δὲ κορυφὴν πρὸς τῶι κέντρωι, ττ τουτέστι τὴν βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῆι ἐ πιφανείαι τοῦ σχήματος, τὸ δὲ ὕ ψος τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ μία μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου καθέτωι ἠγμένηι· ἥ τε γὰρ βάσις τῆς βάσε ως μείζων ἐστὶ · δέδεικται γὰρ τοῦτο καὶ τὸ ὕψος τοῦ ὕψους.

Figure 1 of corollary 1.38-1 ΛΖ Ἔστω σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῆι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἔλασσ ἔλασσον ἡμικυκλίου, ὃ ἀποτέμνει ἡ ΑΒ, καὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Δ ἐπὶ τὰ ΑΒ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΔΒ, καὶ περὶ τὸν γεννηθέντα τομέα περιγεγράφθω πολύγων πολύγωνον καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος· ἕξει δὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ ΑΒΓ κύκλωι. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΕΚ περιενεχθὲ περιενεχθὲν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀ ποκατασταθῆ, ὁ περιγεγραμ μένος κύκλος κατὰ ἐπιφανείας οἰσθήσεται σφαῖρα, καὶ αἱ γωνίαι τοῦ πολυγώνου κύκλου γράψουσιν, ὧν αἱ μετροι διάμετροι ἐπιζευγνύουσι τὰς γωνίας τοῦ πολυγώνου οὖσαι πα ράλληλοι τῆι ΑΒ, τὰ δὲ σημεῖα, κα θ’ ἃ ἅπτοντ ἅπτονται τοῦ ἐλάσσονος κύκλου αἱ τοῦ πολυγώνου πλευραί, κύκλους γράφουσιν ἐν τῆι ἐλάσσονι σφαίρ σφαίραι , ὧν διάμετροι ἔσοντ ἔσονται αἱ ἐπιζευγνύ ουσαι τὰς ἁφὰς παράλληλοι οὖσ οὖσαι τῆι ΑΒ, αἱ δὲ πλευραὶ κατὰ κωνικ κωνικῶν ἐπιφανειῶν οἰσθήσονται, καὶ ἔσται τὸ περιγραφὲν σχῆμα ὑπὸ κωνι κῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενον, βάσις ὁ περὶ τὴν ΖΗ κύκλος· ἡ δὲ τοῦ εἰρημένου σχήματος ἐπιφά νεια μείζων ἐστὶ τῆς τοῦ ἐλάσσονος τμήματος ἐπιφανείας, οὗ βάσις οἱ περὶ τὴν ΑΒ κύκλοι. ἤχθωσαν γὰρ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΜ ΒΝ· κατὰ κω νικῆς ἄρα ἐπιφανείας οἰσθήσονται, καὶ τὸ σχῆμα τὸ γεννηθὲν ὑπὸ τ τοῦ πολυγώνου τοῦ ΑΜ ΘΕ ΝΒ μείζονα ἕξει τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματ τμήματος τῆς σφαίρας, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος· πέρας γὰρ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδωι τὸ αὐτὸ ἔχ ἔχου σι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύ κλον, καὶ περιλαμβάνεται τὸ τμῆ μα ὑπὸ τοῦ σχήματος. ἀλλ’ ἡ γεγενη μένη ὑπὸ τῶν ΖΜ ΗΝ ἐπιφάνεια κώνου μείζων ἐστὶ τῆς γεγενημένης ὑπὸ τῶν ΜΑ ΝΒ· ἡ μὲν γὰρ ΖΜ τ τῆς ΜΑ μείζων ἐστί , ὑπὸ γὰρ ὀρθὴν ὑποτείνει, ἡ δὲ ΝΗ τῆς ΝΒ, ὅταν δὲ τοῦτο ἦ, μείζων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας· ταῦτα γὰρ δέδεικται ἐν τοῖς λήμμασιν. δῆλον οὖν ὅτι καὶ τοῦ περιγεγραμμέ νου σχήματος ἡ ἐπιφάνεια μείζ μείζων ἐστὶ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας τῆς ἐλάσσονος σφαίρας. καὶ φα νερὸν ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἐγγεγραμ μένου σχήματος τοῦ περὶ τὸν τομέ α ἴση ἐστὶ κύκλωι, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ πολυγώνου καὶ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν πασῶν τ τὰς γωνίας τοῦ πολυγωνίου καὶ ἐπὶ τ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ εἰρη μένου πολυγωνίου γεγραμμένον σχῆμα ἐγγεγραμμένον ἐστὶν εἰς τὸ τμῆ μα τῆς μείζονος σφαίρας, τοῦ το δὲ δῆλον διὰ τὸ προγεγραμμένον.

Figure 1 of corollary 1 of proposition 1.39. ΛΗ Τοῦ περιγεγραμμένου σχήμα τος τῶι τομεῖ ἡ ἐπιφάνεια μεί ζων ἐστὶν κύκλου, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέν τρου ἴση ἐστὶ τῆι ἀπὸ τῆς κορυφ κορυφῆς τοῦ τμήματος ἠγμένη ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βά σις τοῦ τμήματος. ἔστω γὰρ σφαῖρ σφαῖρα καὶ μέγιστ μέγιστος κύκλος ἐπ’ αὐτῆς ὁ ΑΒ ΓΔ καὶ κέντρον τὸ Ε, καὶ περὶ τὸν τομέα πε ριγεγράφθω τὸ ΑΚΖ πολύγωνον, καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος περιγεγράφθω, καὶ γεγενήσθω σχῆμα, καθά καθάπερ πρότερ πρότερον , καὶ ἔστω κύκλος ὁ Ν, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου ἴσον δύναται τῶι περιεχομένωι ὑ πό τε μιᾶς πλευρᾶς τοῦ πολυγών πολυγώνου καὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν σὺν τῆι ἡμισεία τῆς ΚΛ. ἀλλὰ τὸ εἰρημέ νον χωρίον ἴσον ἐστὶ τῶι ὑπὸ τῆς ΜΘ καὶ ΖΗ, ὃ δή ἐστιν ὕψος τοῦ τμήματος τῆς μείζονος σφαίρας· τοῦτο γὰρ προδέδεικτ προδέδεικται . τοῦ ἄρα Ν κύκλου ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύνατ δύναται τῶι ὑπὸ ΜΘ ΗΖ περιεχομένωι αλλ’ ἡ μὲν ΗΖ μείζων ἐστὶ τῆς ΔΞ, ὅ ἐστιν ὕψος τοῦ ἐλάσ σονος τμήματος· ἐὰν γὰρ ἐπι ζεύξωμεν τὴν ΚΖ, ἔστ ἔσται παράλλη λος τῆι ΔΑ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῆι ΚΛ πα ράλληλος, καὶ κοινὴ ἡ ΖΕ· ὅμοιον ἄρα τὸ ΖΚΗ τρίγωνον τῶι ΔΑΞ τριγώ νωι. καί ἐστιν μείζων ἡ ΖΚ τῆς ΑΔ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΔΞ, ἴση δὲ ἡ ΜΘ τῆι μέτρωι διαμέτρωι τῆι ΓΔ· ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῆι ἡ ΕΟ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΜΟ τῆι ΟΖ, ἡ δὲ ΘΕ τῆι ΕΖ, παράλλη λος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΟ τῆι ΜΘ· διπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΘ τῆι ΕΟ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΔ διπλα σία ἐστὶν τῆς ΕΟ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΘ τῆι ΓΜ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΔ ΔΞ ἴσον τῶι ἀπὸ τῆς ΑΔ· ἡ ἄρα τοῦ σχήματος τοῦ ΚΖΛ ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ κύ κλου, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἐ πὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένη τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος, τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ· ὁ γὰρ Ν κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ περιγε γραμμένου περὶ τὸν τομέα σχήμα τος. Γίνεται δὴ καὶ τὸ περιγεγραμμέν περιγεγραμμένον σχῆμα περὶ τὸν τομέα σὺν τῶι κώνωι, οὗ βάσις ὁ περὶ μετρο διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ κέν τρον, ἴσος κώνωι, οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ σχήματ σχήματος , ὕψος δὲ τῆι ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τ τὴν πλευρὰν καθέτωι ἠγμένη ἣ δὴ ἴση ἐστὶ τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρ σφαίρας · τὸ γὰρ περιγεγραμμένον σχῆμα τῶι τομεῖ ἐγγεγραμμένον ἐστὶν εἰς τὸ τμῆ μα τῆς μείζονος σφαίρας, ἧς κέντρον ἐστὶ τὸ αὐτό· δῆλον οὖν τὸ λε γόμενόν ἐστιν ἐκ τοῦ προγεγραμμέν προγεγραμμένου . ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι τὸ περι γεγραμμένον σχῆμα σὺν τῶι κώ νωι μεῖζόν ἐστι κώνου τοῦ βάσιν μ μὲν ἔχοντος τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ἀπὸ τῆς κορυ φῆς τοῦ τμήματος τῆς ἐλάσ σονος σφαίρας ἐπὶ τὴν περιφέ ρειαν ἠγμένη τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βά σις τοῦ τμήματος, ὕψος δὲ τῆι ἐκ τοῦ κέντρου· ὁ γὰρ ἴσος κῶνος τ τῶ σχήματι σὺν τῶι κώνωι τ τὴν μ μὲν βά σιν μείζονα ἕξει τοῦ εἰρημέν εἰρημένου κύκλου, τὸ δὲ ὕψος ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρ σφαίρας . ἔστω πάλιν σφαῖρα καὶ ἐν αὐ τῆι μέγιστος κύκλος καὶ τμῆμα ἔλασσον ἡμικυκλίου τὸ ΑΒΓ καὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ εἰς τὸν ΑΒΓ τομέα ἐγγεγράφθω πολύγωνον ἀρτιό γωνον, καὶ τούτου ὅμοιον περι γεγράφθω, καὶ παράλληλοι ἔστω σαν αἱ πλευραὶ τς ταῖς πλευραῖς, καὶ κύκλος περιγεγράφθω περὶ τὸ περιγεγραμμένον πολύγω νον, καὶ ὁμοίως τοῖς πρότερον μενούσης τῆς ΗΒ περιενε χθέντες οἱ κύκλοι ποιήτωσαν σχήματα ὑπὸ κωνικῶν ἐπιφα νειῶν περιεχόμενα· δεικτέον ὅτι ἡ τοῦ περιγεγραμμένου σχή ματος ἐπιφάνεια πρὸς τ τὴν τοῦ ἐγγεγραμ μένου σχήματος ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἡ πλευρὰ ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πολυ γώνου πρὸς τ τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμ μένου πολυγώνου, τὸ δὲ σχῆμα σὺν τῶι κώνωι τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ. ἔστω γὰρ ὁ Μ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσ ἴσον δύναται τῶι ὑπό τε μιᾶς πλευ ρᾶς τοῦ περιγεγραμμένον πο λύγωνον καὶ πασῶν τῶν ἐπι ζευγνυουσῶν τὰς γωνίας καὶ ἔτι τῆς ἡμισείας τῆς ΕΖ· ἔσται δὴ ὁ Μ κύκλος ἴσος τῆι ἐπιφανείαι τοῦ περιγεγραμμένου σχήματ σχήματος . εἰλήφθω δὴ καὶ ὁ Ν κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσον δύνατ δύναται τῶι περιεχομένωι ὑπό τε μιᾶς πλευ ρᾶς τοῦ ἐγγεγραμμένου πολυγώ νου καὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυ ουσῶν τὰς γωνίας σὺν τῆι ἡμι σείαι τῆς ΑΓ· ἔστ ἔσται δὴ καὶ οὗτος ἴσ ἴσος τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ἐγγεγραμμέ νου σχήματος. ἀλλὰ τὰ εἰρημέ να χωρία ἐστὶ πρὸς ἄλληλα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ πλευρᾶς καὶ ὡς π παρὰ τὸ πολύγων πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον, ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν Ν κύκλον · φανερὸν οὖν ὅτι καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου σχήμα σχήματος διπλασίονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, τὸν δὲ αὐτόν, ὃν καὶ τὸ πολύγωνον. ἔστω πάλιν κῶνος ὁ Ξ βάσιν μὲν ἔχων τῶι Μ ἴσην, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐ λάσσονος σφαίρας· ἴσος δὴ οὗ τός ἐστιν ὁ κῶνος τῶι περιγεγραμ μένωι σχήματι σὺν τῶι κώνωι, οὗ βάσις ὁ περὶ τὴν ΕΖ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Δ. καὶ ἔστω ἄλλ ἄλλος κῶνος ὁ Ο βάσιν μὲν ἴσην ἔχων τῶι Ν, ὕψος δὲ τὴν ἀπὸ τ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον ἠγμένην· ἔστ ἔσται δὴ καὶ οὗ τος ἴσος τῶι ἐγγεγραμμένωι σχή ματι σὺν τῶι κώνωι, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Δ κέντρον· ταῦτα γὰρ πάντα προγέγραπτ προγέγραπται . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Δ ἐπὶ τ τὴν ΑΛ κάθετον ἠγμένην, ἐδείχθη δὲ, ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τ τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τ τοῦ Μ κύκλου καὶ ἡ μετρος διάμετρος πρὸς τ τὴν μετρον διάμετρον · ἔσται ἄρα ὡς ἡ μετρος διάμετρος τοῦ κύκλου, ὅ ὅς ἐστι βάσις τοῦ Ξ, πρὸς τ τὴν μετρον διάμετρον τ τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τοῦ Ο, οὕτως τὸ ὕψος τ τοῦ Ξ κώνου πρὸς τὸ ὕψος τὸ Ο κώνου ὅμοιοι· ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι. ὁ Ξ ἄρα κῶνος πρὸς τὸν Ο κῶ νον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ ἡ μετρος διάμετρος πρ πρὸς τὴν διάμετρον· φα νερὸν οὖν ὅτι καὶ τὸ σχῆμα τὸ περι γεγραμμένον σὺν τῶι κώνωι πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον σὺν τῶι κώ νωι τριπλασίονα λόγο λόγον ἔχει ἤ ἤπερ ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ. Μ Παντὸς τμήματος σφαίρας ἐλάσ σονος ἡμισφαιρίου ἡ ἐπιφά νεια ἴση ἐστὶ κύκλωι, οὗ ἡ ἐκ τοῦ

Figure 1.41.1. κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ἀπὸ τῆς κορυ φῆς τοῦ τμήματος ἐπὶ τὴν περι φέρειαν ἠγμένη τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος τῆς σφαίρ σφαίρας . ἔστω σφαῖρα καὶ μέγιστος ἐν αὐτῆι κύ κλος ὁ ΑΒΓ καὶ τμῆμα ἐν αὐτῆι ἐλάσσων ἡμισφαιρίου, οὗ βάσις ὁ περὶ τὴν ΑΓ κύκλος πρὸς ὀρθὰς ὢν τῶι ΑΒΓ κύκλωι, καὶ εἰλήφθω κύ κλος ὁ Ζ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῶι ΑΒ· εἰ δὴ δεῖξαι ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἴση ἐστὶ τῶι Ζ κύκλωι. εἰ γὰρ μή, ἔστω μείζων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ Ζ κύκλου, καὶ εἰ λήφθω τὸ Δ κέντρον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰ ΑΓ ἐπιζευχθεῖσαι ἐκ βεβλήσθωσαν· καὶ δύο μεγεθῶν ἀνίσων ὄντων, τῆς τε ἐπιφανείας τοῦ τμήματος καὶ τ τοῦ Ζ κύκλου, ἐγ γεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓ τομέα πο λύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιο γώνιον, καὶ ἄλλο τούτωι ὅμοιον περιγεγράφθω, ὥστε τὸ περιγε γραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἤ ἤπερ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας πρ πρὸς τὸν Ζ κύκλον, περιε νεχθέντος δὲ τοῦ κύκλου, ὡς καὶ πρό τερον, ἔστ ἔσται δύο σχήματα ὑπὸ κωνι κῶν ἐπιφανειῶν περιεχόμενα, ὧν τὸ μὲν περιγεγραμμένον καὶ ἡ τοῦ περιγεγραμμένου σχήμα τος ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ ἐγγε γραμμένου ἔστ ἔσται , ὡς τὸ περιγε γραμμένον πολύγωνονον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον· ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων διπλάσιός ἐστι τοῦ, ὃν ἔχει ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πο λυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμ μένου πλευράν. ἀλλὰ τὸ περιγεγραμ μένον πολύγωνον πρὸς τὸ ἐγγεγραμ μένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤ ἤπερ ἡ τοῦ εἰρημένου τμήματος ἐ πιφάνεια πρὸς τὸν Ζ κύκλον, μεί ζων δέ ἐστιν ἡ τοῦ περιγεγραμμέν περιγεγραμμένου σχήματος ἐπιφάνεια τῆς ἐπι φανείας τοῦ τμήματος· καὶ ἡ τ τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐ πιφάνεια ἄρα μείζων ἐστὶν τοῦ Ζ κύ κλου· ὅ ὅπερ ἀδύν ἀδύνατον · δέδεικται γὰρ ἡ εἰρη μένη τοῦ σχήματος ἐπιφάνεια ἐλάσσων οὖσα τοῦ τηλικούτου κύκλου. ἔστω πάλιν ὁ κύκλος μείζων τῆς ἐπιφανείας, καὶ περι γεγράφθω καὶ ἐγγεγράφθω ὅ μοια πολύγωνα, καὶ τὸ περιγε γραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμέν ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω τοῦ, ὃν ἔ χει ὁ κύκλος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ σχήματος. οὐκ ἄρα μείζων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ Ζ κύκλου. ἐδείχθη δὲ ὡς οὐδὲ ἐλάσσων· ἴση ἄρα .

Figure 1.42.1. Καὶ ἐὰν μεῖζον ἡμισφαιρίου ἦ τμῆ μα, ὁμοίως αὐτοῦ ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλωι, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου ἴση ἔσται τῆι ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἠγμένη τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματ τμήματος . ἔστω γὰρ σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῆι μέγισ τ τος κύκλος , καὶ νοείσθω τετμημένη ἐπιπέ δωι ὀρθῶ τῶι κατὰ τὴν ΑΔ, καὶ τὸ ΑΒΔ ἔλασσον ἔστω ἡμισφαιρίου, καὶ διάμετρος ἡ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς τῆι ΑΔ, καὶ ἀπὸ τῶν ΒΓ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύ χθωσαν αἱ ΒΑ ΑΓ, καὶ ἔστω ὁ μὲν Ε κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ΑΒΓ, ὁ δὲ Ζ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ΑΒΓ, ὁ δὲ Η κύκλ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ΒΓ· καὶ ὁ Η κύκλος ἄρα ἴσ ἴσος ἐστὶ τ τοῖς δυσὶ κύκλοις τοῖς ΕΖ. ὁ δὲ Η κύκλος ἴσος ἐστὶν ὅληι τῆι ἐπιφανείαι τῆς σφαίρας, ἐπειδήπερ ἑκατέρα τετραπλα σία ἐστὶ τοῦ περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΓ κύκλου, ὁ δὲ Ε κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΑΒΔ τμήματος· δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐπὶ τοῦ ἐλάσσονος ἔστω σφαῖρα καὶ ἐν αὐτῆι μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΔ καὶ κέντρον τὸ Γ καὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὴν κύ κλον τὸν ἴσον τῆι κατὰ τὴν ΑΒΔ περιφέρειαν ἐπιφανείαι, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ΒΓ· δεικτέον ὅτι ὁ τομεὺς ὁ ΑΒΓΔ ἴσος ἐστὶ τῶι εἰρημένωι κώνωι. εἰ γὰρ μή, ἔστω μείζων ὁ τομεὺς τοῦ κώ νου, καὶ κείσθω ὁ Θ κῶνος, οἷος εἴρη ται· δύο δὴ μεγεθῶν ἀνίσων ὄντω ὄντων , τοῦ τομέως καὶ τοῦ Θ κώνου, εὑρήσ θωσαν δύο γραμμαὶ αἱ ΔΕ, μείζων δὲ ἡ Δ τῆς Ε, καὶ ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἡ Δ πρὸς Ε ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶ νον, καὶ εἰλήφθωσαν δύο γραμμ γραμμαὶ αἱ ΖΗ, ὅπως τῶι ἴσω ὑπερέχει ἡ Δ τῆς Ζ καὶ ἡ Ζ τῆς Η καὶ ἡ Η τῆς Ε, καὶ περὶ τὸν ἐπίπεδον τομέα τοῦ κύκλου περιγεγράφθω πολύγων πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιογώνιον, καὶ τούτωι ὅμοιον ἐγγεγράφθω, ὅπως ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πλευρὰ ἐλάσσονα λόγον ἔχη πρὸς τὴν τοῦ ἐγ σχῆμα τοῦ τῆς Δ πρὸς Ζ. ἡ δὲ Δ πρὸς Ε μεί ζονα λόγον ἔχει ἢ τριπλάσιον τ τοῦ τῆς Δ πρὸς Ζ· τὸ ἄρα περιγεγραμμένον σχῆμα στερεὸν τῶι τομεῖ πρὸς τὸ ἐγγεγραμμέ νον σχῆμα ἐλάσσονα λογο ει ἡ Δ πρὸς Ε. ἡ δὲ Δ πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ στερεὸς τομεὺς πρὸς τὸν Θ κῶ νον· ἢ τὸ περιγεγραμμένον τῶι το μεῖ σχῆμα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον. καὶ ἐναλλάξ· μεῖζον δέ ἐστι τὸ περιγε γραμμένον στερεὸν σχῆμα τοῦ τμή ματος· καὶ τὸ ἐγγεγραμμένον ἄρα σχ σχῆμα ἐν τῶι το τομεῖ μεῖζόν ἐστι τοῦ Θ κώνου· ὅ ὅπερ ἀδύνατον· δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς ἄνω ἔλασσον ὂν τοῦ τηλικού του κώνου, τουτ τουτέστι τοῦ ἔχοντος βάσιν μὲν κύκλ κύκλον , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἐπὶ τὴν περιφέρεια περιφέρειαν ἐπεζευγμένη εὐθείαι τοῦ κύκλου, ὅς ἐστιν βάσις τοῦ τμήματος, ὕψος δὲ γεγραμμένον περὶ τὸν ἐπίπεδο ἐπίπεδον τομέα πολυγώνου ἀρτιογωνίου ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμέ νου ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω τοῦ, ὃν ἔ χει ἡ Δ πρὸς Ζ, καὶ γεγενήσθω τὸ περὶ τὸν στερεὸν τομέα στερεὰ σχήμα σχήματα · ὁμοίως οὖν δείξομεν ὅτι τὸ περιγε γραμμένον περὶ τὸν τομέα στε ρεὸν σχῆμα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ἡ Δ πρὸς Ε καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ὁ Θ κῶνος πρὸς τὸν τομέα, ὥστε καὶ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον ἐλάσσονα λόγο λόγον ἔχει ἤ ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον στερεὸν ἐν τ τῶι τμήματι πρὸς τὸ περιγε γραμμένον. μείζων δέ ἐστιν ὁ το μεὺς τοῦ ἐγγεγραμμένου εἰς αὐ τὸν σχήματος· μείζων ἄρα ὁ Θ κῶ νος τοῦ περιγεγραμμένου σχη

Β Ἀρχιμήδης Δοσιθέωι χαίρ χαίρειν . πρότερον μὲν ἐπέστειλάς μοι γράψαι τῶν προβλημάτων τὰς ἀποδείξ ἀποδείξεις , ὅν αὐτὸς τὰς προτάσ προτάσεις ἀπέστειλα Κόνωνι· συμβνει συμβαίνει δὲ αὐτῶν τὰ πλεῖστα γράφεσθαι διὰ τῶν θεωρημάτων, ὧν πρότερ πρότερον ἀπέστειλά σοι τὰς ἀποδείξεις, ὅτι τε πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφά νεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίσ του κύκλου τῶν ἐν τῆι σφαίραι, καὶ δι διότι παντὸς τμήματος σφαί ρας τῆι ἐπιφανείαι ἴσος ἐστὶ κύ κλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι εὐθείαι τῆι ἀπὸ τῆς κορυ φῆς τοῦ τμήματος ἐπὶ τὴν πε ριφέρειαν τῆς βάσεως ἀγομέ νη, καὶ δι διότι πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν μέγιστον κύκλον τὸν ἐν τῆι σφαίφαι, ὕψος δὲ ἴσον τῆι μέ διαμέ τρωι τῆς σφαίρας, αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστι τῶι μεγέθει τ τῆς σφαί ρας καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἡ μιολία τῆς ἐπιφανείας τ τῆς σφαίρας, καὶ δι διότι πᾶς τομεὺς στερεὸς ἴσος ἐστὶ κώνωι τῶι βά σιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον τὸν ἴσον τῆι ἐπιφανείαι τοῦ τμή ματος τῆς σφαίρας τοῦ ἐν τ τῶ τομεῖ, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέ κέν τρου τῆς σφαίρας. ὅσα μὲν οὖν τῶν θεωρημάτων καὶ προβλη μάτων γράφεται διὰ τούτων τῶν θεωρη μάτων, ἐν τῶδε τῶι βιβλίωι γρά ψας ἀπέσταλκά σοι, ὅσα δὲ δι’ ἄλλ ἄλλης εὑρίσκονται θεωρίας, τῶ τε περὶ ἑλίκων καὶ τῶ περὶ τῶν κωνο ειδῶν, πειράσομαι διὰ τάχους ἀποστεῖλαι. τὸ δὲ πρῶτον ἦν τῶν προβλημάτων τόδε· σφαίρας δοθείσης ἐπίπεδον χωρίον εὑ ρεῖν ἴσον τῆι ἐπιφανείαι τῆς σφ σφαί ρας. ἔστι δὲ τοῦτο φανερὸν δεδειγ μένον ἐκ τῶν προειρημένων θε ωρημάτων· τὸ γὰρ τετραπλάσι τετραπλάσιον τ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῆι σφ σφαί ραι ἐπίπεδόν τε χωρίον ἐστὶ καὶ ἴ σον τῆι ἐπιφανείαι τῆς σφαίρ σφαίρας . Α τὸ δεύτερον ἦν· Κώνου δοθέντ δοθέντος ἢ κυλίνδρου σφαῖραν εὑρεῖν τῶι κώνωι ἢ τῶι κυλίνδρωι ἴσην. ἔστ ἔστω διδόμενος κῶνος ἢ κύλινδρος ὁ Α καὶ τῶι Α ἴση ἡ Β σφαῖρα, καὶ κείσθω τοῦ Α κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος ὁ ΓΖΔ, τῆς δὲ Β σφαίρας ἡμιόλιος κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΗΘ κύ κλος, ἄξων δὲ ὁ ΚΛ ἴσος τῆι δια μέτρωι τῆς Β σφαίρας· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε κύλινρδος τῶι Κ κυλίνδρωι, τῶν δὲ ἴσων κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασι ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν· ὡς ἄρα ὁ Ε κύκλ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλο κύκλον , τουτ τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς ΕΖ. ἴση δὲ ἡ ΚΛ τῆι ΗΘ· ὁ γὰρ ἡμιόλιος κύλινδρος τῆς σφαίρας ἴσον ἔχει τὸν ἄξονα τῆι μέτρωι διαμέτρωι τῆς σφαί ρας, καὶ ὁ Κ κύκλος μέγιστ μέγιστός ἐστι τῶν ἐν τῆι σφαίραι· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔστω τῶ ἀπὸ ΗΘ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΔ ΜΝ· ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΜΝ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ, τουτ τουτέστιν ἡ ΗΘ πρὸς ΕΖ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τ τὴν ΜΝ καὶ ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΕΖ. καί ἐστιν δοθεῖσα ἑκατέρα τῶν ΓΔ ΕΖ· δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΓΔ ΕΖ δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΗΘ ΜΝ· δοθεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῆς ΗΘ ΜΝ. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς κῶνος ἢ κύλινδρο κύλινδρος ὁ Α· δεῖ δὴ τῶι Α κώνωι ἢ κυλίνδρ κυλίνδρω ἴσην σφαῖραν εὑρεῖν. ἔστω τοῦ Α κώ νου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΓΔ κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΕΖ, καὶ εἰλήφθω τ τῶν ΓΔ ΕΖ δύο μέσαι ἀνάλογον αἱ ΗΘ ΜΝ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΔ πρὸς τὴν ΗΘ, τὴν ΗΘ πρὸς τὴν ΜΝ καὶ τὴν ΜΝ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ νο είσθω κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ περὶ διά μετρον τὴν ΗΘ κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ΚΛ ἴσος τῆι ΗΘ μέτρωι διαμέτρωι · λέγω δὴ ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ε κύλινδρος τῶι Κ κυλίν δρωι. καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΗΘ, ἡ ΜΝ πρὸς ΕΖ, καὶ ἐναλλάξ, καὶ ἴση ἡ ΗΘ τῆι ΚΛ, ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΜΝ, τουτ τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ, οὕτως ὁ Ε κύκλος πρὸς τὸν Κ κύ κλον, ὡς ἄρα ὁ Ε κύκλ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τ τὴν ΒΖ· τῶν ἄρα ΕΚ κυλίνδρων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψε σιν· ἴσος ἄρα ὁ Ε κύλινδρος τῶι Κ κυ λίνδρωι. ὁ δὲ Κ κύλινδρος τῆς σφ σφαί ρας, ἧς μετρος διάμετρος ἡ ΗΘ, ἡμιόλιός ἐστιν · καὶ ἡ σφαῖρα ἄρα , ἧς μετρος διάμετρος ἴση ἐστὶ τῆι ΗΘ, τουτ τουτέστιν ἡ Β, ἴση ἐστὶ τῶι Α κών κώνω ἢ κυλίνδρωι.

Figure 2.1.1. Β Παντὶ τμήματι τῆς σφαίρας ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὴν αὐτὴ αὐτὴν τῶι τμήματι, ὕψος δὲ εὐθεῖαν, ἥτις πρὸς τὸ ὕψος τοῦ τμήματος τὸν αὐ τὸν λόγον ἔχει, ὃν συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆ τῆς σφαίρας καὶ τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος πρὸς τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος. ἔστω σφαῖρα, ἐν ᾗ μέγιστος κύκλος, οὗ μετρος διάμετρος ἡ ΑΓ, καὶ τετμήσθω ἐ πιπέδωι ἡ σφαῖρα τῶι διὰ τῶν ΒΖ πρὸς ὀρθὰς τῆι ΑΓ, καὶ ἔστω κέντρον τῶι Θ, καὶ πεποιήσθω, ὡς συναμ φότερος ἡ ΘΑ ΑΕ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΓΕ, καὶ πάλιν πεποιήσθω, ὡς συναμφότερος ἡ ΘΓ ΓΕ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἡ ΚΕ πρὸς ΕΑ, καὶ ἀναγεγράφθωσαν κῶνοι ἀπὸ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ με διάμε τρον τὴν ΒΖ κορυφὰς ἔχοντες τὰ ΚΔ σημεῖα· λέγω ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ μ μὲν ΒΔΖ κῶνος τῶι κατὰ τὸ Γ τμή ματι τῆς σφαίρας, ὁ δὲ ΒΚΖ τῶι κατὰ τὸ Α σημείωι. ἐπεζεύχθω σαν γὰρ αἱ ΒΘ ΘΖ, καὶ νοείσθω κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ μετρο διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἔστω κῶνος ὁ Μ βάσι βάσιν ἔχων κύκλον ἴσον τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΒΓΖ τμήματος τῆς σφαίρας, τουτ τουτέστιν οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ΒΓ, ὕψος δὲ ἴσον τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας· ἔσται δὴ ὁ Μ κῶνος ἴσος τῶι ΒΓ ΘΖ στερεῶι τομεῖ· τοῦ το γὰρ δέδεικται ἐν τῶι πρώτωι βιβλί ωι. ἐπεὶ δέ ἐστιν , ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως συναμ φότερος ἡ ΘΑ ΑΕ πρὸς ΑΕ, διελόντι ἔστ ἔσται , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ, τουτ τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΑΕ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ ἐστίν , οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ, καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΘΔ πρὸς ΘΓ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, τουτ τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ· ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς ΓΘ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΓΒ τῆι ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ κύκλου, ἡ δὲ ΒΕ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ περὶ μετρον διάμετρον τὴ τὴν ΒΖ κύκλου· ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς ΘΓ, ὁ Μ κύκλ κύκλος πρὸς τὸν περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον. καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΓ τῶι ἄξονι τοῦ Μ κώ νου· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς τὸν ἄξονα τοῦ Μ κώνου, οὕτως ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλ κύκλον · ἴσος ἄρα ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν Μ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τῆς σφαίρας, τῶι ΒΔ ΖΘ στερε ῶι ῥόμβωι· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς λείμμα σι τοῦ πρώτου βιβλίου δέδεικται. ἢ οὕτως· ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΔΘ πρὸς τὸ ὕψ ὕψος τ τοῦ Μ κώνου, οὕτως ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Μ κῶνος τῶι κώνωι, οὗ βάσις μ μὲν ὁ περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, ὕψος δὲ ἡ ΔΘ· ἀντιπεπόνθασι γὰρ αὐ τῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν. ἀλλ’ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν πε ρὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΔΘ, ἴσος ἐστὶ τῶι ΒΔ ΖΘ στερεῶι ῥόμβωι. ἀλλ’ ὁ Μ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι ΒΓ ΖΘ στερεῶι τομεῖ· καὶ ὁ ΒΓ ΖΘ στε ρεὸς τομεὺς ἄρα ἴσος ἐστὶ τῶι ΒΔ ΖΘ στε ρεῶι ῥόμβωι. κοινοῦ ἀφαιρεθέντ ἀφαιρεθέντος τοῦ κώνου, οὗ βάσις μ μέν ἐστιν ὁ περὶ με διάμε τρον τὴν ΒΖ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΕΘ, λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΔΖ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι ΒΖΓ τμήματι τῆς σφαίρας. ὁμοί ως δὲ δειχθήσεται καὶ ὁ ΒΓΖ κῶνος ἴσος τῶι ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρ σφαίρας . ἐπεὶ γάρ ἐστιν , ὡς συναμφότερος ἡ ΘΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἡ ΚΕ πρὸς ΕΑ, διελόντι ἄρα , ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΘΓ πρὸς ΓΕ. ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῆι ΘΑ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν , ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ· ὥστε καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, τουτ τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΑ πρ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. κείσθω δὴ πάλιν κύκλος ὁ Ν ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆι ἐπιφανείαι τοῦ ΒΑΖ τμήματος. καὶ νοείσθω ὁ κῶνος ὁ Ν ἴσον ἔχων τὸ ὕψος τῆ ἐκ τοῦ κέν τρου τῆς σφαίρας· ἴσος ἄρα ἐστὶ τῶ ΒΘ ΖΑ στερεῶ τομεῖ· τοῦτο γὰρ ἐν τῶι πρώ τωι δέδεικτ δέδεικται . καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ, τ του τ τέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ μετρον διάμετρον τ τὴν ΒΖ κύκλου, τουτ τουτέστιν ὁ Ν κύκλος πρὸς τὸν περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, ἴση δὲ ἡ ΑΘ τῶι ὕψει τοῦ Ν κώνου, ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς τὸ ὕψος τοῦ Ν κώνου, οὕτως ὁ Ν κύκλος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ν κῶνος, τουτ τουτέστιν ὁ ΒΘ ΖΑ τομεύς, τῶι ΒΘ ΖΚ σχήματι. κοινὸς κείσθω προσκείσθω ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὴν ΒΖ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΕΘ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶν τῶι ΒΖ κώνω· ὅ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. καὶ φανε ρὸν ὅτι γίγνεται καθόλου τμῆμα σφαίρ σφαίρας πρὸς κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτὴν τῶι τμήματι καὶ ὕψ ὕψος ἴσον, ὡς συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ἡ κάθετος τοῦ λοιποῦ τμήματος· ὡς γὰρ ἡ ΔΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ὁ ΔΖΒ κῶνος, τουτ τουτέστι τὸ ΒΓΖ τμῆμα, πρὸς τὸν ΒΓΖ κῶνον.

Figure 1 to corollary 2.2-1. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων, ὅτι καὶ ὁ ΚΒΖ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι ΒΑΖ τμήμα τι τῆς σφαίρας. ἔστω γὰρ ὁ Ν κῶνος βάσιν μὲν ἔχων τὴν ἴσην τῆι ἐπιφα νείαι τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τ τοῦ κέντρο κέντρου τ τῆς σφαίρας· ἴσ ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ κῶνος τῆς σφαίρας· ἡ γὰρ σφαῖρα δέδεικτ δέδεικται τετρα πλασία τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον καὶ ὕψ ὕψος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Ν κῶνος τοῦ αὐτοῦ ἐστι τετραπλάσιος, ἐπεὶ καὶ ἡ βάσις τῆς βάσεως καὶ ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας τοῦ με γίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῆι. καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑ ΑΕ πρὸς ΑΕ, ἡ ΔΕ πρὸς ΕΓ, διελόντι καὶ ἐναλάξ, ὡς ἡ ΘΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΑ, συναμφότερος ἡ ΘΓΕ πρὸς ΓΕ, διελόντι καὶ ἐναλάξ, ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΓΘ, τουτ τουτέστι πρὸς ΘΑ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τουτ τουτέστιν ἡ ΘΓ ~~πρὸς~~ πρὸς ΓΔ. καὶ συνθέντι· ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ τῆ ΘΓ· ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ ΘΔ πρὸς ΔΓ, καὶ ὅλη ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ ἐστίν , ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΔΓ, τουτ τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΚ ΘΑ τῶι ὑπὸ τῶν ΔΘΚ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ ΘΔ πρὸς ΓΔ, ἐναλλάξ· ὡς δὲ ἡ ΘΓ πρὸς ΓΔ, ἐδείχθη ἡ ΔΕ πρὸς ΕΓ· ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΔ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΘΔ, τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶ τῶν ΑΕΓ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΚΘΔ ἴσον ἐδείχθη τῶι ὑπὸ ΚΔ ΑΘ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΚΔ ΑΘ, τουτ τουτέστιν ἡ ΚΔ πρὸς ΑΘ, τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑ πὸ ΑΕΓ, τουτ τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΓ τῆι ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τ τοῦ Ν κύκλου· ὡς τὸ ἀπὸ τ τῆς ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τοῦ Ν κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ, ττ τουτέστιν ὁ Ν κύκλ κύκλος πρὸς τὸν περὶ μετρον διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον , οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΑΘ , ττ τουτέστιν ἡ ΚΔ πρὸς τὸ ὕψος τ τοῦ Ν κώνου· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ν κῶνος, ττ τουτέστιν ἡ σφαῖρα, τῶι ΒΔ ΖΚ στερε ῶι ῥόμβωι· ἢ οὕτως · ἔστιν ἄρα , ὡς ὁ Ν κύκλος πρὸς τ τὸν περὶ μετρον διάμετρον τ τὴν ΒΖ κύκλον, οὕτως ἡ ΔΚ πρὸς τὸ ὕψος τ τοῦ Ν κώνου· ἴσ ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ν κῶν κῶνος τῶι κώνωι, οὗ βάσις μ μέν ἐστιν ὁ περὶ μετρ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΔΚ· ἀντι πεπόνθασι γὰρ αὐτῶν αἱ βάσ βάσεις τ τοῖς ὕψε σιν. ἀλλ’ οὕτως ὁ κῶνος ἴσ ἴσος ἐστὶ τῶι ΒΚ ΖΔ στερεῶι ῥόμβωι· καὶ ὁ Ν ἄρα κῶνος, ττ τουτέστιν ἡ σφαῖρα, ἴση ἐστὶ τῶι ΒΖ ΚΔ στερεῶι ῥόμβωι. ὧν ὁ ΒΔΖ κῶνος ἴσος ἐδείχθη τῶι ΒΓΖ τμήμαι τμήματι τῆς σφαίρας· λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΚΖ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῶι ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας. ἑξ ἑξῆς Η ΓΡΑΦΗ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ .

Figure 2 to corollary 2.2-1 Τρίτον ἦν πρόβλημα τόδε· τὴ τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδωι τε μεῖν, ὅπως αἱ τῶν τμημάτων ἐπιφάνειαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔ χωσι τὸν αὐτὸν τῶι δοθέντι. γε οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, ττ τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ δοθείς· τε ὥστε δοθέν ἐστι τὸ Γ σημεῖο σημεῖον . καί ἐστι τῆι ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΕ· θέσει ἄρα καὶ τὸ διὰ τ τῆς ΔΕ ἐπίπεδον. συντεθήσεται δὲ οὕτως · ἔστω σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλ κύκλος ὁ ΑΒΔΕ καὶ διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τ τῆς Ζ πρὸς Η, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ, τε ὥστε εἶναι , ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὴν Ζ πρὸς Η, καὶ διὰ τ τοῦ Γ ἐπιπέδω τετμήσθω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρθὰς τῆι ΑΒ εὐθείαι, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύ χθωσαν δύο κύκλοι οἱ ΘΚ, ὁ μ μὲν Θ ἴσ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τῆι ΑΔ, ὁ δὲ Κ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῆι ΔΒ· ἔστιν ἄρα ὁ μ μὲν Θ κύκλος ἴσος τῆι ἐπιφα νείαι τ τοῦ ΔΑΕ τμήματος, ὁ δὲ Κ τ τοῦ ΔΒΕ τμήματος· τοῦτο γὰρ προδέδει κτ κται ἐν τῶι πρώτωι βιβλίωι. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ καὶ κάθετος ἡ ΓΔ, ἔστιν , ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ττ τουτέστιν ἡ Ζ πρὸς Η, τὸ ἀ πὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, ττ τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τ τοῦ Θ κύκλου πρὸς τὸ ἀ πὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τ τοῦ Κ κύκλ κύκλου Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν τεμεῖν, ὥσ τε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῶι δοθέντι. ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα ἡ ΑΒ ΓΔ· δεῖ δὴ αὐτὴν τεμεῖν ἐπι πέδωι, ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφ σφαί ρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δο θέντα. τετμήσθω διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέ δωι· λόγος ἄρα τ τοῦ ΑΔΓ τμήματος τῆς σφαίρας πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα τῆς σφ σφαί ρας δοθείς. τετμήσθω δὲ ἡ σφαῖρα διὰ τ τοῦ κέντρου, καὶ ἔστω ἡ τομὴ μέγιστ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ ΓΔ, κέντρον δὲ τὸ Κ καὶ μετρ διάμετρος ἡ ΔΒ, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν συναμφότερος ἡ ΚΔΧ πρὸς ΔΧ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, ὡς δὲ συναμφότε ρος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ, οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς ΧΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΛ ΛΓ ΑΡ ΡΓ· ἴσ ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν ΑΛΓ κῶνος τῶι ΑΔΓ τμή ματι τῆς σφαίρας, ὁ δὲ ΑΡΓ τῶι Α ΒΓ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΛΓ κώνου πρὸς τὸν ΑΡΓ κῶ νον δοθείς. ὡς δὲ ὁ κῶνος πρὸς τὸν κω καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ. πάλιν, ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΛΧ πρὸς ΔΧ, συναμφότερος ἡ ΚΒ, ΒΧ πρὸς ΒΧ, διελόντι, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΧ, οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς ΒΧ. καὶ κείσθω τῆι ΚΒ ἴση ἡ ΒΖ· ὅτι γὰρ ἐκτὸς τοῦ Ρ πεσεῖται δῆ λον· καὶ ἔσται, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΧ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΒΧ· τε ὥστε καί, ὡς ἡ ΔΛ πρὸς ΛΧ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ. ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΛ πρὸς ΧΛ δοθείς, καὶ τ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς ΛΧ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπτ συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΡΛ πρὸς ΛΔ, καὶ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΧ, ἀλλ’ ὡς μὲ μὲν ἡ ΡΛ πρὸς ΛΔ, τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΧ, ὡς δὲ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΧ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ· ὁ ἄρα τ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπτ συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ΔΧ, καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ. πεποιήσθω δέ, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, ἡ ΒΖ πρὸς ΘΖ· λόγος δὲ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΖΘ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΖ· ἴση γάρ ἐστι τῆι ἐκ τοῦ κέντρου· δοθεῖ σα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ. καὶ ὁ τῆς ΒΖ ἄρα λόγ λόγος συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως · ἔστω, ὧ μὲν δεῖ ἴσον τμῆμα συστή σασθαι, τὸ ΑΒΓ, ὡς δὲ ὅμοιον, τὸ ΕΖΗ, καὶ ἔστωσαν μέγιστοι κύκλοι τῶν σφαιρῶν οἱ ΑΒΓ ΝΕ ΗΖΟ, μετροι διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΓΝ ΗΘ καὶ κέντρα τὰ ΠΣ, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν συ ναμφότερος ἡ ΠΝ ΝΤ πρὸς ΝΤ, οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς ΤΓ, ὡς δὲ συναμφότερ συναμφότερος ἡ ΣΟΦ πρὸς ΟΦ, ἡ ΩΦ πρὸς ΦΗ· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ μὲν ΧΑΒ κῶνος τῶι ΑΒΓ τμήμα τι τῆς σφαίρας, ὁ δὲ ΖΩΕ τῶ Ε ΗΖ. πεποιήσθω, ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ, οὕτ οὕτως ἡ ΧΓ πρὸς Δ, καὶ δύο δοθεισῶν εὐθει ῶν τῶν ΑΒΔ δύο μέσαι ἀνάλογον εἰλήφθωσαν αἱ ΘΚ Ϛ, ὥστε εἶν εἶναι , ὡς τὴν ΑΒ πρὸς ΘΚ, οὕτως τ τὴν ΚΘ πρὸς Ϛ καὶ τὴν Ϛ πρὸς Δ, καὶ ἐπὶ τῆς ΘΚ κύκλου τμῆ μα ἐπεστάσθω τὸ ΘΚΛ ὅμοιο ὅμοιον τῶ ΕΖΗ κύκλου τμήματι, καὶ ἀναπεπληρώσθω ὁ κύκλος, καὶ ἔστω αὐτοῦ μετρος διάμετρος ἡ ΛΞ, καὶ νο είσθω σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλ κύκλος ἐστὶν ὁ ΛΘ ΞΚ, κέντρον δὲ τὸ Ρ, καὶ διὰ τῆς ΘΚ ἐπίπεδον ὀρθὸν ἐκβε βλήσθω πρὸς τὴν ΛΞ· ἔστ ἔσται δὴ τὸ τμῆ μα τῆς σφαίρας τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶι Λ ὅμοιον τῶι ΕΗΖ τμήματι τῆς σφαίρας, ἐπειδὴ καὶ τῶν κύκλων τὰ τμήματα ἦν ὅμοια. λέγω δὲ ὅτι καὶ ἴσον ἐστὶ τῶι ΑΒΓ τμή ματι τῆς σφαίρας. πεποιήσθω, ὡς συναμφότερος ἡ ΡΞ ΞΥ πρὸς τ τὴν ΞΥ, οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ· ἴσος ἄρα ὁ ΨΘΚ κῶ νος τῶι ΘΚΛ τμήματι τ τῆς σφρ σφαίρας . καὶ ἐπειδὴ ὅμοιός ἐστιν ὁ ΨΘΚ κῶνος τῶι ΖΩΕ κώνω, ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ, του τ τέστιν ἡ ΧΤ πρὸς Δ, οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ· καὶ ἐναλ λὰξ καὶ ἀνάπαλιν· ὡς ἄρα ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς Δ. καὶ ἐπειδὴ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΘ ΚΘ Ϛ Δ, ἔστιν , ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς Δ. ὡς δὲ ἡ ΘΚ πρὸς Δ, ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΘ, τ του τ τέστιν ὁ περὶ μετρο διάμετρον τὴν ΘΚ κύκλος, οὕτως ἡ ΨΥ πρὸς τὴν ΧΤ· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΑΒ κῶ νος τῶι ΨΘΚ κώνωι· τε ὥστε καὶ τὸ ΑΓΒ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τ τῶ ΘΚΛ τμήματι τ τῆς σφαίρας. τῶι δο θέντι ἄρα τμήματι τῶι ΑΓΒ ἴσον καὶ ἄλλωι τῶι δοθέντι ὅμοιον τ τῶ ΕΖΗ τὸ αὐτὸ συνέσταται τὸ ΘΚΛ. ἑξ ἑξῆς Η ΚΓΡΑΦΗ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗ .

Figure 2.5.1 δύο δοθεισῶν σφαίρας τμημάτω τμημάτων εἴτε τῆς αὐτῆς εἴτε μὴ εὑρεῖν τμῆ μα σφαίρας, ὃ ἔσται ἑνὶ μὲν τῶν δοθέντων ὅμοιον, τὴν δὲ ἐπιφάνει ἐπιφάνειαν ἕξει ἴσην τῆι τ τοῦ ἑτέρου τμήματος ἐπιφανείαι. ἔστω τὰ δύο τμήματα τὰ σφαιρικὰ κατὰ τὰς ΑΒΓ ΔΕΖ περιφερείας, καὶ ἔστω, ὧ μὲν δεῖ ὅμοιον εὑρεῖν, τὸ κατὰ τὴν ΑΒΓ περι φέρειαν, οὗ δὲ τὴν ἐπιφάνειαν ἴσην ἔχειν τῆι ἐπιφανείαι, τὸ κατὰ τὴν ΔΕΖ. καὶ γεγενήσθω, καὶ ἔστω τὸ ΚΛΜ τῆς σφαίρας τῶι μὲν ΑΒΓ τμήμα τι ὅμοιον, τὴν δὲ ἐπιφάνειαν ἴσην ἐχέτω τῆι τοῦ ΔΕΖ τμήματος ἐπιφα νεία, καὶ νοείσθω τὰ κέντρα τῶν σφαιρῶν, καὶ δι’ αὐτῶν ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω ὀρθὰ πρὸς τὰς τῶν τμη μάτων βάσεις, καὶ ἐν μὲν τς ταῖς σφ σφαί ραις τομαὶ ἔστωσαν οἱ ΚΛΜΝΒΑ ΓΘ ΕΖ ΗΔ μέγιστοι κύκλοι, ἐν δὲ ταῖς βάσεσι τῶν τμημάτων αἱ ΚΜ ΑΓ ΔΖ εὐθεῖαι, διάμετροι δὲ τῶν σφαιρ σφαιρῶν πρὸς ὀρθὰς οὖσαι τς ταῖς ΚΜ ΑΓ ΔΖ ἔστω σαν αἱ ΛΝ ΒΘ ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθω σαν αἱ ΛΜ ΒΓ ΕΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ ΚΛΜ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τῆι τοῦ ΔΕΖ τμήμα τμήματος ἐπιφανείαι, ἴσος ἄρα ἐστὶν καὶ ὁ κύκλ κύκλος , οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ΛΜ, τῶι κύκλωι, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῆι ΕΖ· αἱ γὰρ ἐπιφάνειαι τῶν εἰρη μένων τμημάτων ἴσαι ἐδείχθη σαν κύκλοις, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέν τρων ἴσαι εἰσὶν ταῖς ἀπὸ τῶν κο ρυφῶν τῶν τμημάτων ἐπὶ τὰς βάσεις ἐπιζευγνυούσς ἐπιζευγνυούσαις · ὥστε καὶ ἡ ΜΛ τῆι ΕΖ ἴση ἐστίν . ἐπεὶ δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΛΜ τῶι ΑΒΓ τμήματι, ἔστιν , ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ, ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ· καὶ ἀνάπαλι ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΝΛ πρὸς ΛΡ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΠ. ἀλλὰ καί, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΜ, οὕτως ἡ ΒΠ πρὸς ΓΒ· ὅμοια γὰρ τὰ τρίγω να· ὡς ἄρα ἡ ΝΛ πρὸς ΛΜ, τουτ τουτέστι πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ. καὶ ἐναλλάξ· λόγος δὲ τῆς ΕΖ πρὸς ΒΓ· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΛΝ πρὸς ΒΘ. καί ἐστι δοθεῖ σα ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΝ· ὥσ τε καὶ ἡ σφαῖρα δοθεῖσά ἐστιν.

Figure 2.6.1 συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω τὰ δοθέντα δύο τμήματα σφαίρας τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, τὸ μὲν ΑΒΓ, ὧ δεῖ ὅμοι ὅμοιον , τὸ δὲ ΔΕΖ, οὗ τὴν ἐπιφάνειαν ἴση ἴσην ἔχει ἔχειν τῆι ἐπιφανείαι, καὶ τὰ αὐ τὰ κατεσκευάσθω τοῖς ἐπὶ τῆς ἀναλύσεως, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΛΝ, καὶ περὶ μετρον διάμετρον τ τὴν ΛΝ κύκλος γεγράφθω, καὶ νοείσθω σφαῖρα, ἧς μέγιστος ἔστω κύκλ κύκλος ὁ ΛΚΝΜ, καὶ τετμήσθω ἡ ΝΛ κατὰ τὸ Ρ, ὥσ τε εἶναι, ὡς τὴν ΘΠ πρὸς ΠΒ, τὴν ΝΡ πρὸς ΡΛ, καὶ διὰ τοῦ Ρ ἐπιπέδωι τετμήσ θω ἡ ἐπιφάνεια ὀρθῶ πρὸς τὴν ΑΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΜ· ὅμοια ἄρα ἐστὶν