Spiral Lines Archimedes Sponsor The Owner of the Archimedes Palimpsest Responsible for primary transcription (Dublin Core creator) Johan Ludvig Heiberg Contributor Alexander Lee Contributor Mike Toth Contributor William Noel Contributor Doug Emery Owner of the Archimedes Palimpsest 2008

Licensed for use under Creative Commons Attribution 3.0 Unported, license http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode.

It is requested that copies of any published articles based on the information in this data set be sent to The Curator of Manuscripts, The Walters Art Museum, 600 North Charles Street, Baltimore MD 21201.

 This transcription is a reconstrunction of Heiberg's reading of Archimedes' Codex C, based on the apparatus criticus in his 1910–1915 edition of Archimedes' work, with use of the Netz-Wilson transcription of Codex C. Heiberg, J. L., Archimedis Opera omnia cum commentariis Eutocii (Leipzig: Teubner, 1910–15; reprinted 1972). Archimedes, On Spiral Lines (digital transcription), edited by Reviel Netz and Nigel Wilson (2008). 10th Century Manuscript 13th Century Manuscript Archimedes Palimpsest Byzantine Manuscript Content: Against Diondas Content: Against Timandros Content: Archimedes Content: Aristotle Content: Categories Content: Hyperides Content: J. L. Heiberg Content: Method Content: On Floating Bodies Content: On Spiral Lines Content: On the Equilibrium of Planes Content: On the Measurement of the Circle Content: On the Sphere and Cylinder Content: Stomachion Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of undertext Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of columnar undertext Greek Manuscript J. L. Heiberg Parchment Manuscript Private Collection accented ancient Greek in Unicode-C Greek characters English Content: Archimedes Content: On Spiral Lines Archimedes Palimpsest Greek Manuscript Byzantine Manuscript Parchment Manuscript 13th Century Manuscript 10th Century Manuscript Private Collection Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of columnar undertext J. L. Heiberg Content: J. L. Heiberg σαμεῖον, ὁ ΜΝ· ἐν τούτωι δὴ τῶι χρόνωι καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ΖΗ. πάλιν δὴ καὶ ἐν ὧι τὰν ΔΕ γραμμὰν δι επορεύετο τὸ σαμεῖον, ἔστω ὁ ΝΞ χρόνος· ἐν τούτωι δὴ καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ΗΘ· τὸν αὐτὸν δὴ λόγον ἑξοῦντι ἅ τε ΓΔ ποτὶ τὰν ΔΕ γραμμάν, ὃν ὁ χρόνος ὁ ΜΝ ποτὶ ΝΞ, καὶ ἁ ΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ, ὃν ὁ χρόνος ὁ ΜΝ ποτὶ τὸν ΝΞ. δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΓΔ ποτὶ τὰν ΔΕ, ὃν ἁ ΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ. γ κύκλων δοθέντων ὁποσων οῦν τῶι πλήθει δυνατόν ἐστιν εὐθεῖαν λαβεῖν μείζονα ἐοῦσαν τᾶν τῶν κύκλων περιφερειᾶν. περιγραφέντος γὰρ περὶ ἕκαστον τῶν κύκλων πολυγώνου δῆλον ὡς ἁ ἐκ πα σᾶν συγκειμένα τᾶν περιμέ τρων εὐθεῖα μείζων ἐσσεῖται πα σᾶν τᾶν τῶν κύκλων περιφε θεμένα ὑπερέξει τᾶς εὐθείας, καὶ εἰς τοσαῦτα ἴσα διαιρεθείσας τᾶς εὐθείας τὸ ἓν τμᾶμα ἔλασσον ἐσσεῖ ται τᾶς ὑπεροχᾶς. εἰ μὲν οὖν καὶ ἁ περιφέρεια μείζων τᾶς εὐ θείας, ἑνὸς τμάματος ποτι τεθέντος ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τᾶς μὲν ἐλάσσονος τᾶν δοθεισᾶν δῆλον ὡς μείζων ἐσσεῖται, τᾶς δὲ μείζονος ἐλάσσων· καὶ γὰρ ἁ ποτικειμένα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ὑπεροχᾶς. κύκλου δοθέντος καὶ εὐθείας ἐπιψαυούσας τοῦ κύκλου δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀγαγεῖν εὐθεῖ αν ἐπὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ ἁ περι φέρεια τοῦ κύκλου ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς διαχθείσας πο τὶ τὰν δοθεῖσαν ὁποιανοῦν κύ κλου περιφέρειαν. δεδόσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Κ, καὶ ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου ἁ ΔΖ κατὰ τὸ Β, δεδόσθω δὲ καὶ κύκλου περι ἔχει ἁ ΘΖ ποτὶ τὰν ΘΚ, ὃν ἁ ΒΘ ποτὶ τὰν ΘΗ. ἁ ἄρα ΖΘ ποτὶ τὰν ΘΚ ἐλάσσο να λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἁ ΒΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν, διότι ἁ μὲν ΒΘ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΘ περιφερείας, ἁ δὲ ΘΗ μεί ζων τᾶς δοθείσας περιφερείας· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει καὶ ἁ ΖΘ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἁ ΒΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν. ἑξῆς τὸ σ σχῆμα ϛ κύκλου δοθέντος καὶ ἐν τῶι κύκλωι γραμμᾶς ἐλάσσονος τᾶς διαμέ τρου δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτὶ τὰν περιφέρειαν αὐτοῦ ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν τέμνου σαν τὰν ἐν τῶι κύκλωι δεδομέναν γραμμάν, ὥστε τὰν ἀπολαφθεῖ σαν εὐθεῖαν μεταξὺ τᾶς περιφε ρείας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τῶι κύκλωι δεδομένας ποτὶ τὰν ἐπι ζευχθεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ποτιπεσούσας τοῦ ἐπὶ τᾶς περιφε ρείας ποτὶ τὸ ἕτερον μέρος τᾶς ἐν τῶι κύκλωι δεδομένας εὐθείας τὸν ταχθέντα λόγον ἔχειν, εἴ κα ὁ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων ἦι τοῦ δὲ αὐτοῦ τὸ Κ, καὶ ἐν αὐτῶι δεδόσθω εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΓΑ, καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ Ζ ποτὶ Η, ἐλάσσων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΚΘ, καθέ του ἐούσας τᾶς ΚΘ· ἄχθω δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΚΝ καὶ τᾶι ΚΓ πρὸς ὀρθὰς ἁ ΓΛ· ὁμοῖα δή ἐστι τὰ ΓΘΚ, ΓΚΛ τρίγωνα. ἔστιν οὖν ὡς ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ οὕτως ἁ ΚΓ πο τὶ τὰν ΓΛ· ἐλάσσω ἄρα λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η ἢ ἁ ΚΓ ποτὶ τὰν ΓΛ. ὃν δὴ λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η, τοῦτον ἐχέτω ποτὶ μείζονα τᾶς ΓΛ. ἐ χέτω τὰν ΒΝ, κείσθω δὲ ἁ ΒΝ με ταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας διὰ τοῦ Γ· δυνατὸν δέ ἐστιν οὕτως τέμνειν· καὶ πεσεῖται ἐκτός, ἐπὶ μείζων ἐστὶν τᾶς ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ἁ ΚΓ ποτὶ ΒΝ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η, καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΓ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η. ἑξῆς τὸ σχῆμα. ΞΓ ποτὶ ΚΒ, καὶ λοιπὰ ἁ ΙΓ ποτὶ λοιπὰν τὰν ΒΕ ἐστὶν ὡς ἁ ΞΓ ποτὶ ΓΚ. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΞΓ ποτὶ ΓΚ, τοῦ τον ἔχει ἁ Η ποτὶ Ζ· ποτιπέπτωκεν δὴ ἁ ΚΕ ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν, καὶ ἁ μεταξὺ τᾶς ἐκβεβλημένας καὶ τᾶς περιφερείας ἁ ΒΕ ποτὶ τὰν ΓΙ τὰν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας ἀ πολαφθεῖσαν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ Ζ ποτὶ τὸν Η. ἑξ ἑξῆς ἡ καταγραφή. εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεθέωντι ὁπο σαιοῦν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερ έχουσαι, ἦι δὲ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα τᾶι ἐλαχίσται, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεθέωντι τῶι μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῶι δὲ μεγέθει ἑκάστα μεγίσται, τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται ποτιλαμβά νοντα τό τε ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετράγωνον καὶ τὸ περιεχόμε νον ὑπό τε τᾶς ἐλαχίστας καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχούσαις τριπλά σια ἐσσοῦνται τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν. ἔστωσαν γραμμαὶ ὁποσαιοῦν ἐφε ξῆς κείμεναι τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑ περέχουσαι αἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, ἁ δὲ Θ ἴσα ἔστω τᾶι ὑπεροχᾶι, ποτικεί σθω δὲ ποτὶ τὰν Β ἴσα τᾶι Θ ἁ Ι, πο τὶ δὲ τὰν Γ ἁ Κ ἴσα τᾶι Η, ποτὶ δὲ τὰν ΔΛ ἁ Λ ἴσα τᾶι Ζ, ποτὶ δὲ τὰν Ε ἁ Μ ἴσα τᾶι Ε, ποτὶ δὲ τὰν Ζ ἁ Ν ἴσα τᾶι Δ, ποτὶ δὲ τὰν Η ἁ Ξ ἴσα τᾶι Γ, πο τὶ δὲ τὰν Θ ἁ Ο ἴσα τᾶι Β· ἐσσοῦνται δὲ αἱ γενόμεναι ἴσαι ἀλλάλαις καὶ τᾶι μεγίσται. δεικτέον οὖν ὅτι τὰ τετρά γωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶς τε Α καὶ τᾶν γενομενᾶν ποτιλαβόντα τό τε ἀπὸ τᾶς Α τεράγωνον καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ τρι πλάσιά ἐντι τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. ἔστιν δὴ τὸ μὲν ἀπὸ τᾶς ΒΙ τε τράγωνον ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν Ι, Β τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ Β, Ι περιεχομένοις, τὸ δὲ ἀπὸ τᾶς ΚΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν Κ, Γ τετραγώ νοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τᾶν Κ, Γ περι εχομένων· ὁμοίως δὴ καὶ τὰ ἀ πὸ τᾶν ἀλλᾶν τᾶν ἰσᾶν τᾶι Α τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τετραγώνοις καὶ δυσὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων περι εχομένοις. τὰ μὲν οὖν ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν Ι, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, ΟΠ ποτιλαβόντα τὸ ἀπὸ τᾶς Α τετράγωνον διπλάσιά ἐντι τῶν ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ τετραγώνων· λοιπὸν δὲ ἐπιδειξοῦμες ὅτι τὰ δι πλάσια τῶν περιεχομένων ὑ πὸ τῶν τμαμάτων ἐν ἑκατέρα γραμμᾶι τᾶν ἰσᾶν τᾶι Α ποτι λαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. καὶ ἐπεὶ δύο μὲν τὰ ὑπὸ Β, Ι περιεχόμενα ἴσα δυσὶ τοῖς ὑπὸ τᾶν Β, Θ περιεχο μένοις, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν Κ, Γ ἴ σα τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶς Γ διὰ τὸ τὰν Κ διπλασίονα εἶ μεν τᾶς Θ, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν Δ, Λ ἴσα τῶι ὑπὸ τᾶς Θ καὶ τᾶς ἑξα πλασίας τᾶς Δ διὰ τὸ τὰν Λ τριπλα σίαν εἶμεν τᾶς Θ, ὁμοίως δὲ καὶ τἄλλα τὰ διπλάσια τὰ περιε χόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων ἴσα ἐντὶ τῶι περιεχομένωι ὑ πό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς πολλαπλα σίας ἀεὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθ μοὺς ἀρτίους τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς, τὰ οὖν σύμπαντα πο τιλαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑ πό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πά σαις ταῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ ἐσσοῦνται ἴσα τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾶι τε Α καὶ τᾶι τριπλασίαι τᾶς Β καὶ τᾶι πενταπλασίαι τᾶς Γ καὶ ἀεὶ τᾶι περισσᾶι κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς περισσοὺς πολλαπλα σίους τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς. ἐντὶ δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ τετράγωνα ἴσα τῶι περιεχομένωι ὑπὸ τᾶν αὐτᾶν γραμ μᾶν. ἔστι γὰρ τὸ ἀπὸ τᾶς Α τε τράγωνον ἴσον τῶι περιεχομέ νωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾶι τε Α καὶ τᾶι ἴσαι ταῖς λοιπαῖς, ἇν ἑκάστα ἴσα τᾶι Α· ἰσάκις γὰρ μετρεῖ ἅ τε Θ τὰν Α καὶ ἁ Α τὰς ἴσας αὐτᾶι πά σας ἐν τᾶι Α· ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ Α τετράγωνον τῶι περιεχο μένωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴ σας τᾶι Α καὶ τᾶι διπλασίαι τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ· αἱ γὰρ ἴσαι τᾶι Α πᾶσαι χωρὶς τᾶς Α διπλάσιαί ἐντι τᾶν Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β τετράγωνον ἴσον ἐντὶ τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾶι τε Β καὶ τᾶι διπλασίαι τᾶν Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, ὁμοί ως δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τε τράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς περιε χομένοις ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας αὐτᾶι τε καὶ τᾶι διπλασίαι τᾶν λοιπᾶν. δῆλον οὖν ὅτι τὰ ἀ πὸ πασᾶν τετράγωνα ἴσα ἐν τὶ τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾶι τε Α καὶ τᾶι τριπλασίαι τᾶς Β καὶ τᾶι πενταπλασίαι τᾶς Γ καὶ τᾶι κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς πε ρισσοὺς πολλαπλασίαι τᾶς ἑπομένας. ἐκ τούτου οὖν φανερὸν ὅτι τὰ τε τράγωνα πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται τῶν μὲν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἐλάσσονά ἐστιν ἢ τριπλάσια, ἐπειδὴ ποτιλα βόντα τινὰ τριπλάσιά ἐντι, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα ἢ τριπλάσια, ἐπειδὴ τὰ ποτιλα φθέντα ἐλάσσονά ἐντι ἢ τριπλά σια τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετρα γώνου. καὶ τοίνυν, εἴ κα ὁμοῖα εἴδεα ἀναγραφέωντι ἀπὸ πασᾶν, ἀ πὸ τὲ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερ εχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι με γίσται τῶν μὲν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν εἰδέων ἐλάσσονα ἐσσοῦνται ἢ τριπλά σια, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας εἴδεος μείζο να ἢ τριπλάσια· τὸν γὰρ αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις. ια εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεθέωντι ὁποσαι οῦν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχου σαι, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεθέων τι τῶι μὲν πλήθει μιᾶι ἐλάσσον ες τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν, τὸ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾶι μεγίσ ται, τὰ τετράγωνα πάντα τὰ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται ποτὶ μὲν τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔ χοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ποτὶ τὸν ἴσον ἀμφοτέ ροις τῶι τε περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῶι τρίτωι μέρει ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς τετραγώνω, ἇι ὑπερέχει τὰ μεγίστα τᾶς ἐλαχίστας, ποτὶ δὲ τὰ τετράγω να τὰ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου. ἔστωσαν γὰρ γραμ μαὶ ὁποσαιοῦν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑ περέχουσαι ἑξῆς κείμεναι, ἁ μὲν ΑΒ τᾶς ΓΔ, ἁ δὲ ΓΔ τᾶς ΕΖ, ἁ δὲ ΕΖ τᾶς ΗΘ, ἁ δὲ ΗΘ τᾶς ΙΚ, ἁ δὲ ΙΚ τᾶς ΛΜ, ἁ δὲ ΛΜ τᾶς ΝΞ, ποτικείσθω δὴ ποτὶ μὲν τὰν ΓΔ ἴσα μιᾶι ὑπεροχᾶι ἁ ΓΟ, ποτὶ δὲ τὰν ΕΖ ἴσα δυσὶν ὑπεροχαῖς ἁ ΕΠ, ποτὶ δὲ τὰν ΗΘ ἴσα τρισὶν ὑπεροχαῖς ἁ ΗΡ, καὶ ποτὶ τὰς ἄλλας τὸν αὐτὸν τρόπον· ἐσσοῦνται δὴ αἱ γενόμε ναι ἀλλάλαις ἴσαι καὶ ἑκάστα τᾶι μεγίσται. δεικτέον οὖν ὅτι τὰ ἀπὸ πα σᾶν τᾶν γενομενᾶν τετράγωνα πο τὶ μὲν πάντα τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΝΞ τετραγώνου ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῶι τε περι εχομένωι ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΝΞ καὶ τῶι τρίτωι μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΝΥ τε τραγώνου, ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν αὐτᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετραγώνου μείζονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγου. ἀπολελάφθω ἀφ’ ἑκάστας τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἴσα τᾶι ὑπεροχᾶι· ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ πο τὶ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΦΒ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΦ τετραγώνου, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τό τε ἀπὸ τᾶς ΟΔ τετράγωνον ποτί τε τὸ περιε χόμενον ὑπὸ τᾶν ΟΔ, ΔΧ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΧΟ τε τραγώνου καὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τᾶς ΠΖ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΠΖ, ΨΖ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΨΠ τετραγώνου καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τετράγωνα ποτὶ τὰ ὁμοίως λαμβανόμενα χωρία· καὶ τὰ πάντα δὴ τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν ΟΔ, ΠΖ, ΡΟ, ΣΚ, ΤΜ, ΥΞ ποτί τε πάντα περιεχομέναν ὑ πό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς εἰρημέναις γραμμαῖς καὶ τὰ τριταμόρια τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϘ, ΥΝ τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΦΒ πε ριεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ ΦΑ τετραγώνου. εἰ οὖν κα δειχθῆι τό τε περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΔ, ΠΖ, ΡΘ, ΣΚ, ΤΜ, ΥΞ καὶ τὰ τρί τα μέρεα τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϘ, ΥΝ τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ ἐλάττονα, τῶν δὲ τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ μείζονα, δε δειγμένον ἐσσεῖται τὸ προτε θέν. ἐστὶ δὴ τὸ μὲν περιεχόμε νον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΔ, ΠΖ, ΡΘ, ΣΚ, ΤΜ, ΥΞ καὶ τὰ τρίτα μέρεα τῶν τετρα γώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϘ, ΥΝ ἴσα τοῖς τετραγώνοις τοῖς ἀπὸ ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, ϘΜ, ΝΞ καὶ τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ ἴσας πάσαις ταῖς ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϘ, ΥΝ καὶ τῶι τρί τωι μέρει τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϘ, ΥΝ, τὰ δὲ ἀπὸ τᾶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τᾶν ΒΦ, ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, ϘΜ τετραγώνοις καὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΜΩ, ΡϠ, ΛϘ καὶ τῶι περιεχομένωι ὑ πὸ τᾶν ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΜΩ, ΙϠ, ΛϘ. κοινὰ μὲν οὖν ἐντι ἑκατέρων τὰ τετρά γωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι ΝΞ, τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας ταῖς ΟΧ, ΠΨ, ΩΡ, ϠΣ, ϘΤ, ΥΝ ἔλασσόν ἐστι τοῦ περι εχομένου ὑπό τε τᾶς ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϘ διὰ τὸ τὰς νῦν εἰρη μένας γραμμὰς ταῖς μὲν ΓΟ, ΕΠ, ΡΗ, ΙΣ, ΛΤ, ΥΝ ἴσας εἶμεν, τᾶν δὲ λοιπᾶν μείζονας, καὶ τὰ τετρά γωνα δὲ τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϘ· δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς ἐπάνω· ἐλάττονα ἄρα ἐντὶ τὰ ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ. λοιπὸν δὲ δειξοῦμες ὅτι μείζονά ἐν τι τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ. πάλιν δὴ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ ἴσα ἐντὶ τοῖς τε ἀπὸ τᾶν ΧΓ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϘ καὶ τῶι περιεχο μένωι ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς δι πλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, Ι Ϡ, ΛϘ. καί ἐστι κοινὰ μὲν τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, ΜϘ, ΝΞ, μεῖζον δὲ τὸ ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, ΤϘ, ΥΝ τοῦ ὑπὸ τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϘ, ἐντὶ δὲ καὶ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΟ, ΨΠ, ΩΡ, ϠΣ, ϘΤ, ΥΝ τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, ΛϘ μείζονα ἢ τριπλάσια· δέ δεικται γὰρ καὶ τοῦτο· μείζονα ἄρα ἐν τὶ γα ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώ νων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ. καὶ τοίνυν εἴ κα ὁμοῖα ἀναγραφέων τι ἀπὸ πασᾶν, ἀπό τε τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται, εἴδεα, πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερε χουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίσ τας εἴδεος ἐλάσσονα λόγον ἑξοῦν τι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς με γίστας ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῶι τε περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῶι τρίτωι μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπε ροχᾶς, ἇι ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶς ἐ λαχίστας, ποτὶ δὲ τὰ ἀπὸ τᾶν αὐ τᾶν εἴδεα χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου· τὸν αὐτὸν γὰρ ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις. εἴ κα εὐθεῖα ἐπιζευχθῆι γραμμὰ ἐν ἐπιπέδωι καὶ μέ νοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος αὐτᾶς ἰσοταχέως περιενεχθεῖσα ὁσα κισοῦν ἀποκατασταθῆι πάλιν, ὅθεν ὥρμασεν, ἅμα δὲ τᾶι γραμ μᾶι περιαγομέναι φέρηταί τι σα μεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῶι κατὰ τᾶς εὐθείας ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος, τὸ σα μεῖον ἕλικα γράψει ἐν τῶι ἐπιπέδωι. καλείσθω οὖν τὸ μὲν πέρας τᾶς εὐθείας τὸ μένον περιαγομένας αὐτᾶς ἀρχὰ τᾶς ἕλικος. ἁ δὲ θέ σις τᾶς γραμμᾶς, ἀφ’ ἇς ἄρξατο ἁ εὐθεῖα περιφέρεσθαι, ἀρχὰ τῆς περιφορᾶς. εὐθεῖα, ἃν μὲν ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι διαπορευθῆι τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον, πρώτα καλείσθω, ἃν δ’ ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι τὸ αὐ τὸ σαμεῖον διανύσηι, δευτέρα, καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως ταύταις ὁμωνύμως ταῖς περιφοραῖς καλείσθωσαν. τὸ δὲ χωρίον τὸ περιλαφθὲν ὑ πό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γραφείσας καὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐστι πρώτα, πρῶτον καλείσθω, τὸ δὲ περιλαφθὲν ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι γραφείσας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας δεύτερον καλείσθω. καὶ εἴ κα ἀπὸ τοῦ σα μείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἀχθῆι τις εὐθεῖα γραμμά, τᾶς εὐθείας ταύτας ἐπὶ τὰ αὐτά, ἁ περιφορὰ γένηται, προαγού μενα καλείσθω, τὰ δὲ ἐπὶ θά τερα ἑπόμενα. ὅ τε γραφεὶς κύκλος κέντρωι μὲν τῶι σαμείωι, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, διαστήμα τι δὲ τᾶι εὐθείαι, ἅ ἐστιν πρώτα, πρῶτος καλείσθω, ὁ δὲ γραφεὶς κέντρωι μὲν τῶι αὐτῶι, διαστήμα τι δὲ τᾶι διπλασίαι εὐθείαι δεύ τερος καλείσθω, καὶ οἱ ἄλλοι δὲ ἑξῆς τούτοις τὸν αὐτὸν τρόπον. ιβ εἰ καὶ ποτὶ τὰν ἕλικα τὰ μὲν μιᾶι περιφορᾶι ὁποιαιοῦν γεγραμμέ ναν ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος εὐθεῖαι ἐμπεσῶντι ὁποιαιοῦν ἴσας ποιοῦσαι γωνίας ποτ’ ἀλλά λας, τῶι ἴσωι ὑπερέχοντι ἀλλαλᾶν. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς αἱ ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΑΖ ἴσας γωνίας ποιοῦσαι πο τ’ ἀλλάλας. δεικτέον ὅτι τῶι ἴσωι ὑπερέχει ἁ ΑΓ τᾶς ΑΒ καὶ ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως. ἐν ὧι γὰρ χρόνωι ἁ περιαγομένα γραμμὰ ἀπὸ τᾶς ΑΒ ἐπὶ τὰν ΑΓ ἀφικνεῖται, ἐν τούτωι τῶι χρόνωι τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ὑπεροχὰν διαπορεύεται, ἇι ὑπερέχει ἁ ΓΑ ταν ΑΒ, ἐν ὧι δὲ χρόνωι ἀπὸ τᾶς ΑΓ ἐπὶ τὰν ΑΔ, ἐν τούτωι διαπορεύεται τὰν ὑπερο χάν, ἇι ὑπερέχει ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ. ἐ ν ἴσωι δὲ χρόνωι ἁ περιαγομέ να γραμμὰ ἀπό τε τᾶς ΑΒ ἐ πὶ τὰν ΑΓ ἀφικνεῖται καὶ ἀπὸ τᾶς ΑΓ ἐπὶ τὰν ΑΔ, ἐπειδὴ αἱ γω νίαι ἴσαι ἐντί· ἐν ἴσωι ἄρα χρό νωι τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερό μενον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ὑπεροχάν, ἇι ὑπερέχει ἁ ΓΑ τᾶς ΑΒ, καὶ τὰν ὑπεροχάν, ἇι ὑπε ρέχει ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ. τῶι ἴσωι ἄρα ὑπερέχει ἅ τε ΑΓ τᾶς ΑΒ καὶ ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ, καὶ αἱ λοιπαί. ιγ εἴ κα εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἐπιψαύηι, καθ’ ἓν μόνον ἐπιψαύ σει σαμεῖον. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς τὰ Α, Β, Γ, Δ, ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Α σαμεῖον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἁ ΑΔ εὐθεῖα, καὶ ἐπι ψαυέτω τᾶς ἕλικος εὐθεῖά τις ἁ ΖΕ. φαμὶ δὴ καθ’ ἓν μόνον σαμεῖον ἐπιψαύειν αὐτᾶς. ἐπιψαυέτω γάρ, εἰ δυνατόν, κατὰ δύο σαμεῖα τὰ Γ, Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΑΗ, καὶ ἁ γωνία δίχα τετμάσθω ἁ περι εχόμενα ὑπὸ τᾶν ΑΗ, ΑΓ, καθ’ ὃ δὲ σαμεῖον ἁ δίχα τέμνουσα τὰν γωνίαν τᾶι ἕλικι ποτιπίπτει, ἔστω τὸ Θ. τῶι δὴ ἴσωι ὑπερέχει ἅ τε ΑΗ τᾶς ΑΘ καὶ ἁ ΑΘ τᾶς ΑΓ, ἐπειδὴ ἴσας γωνίας περιέχου σι ποτ’ ἀλλάλας· ὥστε διπλάσι αί ἐντι αἱ ΑΗ, ΑΓ τᾶς ΑΘ. ἀλλὰ τᾶς ἐν τῶι τριγώνωι τᾶς ΑΘ δί χα τεμνούσας τὰν γωνίαν μεί ζονές ἐντι ἢ διπλάσιαι· δῆλον οὖν, ὅτι, καθ’ ὃ συμπίπτει σαμεῖον τᾶι ΓΗ εὐθείαι ἁ ΑΘ, μεταξὺ τῶν Θ, Α ἐντὶ σαμείων· τέμνει ἄρα ἁ ΕΖ τὰν ἕλικα, ἐπειδή τι τῶν ἐν τᾶι ΓΘΗ σαμείων ἐντός ἐστι τᾶς ἕλικος. ὑπέκειτο δὲ ἐπιψαύου σα· καθ’ ἓν ἄρα μόνον ἅπτεται ἁ ΕΗ τᾶς ἕλικος. ιδ εἴ κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμμέναν ποτι πεσέωντι δύο εὐθεῖαι ἀπὸ τοῦ σαμεί ου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, καὶ ἐκ βληθέων ποτὶ τὰν τοῦ πρώτου κύ κλου περιφέρειαν, τὸν αὐτὸν ἑξοῦν τι λόγον αἱ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπί πτουσαι ποτ’ ἀλλάλας, ὃν αἱ περι φέρειαι τοῦ κύκλου αἱ μεταξὺ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος καὶ τῶν πε ράτων τᾶν ἐκβληθεισᾶν εὐθειᾶν τῶν ἐπὶ τᾶς περιφερείας γινομέ νων, ἐπὶ τὰ προαγούμενα λαμβα νομενᾶν τᾶν περιφερειᾶν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος. ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒΓΔΕΘ ἐν τᾶι πρώται περι φορᾶι γεγραμμένα, ἀρχὰ δὲ τᾶς μὲν ἕλικος ἔστω τὸ Α σαμεῖον, ἁ δὲ ΘΑ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφο ρᾶς ἔστω, καὶ κύκλος ὁ ΘΚΗ ἔστω ὁ πρῶτος, ποτιπιπτόντων δὲ ἀ πὸ τοῦ Α σαμείου ποτὶ τὰν ἕλικα αἱ ΑΕ, ΑΔ καὶ ἐκπιπτόντων ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἐπὶ τὰς Ζ, Η. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχον τι λόγον ἁ ΑΕ ποτὶ τὰν ΑΔ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν. περιαγομένας γὰρ τᾶς ΑΘ γραμμᾶς δῆλον ὡς τὸ μὲν Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείας ἐνηνεγμέ νον ἐστὶν ἰσοταχέως, τὸ δὲ Α κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ΑΘ γραμμὰν πορεύεται, καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φερόμενον τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν, τὸ δὲ Α τὰν ΑΕ εὐθεῖαν, καὶ πάλιν τό τε Α σαμεῖον τὰν ΑΔ γραμμὰν καὶ τὸ Θ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν, ἑκάτερον ἰ σοταχέως αὐτὸ ἑαυτῶι φερόμε νον· δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΕ ποτὶ τὰν ΑΔ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ περι φέρειαν δέδεικται γὰρ τοῦτο ἔξω ἐν τοῖς πρώτοις. ὁμοίως δὲ δειχθή σεται, καὶ εἴ κα ἑτέρα τᾶν ποτιπιπτου σᾶν ἐπὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πο τιπίπτηι, τὸ αὐτὸ συμβαίνειν. ιε εἰ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾶι δευτέραι περι φορᾶι γεγραμμέναν ἕλικα πο τιπίπτωντι εὐθεῖαι ἀπὸ τᾶς ἀρ χᾶς τᾶς ἕλικος, τὸν αὐτὸν ἑξοῦν τι λόγον αἱ εὐθεῖαι ποτ’ ἀλλάλας, ὃν αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφε ρείας λαμβανομένας. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς αἱ ΑΒΓΔΘ, ἁ μὲν ΑΒΓ ΔΘ ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμμένα, ἁ δὲ ΘΛΕΜ ἐν τᾶι δευτέραι, καὶ ποτιπίπτοντι εὐ θεῖαι αἱ ΑΕ, ΑΛ. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ ποτὶ τὰν ΑΕ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ ΘΚΗ μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περι φερείας. ἐν ὅσω γὰρ χρόνωι τὸ Α σαμεῖον κατὰ τᾶς εὐθείας φε ρόμενον τὰν ΑΛ γραμμὰν δια πορεύεται, καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φε ρόμενον ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ πάλιν τὸ Α σαμεῖον τὰν ΑΕ εὐθεῖαν καὶ τὸ Ε ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΗ, ἑκάτερον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑα υτῶι φερόμενον· δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ γραμμὰ ποτὶ τὰν ΑΕ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΚΗ πε ριφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας. τὸν αὐτὸν δὲ τρό πον δειχθήσεται, καὶ ἢν ποτὶ τὰν ἐν τᾶι τρίται περιφορᾶι γεγραμμέναν ἕλικα ποτιπε σέωντι εὐθεῖαι, τὸν αὐτὸν λόγον ἑξοῦντι ποτ’ ἀλλάλας, ὃν ἁ εἰ ρημένα περιφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας δὶς λαμβανομένας· ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ποτὶ τὰς ἄλλας ἕλικας πο τιπίπτουσαι δείκνυνται ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον, ὃν αἱ εἰρη μέναι περιφέρειαι μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοσαύ τας λαμβανομένας, ὅσος ἐστὶν ὁ εν ἐλάσσων ἀριθμὸς τᾶν περιφορᾶν, καὶ εἴ κα ἁ ποτιπί πτουσα ἁ ἑκατέρα ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πίπτηι. ιϛ εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύηι, καὶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς εὐθεῖα γραμ μὰ ἐπιζευχθῆι ἐπὶ τὸ σαμεῖον, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃς ποιεῖ γω νίας ἁ ἐφαπτομένα ποτὶ τὰν ἐπιζευχθεῖσαν, ἀνίσοι ἐσσοῦνται καὶ ἁ μὲν ἐν τοῖς προαγουμέ νοις ἀμβλεῖα, ἁ δὲ ἐν τοῖς ἑ πομένοις ὀξεῖα. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς τὰ Α, Β, Γ, Δ, Θ, ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γεγραμμένα, καὶ ἔστω τὸ μὲν Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΑΘ εὐθεῖα ἀρ χὰ τᾶς περιφορᾶς, ὅ τε πρῶτος κύκλος ὁ ΘΚΗ, ἐπιψαυέτω δέ τις εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἁ ΔΕΖ κατὰ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἁ ΔΑ. δει κτέον ὅτι ἁ ΔΖ ποτὶ τὰν ΑΔ ἀμβλεῖ αν ποιεῖ γωνίαν. γεγράφθω κύκλος ὁ ΔΤΝ κέντρωι μὲν τῶι Α, διαστή ματι δὲ τᾶι ΑΔ· ἀναγκαῖον δὴ τούτου τοῦ κύκλου τὰ μὲν ἐν τοῖς προα γευμένοις περιφέρειαν ἐντὸς πίπτειν τᾶς ἕλικος, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτὸς διὰ τὸ τᾶν ἀ πὸ τοῦ Α ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπι πτουσᾶν εὐθειᾶν τὰς μὲν ἐν τοῖς προαγευμένοις μείζονας εἶμεν τᾶς ΑΔ, τὰς δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐλάσσονας. ὅτι μὲν οὖν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ οὐκ ἔστιν ὀξεῖα δῆλον, ἐπειδὴ μείζων ἐστὶ τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου, ὅτι δὲ ὀρθὰ οὐ κ ἔστι δεικτέον οὕτως· ἔστω γὰρ, εἰ δυ νατόν, ὀρθά· ἁ ἄρα ΕΔΖ ἐπιψαύ ει τοῦ ΔΤΝ κύκλου. δυνατὸν δή ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν πο τὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν με ταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύ κλου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ, ὃν ἔχει ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς ποτιπιπτούσας περιφέ ρειας ὅτι τὰν δοθεῖσαν περιφέ ρειαν. ποτιπιπτέτω δὴ ἁ ΑΙ· τε μεῖ δὴ αὕτα τὰν μὲν ἕλικα κα τὰ τὸ Λ, τὰν δὲ τοῦ ΔΝΤ περιφέ ρειαν κύκλου κατὰ τὸ Ρ· καὶ ἐχέτω ἁ ΡΙ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσο να λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΔΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν· καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσ σονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΡΔΝΤ περι φέρεια ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρει αν, τουτέστιν ὃν ἔχει ἁ ΣΗΚΘ περιφέ ρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν. ὃν δὲ ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν, τοῦτον ἔ χει ἁ ΑΛ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΔ· δέ δεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΑΙ ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΛΑ ποτὶ τὰν ΑΔ· ὅπερ ἀδύνατον· ἴσα γὰρ ἁ ΡΑ τᾶι ΔΑ. οὐκ ἐστὶν ἄρα ὀρθὰ ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ. δέδεικται δὲ ὅτι οὐδὲ ὀξεῖα· ἀμ βλεῖα ἄρα ἐστίν. ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖ ά ἐστιν. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύει, τὸ αὐ τὸ συμβήσεται. ιζ καὶ τοίνυν, εἴ κα τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι γεγραμμένας ἕλι κος ἐπιψαύηι ἁ εὐθεῖα, τὸ αὐτὸ συμβήσεται. ἐπιψαυέτω γὰρ ἁ ΕΖ εὐθεῖα τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περι φορᾶι γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ Δ, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω. ὁμοίως δὴ τᾶς τοῦ ΡΝΔ περιφερείας κύκλου τὰ μὲν ἐν τοῖς προαγευμέ νοις τᾶς ἕλικος ἐντὸς πεσοῦν ται, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτός· ἁ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ οὐκ ἔστιν ὀρθά, ἀλλὰ ἀμβλεῖα. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, ὀρθά· ἐπιψαύσει δὴ ἁ ΕΖ τοῦ ΡΝΔ κύκλου κατὰ τὸ Δ. ἄχθω δὴ πάλιν ποτὶ τὰν ἐπιψαύου σαν αἱ ΑΙ καὶ τεμνέτω τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Χ, τὰν δὲ τοῦ ΡΝΔ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ, ἐχέτω δὲ ἁ ΡΙ ποτὶ ΡΑ ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΔΡ περιφέ ρεια ποτὶ ὅλαν τὰν τοῦ ΔΡΝ κύ κλου περιφέρειαν καὶ ποτὶ τὰν ΔΝΤ· δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν· καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΡΔΝΤ πε ριφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύ κλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας. ἀλλ’ ὃν ἔχει λόγον ἁ ΡΔΝΤ περιφέρει α μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΔΝΤΡ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ Δ ΝΤΡ κύκλου περιφερείας, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΣΗΚΘ περι φέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τᾶς ΘΣΗΚ ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν με θ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΣΗΚ κύκλου περιφερείας, ὃν δὲ λόγον ἔχον τι αἱ ὕστερον εἰρημέναι πε ριφέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΔ εὐθεῖαν· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ΑΧ ποτὶ τὰν ΑΔ· ὅπερ ἀδύ νατον ἴση μὲν γὰρ ἡ ΡΑ τῆι ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΙΑ τῆς ΑΧ. δῆλον οὖν, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἁ περιεχομέ να ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ· ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖά ἐστι. τὰ δ’ αὐτὰ συμβή σεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ἐπι ψαύοι. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιαιοῦν γεγραμ μένας ἕλικος ἐπιψαύει τις εὐθεῖα, καὶ εἴ κα κατὰ τὸ πέρας αὐτᾶς, ὅτι ἀνίσους ποιήσει τὰς γωνίας ποτὶ τὰν ἀπὸ τᾶς ἁ φᾶς ἐπιζευχθεῖσαν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος καὶ τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγευμένοις ἀμ βλεῖαν, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομέ νοις ὀξεῖαν. ἑξῆς τὸ σχῆμα ιη εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύηι κα τὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τοῦ σαμείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕ λικος, ποτ’ ὀρθὰς ἀχθῆι τις τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς, ἁ ἀχθεῖσα συμπεσεῖται τᾶι ἐπιψαυ ούσαι, καὶ ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ἐ πιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος τᾶς ἕλικος ἴσα ἐσσεῖται τᾶι τοῦ πρώτου κύκλου περιφε ρείαι. ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒΓΔΘ, ἔστω δὲ τὸ Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΑ γραμμὰ ἀρχὰ τᾶς περι φορᾶς, ὁ δὲ ΘΗΚ κύκλος ὁ πρῶτος, ἐπιψαυέτω δέ τις τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ ἁ ΘΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἄχθω ποτ’ ὀρθὰς τᾶι ΘΑ ἁ ΑΖ· συμπεσεῖται δὴ αὕτα ποτὶ τὰν ΘΖ, ἐπεὶ αἱ ΖΘ, ΘΑ ὀξεῖαν γωνίαν περιέχοντι. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ζ. δεικτέον, ὅτι ἁ ΖΑ ἴσα ἐστὶ τᾶι τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείαι. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεί ζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρό τερον, εἰ δυνατόν, μείζων. ἔλα βον δή τινα εὐθεῖαν τὰν ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσονα, τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας μείζονα. ἔστι δὴ κύκλος τις ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν τῶι κύκλωι γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέ τρου ἁ ΘΗ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΛ, μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὸν ἀγμέναν, διότι καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΖ· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν πο τὶ τὰν ἐκβεβλημέναν τὰν ΑΝ, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΝΡ ποτὶ ΘΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· ἕξει οὖν ἁ ΝΡ ποτὶ τὰν ΡΑ λόγον, ὃν ἁ ΘΡ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΛ. ἁ δὲ ΘΡ πο τὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ἁ μὲν γὰρ ΘΡ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΘΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ εὐ θεῖα τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας μείζων· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἕξει καὶ ἁ ΝΡ ποτὶ ΡΑ ἢ ἁ ΘΡ πε ριφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύ κλου περιφέρειαν· καὶ ὅλα οὖν ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΘΡ περιφέρει α μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέ ρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΘΡ περι φέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ· ὅπερ ἀδύνατον· ἁ μὲν γὰρ ΝΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ΑΧ, ἁ δὲ ΑΡ ἴσα ἐστὶ τᾶι ΘΑ. οὐκ ἄρα μεί ζων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ κύκλου περιφε ρείας τοῦ ΘΗΚ. ιθ ἔστω δὴ πάλιν, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας. ἔλαβον δή τινα εὐθεῖαν πάλιν τὰν ΑΛ τᾶς μὲν ΑΖ μεί ζονα, τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περι φερείας ἐλάσσονα, καὶ ἄγω ἀπὸ τοῦ Θ τὰν ΘΜ παράλληλον τᾶι ΑΖ. πάλιν οὖν κύκλος ἐστὶν ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν αὐτῶι ἐλάσσων γραμμὰ τᾶς διαμέτρου ἁ ΘΗ καὶ ἄλλα ἐπι ψαύουσα τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Θ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΑΘ ποτὶ τὰν ΑΔ, ἐλάσσων τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ἡμί σεια τᾶς ΘΗ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰν ἀγμέναν, ἐπειδὴ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ ΑΖ, ἐλάσσων ἐστί· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ἀγαγεῖν τὰν ΑΠ ποτὶ τὰν ἐπι ψαύουσαν, ὥστε τὰν ΡΝ τὰν μετα ξὺ τᾶς ἐν τῶι κύκλωι εὐθείας καὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΠ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυ ούσας τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· τεμεῖ δὴ ἁ ΑΠ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ, τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ Χ· καὶ ἕξει καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν λόγον ἁ ΝΡ ποτὶ ΡΑ, ὃν ἁ ΘΠ ποτὶ ΑΛ. ἁ δὲ ΘΠ πο τὶ τὰν ΑΛ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ἁ μὲν γὰρ ΘΠ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τᾶς ΘΡ πε ριφερείας, ἁ δὲ ΑΛ ἐλάσσων τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας· μεί ζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΠΡ ποτὶ τὰν ΑΡ ἡ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ὥστε καὶ ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ μείζονα λόγον ἔ χει ἢ ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέ ρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου πε ριφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέ ρειαν, ταὐτὸν ἔχει ἁ ΘΑ εὐθεῖα πο τὶ τὰν ΑΧ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· μεί ζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ ἢ ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΧ· ὅ περ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας· ἴσα ἄρα. κ εἰ δὲ καὶ τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι πε ριφορᾶι γεγραμμένας ἕλικος κα τὰ τὸ πέρας ἐπιψαύοι εὐθεῖα, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῆι τις ποτ’ ὀρθὰς τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περι φορᾶς, συμπεσεῖται αὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἐσσεῖται ἁ εὐθεῖ α ἁ μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος διπλασία τᾶς τοῦ δευτέρου κύκλου περιφερεί ας. ἔστω γὰρ ἁ μὲν ΑΒΓΘ ἕλιξ ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμμένα, ἁ δὲ ΘΕΤ ἐν τᾶι δευτέραι, καὶ ὁ μὲν ΘΚΗ κύκλος ὁ πρῶτος, ὁ δὲ ΤΜΝ ὁ δεύτερος, ἔστω δέ τις γραμμὰ ἐ πιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ ἁ ΤΖ, ἁ δὲ ΖΑ ποτ’ ὀρθὰς ἄχθωι τᾶι ΤΑ· συμπεσεῖται δὲ τᾶι αὐτᾶι τᾶι ΤΖ διὰ τὸ δεδεῖχθαι τὰν γωνίαν ὀ ξεῖαν ἐοῦσαν τὰν ὑπὸ τᾶν ΑΤΖ. δει κτέον ὅτι ἁ ΖΑ εὐθεῖα διπλασία ἐντὶ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφε ρείας. εἰ γὰρ μή ἐστιν διπλασία, ἤ τοι μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἢ ἐλάσ σων ἐστὶν ἢ διπλασία. ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων ἢ διπλασία, καὶ λελάφθω τις εὐθεῖα ἁ ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας μεί ζων ἢ διπλασία. ἔστιν δή τις κύκλος ὁ ΤΜΝ καὶ ἐν τῶι κύκλωι γεγραμ μένα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΤΝ, καὶ ὃν ἔχει ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ, μει μείζων τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΤΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰν ἀγμέναν· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν τὰν ΑΣ ποτὶ τὰν ΤΝ ἐκβεβλημέναν, ὥσ τε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΡ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· τεμεῖ δὴ ἁ ΑΣ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ, τὰν δὲ ἕ λικα κατὰ τὸ Χ· καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΑ, ὃν ἁ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ. ἁ δὲ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσο να λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια πο τὶ τὰν διπλασίαν τοῦ ΜΝ κύκλου περιφέρειαν· ἔστιν γὰρ ἁ μὲν ΤΡ εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς ΤΡ περιφε ρείας, ἁ δὲ ΑΛ εὐθεῖα μείζων ἢ διπλασία τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περι φερείας· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΤΡ πε ριφέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας· ὅλα οὖν ἁ ΣΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσ ονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέ ρεια μετὰ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας δὶς εἰρημένας ποτὶ τὰν τοῦ ΤΜΝ κύκλου πε ριφέρειαν δὶς εἰρημέναν. ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἱ εἰρημέναι περι φέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΤ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΑΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΤΑ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περι φερείας. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, οὐδὲ ἐλάσσων ἢ διπλασία. δῆ λον οὖν, ὅτι διπλασία ἐστίν. διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δεικτέον, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιαιοῦν περιφορᾶι γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύηι τις εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ποτ’ ὀρθὰς ἀχθεῖσα τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς συμπίπτει ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, πολλα πλασία ἐστὶν τᾶς τοῦ κύκλου πε ριφερείας τοῦ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τᾶς περιφορᾶς λεγομένου τῶι αὐτῶι ἀριθμῶι. κα εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύηι μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος εὐθεῖα ἐπιζευχθῆι, καὶ κέν τρωι μὲν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς ἕλικος, διαστήματι δὲ τᾶι ἐπιζευχθείσαι κύκλος γραφῆι, ἀπὸ δὲ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῆι τις ποτ’ ὀρθὰς ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιζευχθείσαι, συμ πεσεῖται αὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύ ουσαν, καὶ ἐσσεῖται ἁ μεταξὺ εὐθεῖ α τᾶς τε συμπτωσιας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα τᾶι πε ριφερείαι τοῦ γραφέντος κύκλου τας μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς τομᾶς, καθ’ ὃ τέμνει ὁ γραφεὶς κύκλος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφο ρᾶς, ἐπὶ τὰ προαγεύμενα λαμ βανομένας τᾶς περιφερείας ἀπὸ τοῦ σαμείου τοῦ ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς. ἔστω ἕλιξ, ἐ φ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔ, ἐν τᾶι πρώται πε ριφορᾶι γεγραμμένα, καὶ ἐπι ψαυέτω τις αὐτᾶς εὐθεῖα ἁ ΕΖ κατὰ τὸ Δ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ ποτὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπεζεύχθω ἁ ΑΔ, καὶ κέντρωι μὲν τῶι Α, δι αστήματι δὲ τῶι ΑΔ κύκλος γε γράφθω ὁ ΔΜΝ, τεμνέτω δ’ οὗτος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸ Κ, ἄχθω δὲ ἁ ΖΑ ποτὶ τὰν ΑΔ ὀρθά. ὅτι μὲν οὖν αὕτα συμ πίπτει δῆλον· ὅτι δὲ καὶ ἴσα ἐστὶν ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾶι ΚΜΝΔ περιφε ρείαι δεικτέον. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεί ζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω, εἰ δυ νατόν, πρότερον μείζων, λελά φθω δέ τις ἁ ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐ θείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ ΚΜΝΔ περιφερείας μείζων. πάλιν δὴ κύκλος ἐστὶν ὁ ΚΜΝ καὶ ἐν τῶι κύκλωι γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΔΝ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΔΑ ποτὶ ΑΛ, μείζων τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΔΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰν ἀγμέναν· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν τὰν ΑΕ ποτὶ τὰν ΝΔ ἐκβεβλημέναν, ὥστε τὰν ΕΡ ποτὶ τὰν ΔΡ τὸν αὐτὸν ἔ χειν λόγον, ὃν ἁ ΔΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν· ἕξει οὖν καὶ ἁ ΕΡ ποτὶ τὰν ΑΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ ΔΡ ποτὶ τὰν ΑΛ. ἁ δὲ ΑΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐ λάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΔΡ περι φέρεια ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέ ρειαν, ἐπεὶ ἁ μὲν ΔΡ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΔΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ μείζων τᾶς ΚΜΔ περιφερείας· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ἁ ΕΡ εὐ θεῖα ποτὶ ΡΑ ἢ ἁ ΔΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέρειαν· ὥστε καὶ ἁ ΑΕ ποτὶ ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΚΜΡ περιφέρεια ποτὶ ΚΜΔ περιφέρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΚΜΡ ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέ ρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ ποτὶ ΑΔ· ἐλάσ σονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΕΑ ποτὶ ΑΡ ἢ ἁ ΑΧ ποτὶ ΔΑ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύ νατον. οὐκ ἄρα μείζων ἁ ΖΑ τᾶς ΚΜΔ περιφερείας. ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ ἐ λάσσων ἐστίν· ἴσα ἄρα. διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχθήσεται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περιφο ρᾶι γεγραμμένας ἕλικος ἐπι ψαύηι εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατα σκευασθέντι, ὅτι ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν συμ πίπτουσα καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐστὶν ὅλαι τᾶι τοῦ γραφέν τος κύκλου περιφερείαι καὶ ἔτι τᾶι μεταξὺ τῶν εἰρημένων σαμείων, ὡσαύτως τᾶς περιφερείας λαμ βανομένας· καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποι αιοῦν γεγραμμένας περιφορᾶς ἕλικος ἐπιψαύει τις εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευασθαιωντι, ὅτι ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τῶν εἰρημένων σαμείων πολλαπλασία τίς ἐστι τᾶς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφε ρείας κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα ἀ ριθμὸν τοῦ, καθ’ ὃν αἱ περιφοραὶ λέγονται, καὶ ἔτι ἴσα τᾶι μεταξὺ τῶν εἰρημένων σαμείων ὁμοίως λαμβανομέναι. κβ λαμβάνοντα τὸ χωρίον τὸ περι εχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γε γραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς πρώτας ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι καὶ ἄλλο ἐγγράψαι ἐξ ὁμοίων τομων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγ γεγραμμένου μεῖζον εἶμεν ἐ λάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέν τος χωρίου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔ, ἐν τᾶι πρώται περιφο ρᾶι γεγραμμένα, ἔστω δὲ ἀρ χὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖ ον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἁ ΘΑ, ὁ δὲ πρῶτος κύκλος ὁ ΖΗΙΑ, αἱ δὲ ΑΗ, ΖΙ διάμετροι αὐτοῦ ποτ’ ὀρθὰς ἀλλάλαις. ἀεὶ δὴ τᾶς ὀρ θᾶς γωνίας δίχα τεμνομέ νας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρθὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον τοῦ τομέως ἔλασσον τοῦ προτε θέντος· καὶ ἔστω γεγενημένος ὁ τομεὺς ὁ ΑΘΚ ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος χωρίου. διαιρήσθω σαν δὴ οὖν γωνίαι αἱ τέσσα ρες ὀρθαὶ εἰς τὰς ἴσας γωνίας τὰς περιεχομένας ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΚ, καὶ αἱ ποιοῦσαι τὰς γω νίας εὐθεῖαι ἐς τὴν κατὰ τὰν ἕλικα ἄχθωσιν. καθ’ ὃ δὴ τέ μνει σαμεῖον ἁ ΘΚ τὰν ἕλικα, ἔστω τὸ Λ, καὶ κέντρωι τῶι Θ, δια στήματι δὲ τῶι ΘΛ κύκλος γε γράφθω· πεσεῖται δὲ αὐτοῦ ἁ μὲν εἰς τὰ προαγεύμενα περι φέρεια ἐντὸς τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ εἰς τὰ ἑπόμενα ἐκτός. γε γράφθω δὴ ἁ περιφέρεια, ἔσται κἂν συμπέσηι τᾶι ΘΑ κατὰ τὸ Ο ἁ ΟΜ καὶ τᾶι μετὰ τὰν ΘΚ εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι. πάλιν δὴ καὶ, καθ’ ὃ τέμνει σαμεῖον ἁ ΘΜ, ἔστω τὸ Ν, καὶ κέντρωι τῶι Θ, δι αστήματι δὲ τῶι ΘΝ κύκλος γεγράφθω, ἔσται καὶ συμπέ σηι ἁ περιφέρεια τοῦ κύκλου καὶ τᾶι μετὰ τὰν ΘΜ ποτιπι πτούσαι ποτὶ τὰν ἕλικα, ὁ μοίως δὲ καὶ διὰ τῶν ἄλλων πάντων, καθ’ ἃν τέμνοντι τὰν ἕλικα αἱ τὰς ἴσας γωνίας ποιοῦσαι, κύκλοι γεγράφθωσαν κέντρωι τῶι Θ, ἔστ’ ἂν συμπέσηι ἑκάστας ἁ περιφέρεια τᾶι τε προαγευμέναι εὐθείαι καὶ τᾶι ἑπομέναι· ἐσσεῖται δή τι περὶ τὸ λαφθὲν χωρίον περιγεγραμ μένον ἐξ ὁμοίων τομέων συγ κείμενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμ μένον. ὅτι δὲ τὸ περιγεγραμ μένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμέ νου μείζων ἐστιν ἐλάσσονι τοῦ προτεθὲν χωρίου δειχθήσεται. ἔστι γὰρ ὁ μὲν ΘΛΟ τομεὺς ἴσος τῶι ΘΜΛ, ὁ δὲ ΘΝΠ τῶι ΘΝΡ, ὁ δὲ ΘΧΣ τῶι ΘΧΤ, ἔστι δὲ καὶ τῶν ἄλλων τομέων ἕκαστος τῶν ἐν τῶι ἐγγεγραμμένωι σχήματι ἴσος τῶι κοινὰν ἔχοντι πλευρὰν τομεῖ τῶν ἐν τῶι περιγεγραμ μένωι σχήματι τομέων. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ πάντες οἱ τομέες πάν τεσσιν ἴσοι ἐσοῦνται· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῶι χωρίωι τῶι περιγεγραμμέ νωι περὶ τὸ χωρίον σχήματι χω ρὶς τοῦ ΘΑΚ τομέως· μόνος γὰρ οὗτος λέλαπται τῶν ἐν τῶι περιγεγραμμένωι σχήματι. δῆ λον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖ ζόν ἐστι τῶι ΑΚΘ τομεῖ, ὃς ἐλάσ σων ἐστὶν τοῦ προτεθέντος. ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι δυνατόν ἐστι περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον σχῆ μα, οἷον εἴρηται, γράφειν, ὥστε τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἔλασσόν ἐστι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρί ου, καὶ πάλιν ἐγγράφειν, ὥστε τὸ χωρίον ὁμοίως μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσ σονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου. κγ λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπὸ τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι γεγραμμέ νας καὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐστι δευ τέρα τᾶν ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς πε ριφορᾶς, δυνατόν ἐστι περὶ αὐ τὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγρά ψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκεί μενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος μεῖζον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου. ἔστω ἕ λιξ, ἐφ’ ἇι ἁ ΑΒΓΔΕ, ἐν τᾶι δευτέ ραι περιφορᾶι γεγραμμένα, καὶ ἔστω τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΑΘ ἀρχὰ τᾶς πε ριφορᾶς, ἁ δὲ ΕΑ ἁ δευτέρα εὐθεῖ α τᾶν ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς, δὲ ΑΖΗ κύκλος ἔστω δεύτερος καὶ αἱ ΑΓΗ, ΖΙ διάμετροι αὐτοῦ ποτ’ ὀρ θὰς ἀλλάλαις. πάλιν οὖν δίχα τεμνομένας τᾶς ὀρθᾶς γωνίας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρθὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον ἔλασσον τοῦ προτεθέντος· καὶ ἔστω γεγε νημένος ὁ ΘΚΑ τομεὺς ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος χωρίου. διαι ρεθεισᾶν δὴ τᾶν ὀρθᾶν γωνι ᾶν εἰς τὰς ἴσας γωνίας τᾶι ὑ πὸ τᾶν ΚΘΑ καὶ τῶν ἄλλων κατα σκευασθέντων κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον ἐσσεῖται τὸ περιγε γραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμ μένου σχήματος μείζων ἐλάσ σονι ἢ ὁ τομεὺς ὁ ΘΚΑ· μείζων γὰρ ἐσσεῖται α υπεροχα, ἇι ὑπερ έχει ὁ ΘΚΑ τομεὺς τοῦ ΘΕΡ. δῆλον οὖν, ὅτι δυνατόν ἐστιν καὶ τὸ περιγρα φὲν σχῆμα τοῦ λαφθέντος χωρί ου μείζων εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου, καὶ πάλιν τὸ λαφθὲν χωρίον μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήμα τος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προ τεθέντος χωρίου. διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου φανερὸν δι ότι δυνατὸν λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιαιοῦν περιφορᾶι γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν λεγομέ νας περιγράψαι σχῆμα, οἷον εἴρη ται, ἐπίπεδον, ἔστω τὸ περιγρα φὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ λα φθέντος χωρίου ἐλάσσονι παν τὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου, καὶ πάλιν ἐγγράψαι, ὥστε τὸ λαφθὲν χωρίον μεῖζον εἶμεν τοῦ ἐγ γραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου. κδ λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος, ἅ ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾶι περιφορᾶι γεγραμμένας, οὐκ ἐχούσας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς ἕλικος ἀγομενᾶν δυνατόν ἐστι περὶ τὸ χωρίον σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος μείζονι μὲν ἐλάσ σονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χω ρίου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕ, πέρατα δὲ αὐτᾶς τὰ Α, Ε, ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΘΕ. γεγρά φθω δὴ κύκλος κέντρωι μὲν τῶι Θ, διαστήματι δὲ τῶι ΘΑ, καὶ συμπιπτέτω τᾶι ΘΕ κατὰ τὸ ΖΑ. εἰ δὲ τᾶς γωνίας τᾶς ποτὶ τὸ Θ καὶ τοῦ τομέως τοῦ ΘΑΖ δίχα τεμνομένων ἐσσεῖται τὸ καταλει πόμενον τοῦ προτεθέντος ἐ λάσσων. ἔστω ἐλάσσων ὁ τομεὺς ὁ ΘΑΚ τοῦ προτεθέντος. ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον γεγράφθωσαν κύκλοι διὰ τῶν σαμείων, καθ’ ἃ τέμνοντι τὰν ἕλικα αἱ τὰς ἴσας γωνίας ποιοῦσαι ποτὶ τᾶι Θ, ὥσ τε τᾶν περιφερειᾶν ἑκάστα συμπίπτειν τᾶι τε προαγευμέναι καὶ τᾶι ἑπομέναι· ἐσσεῖται δή τι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ, ΘΕ εὐθει ᾶν περιγεγραμμένον σχῆμα ἐ πίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκεί μενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμμένον, καὶ τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμ μένου ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ προ τεθέντος χωρίου· ἐλάσσων γάρ ἐστιν ὁ ΘΑΚ τομεύς. ἐκ τούτου φανερόν ἐστιν, ὅτι δυνατόν ἐστιν περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον ἐπίπεδον, οἷον εἴρηται, περι γράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου, κε τὸ περιλαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώται περι φορᾶι γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐ θείας τᾶς πρώτας τᾶν ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κύκλου τοῦ πρώτου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕΘ, ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμ μένα, ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΑ εὐ θεῖα πρώτα ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς, ὁ δὲ ΑΝΖΗΙ κύκλος πρῶτος, οὗ τρίτον μέρος ἔστω ἐ ν ὧι Ϙ κύκλος. δεικτέον, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ προειρημένον χωρίον τῶι Ϙ κύκλωι. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον. ἔστω πρότερον, εἰ δυ νατόν, ἔλασσον. δυνατὸν δή ἐστιν περὶ τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων το μέων, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆ μα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσ σονι τᾶς ὑπεροχᾶς, ἇι ὑπερέ χει ὁ Ϙ κύκλος τοῦ εἰρημένου χω ρίου. περιγεγράφθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ εἰρημένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΑΚ, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΕΟ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Ϙ κύκλου. ἐκβε βλήσθωσαν δὲ εὐθεῖαι ποτὶ τὸ Θ ποι οῦσαι τὰς ἴσας γωνίας, ἔστ’ ἂν πο τὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι· ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσαι τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι, ἇν ἐστι μείζων μὲν ἁ ΘΑ, ἐλάσσων δὲ ἁ ΘΕ, καὶ ἁ ἐλα χίστα ἴσα τᾶι ὑπεροχᾶι, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι τινὲς γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ποτιπίπτουσαι τῶι μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῶι δὲ με γέθει ἑκάστα ἴσα τᾶι μεγίσται, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ πασᾶν ὁμοῖοι τομέες, ἀπό τε τᾶν τῶι ἴ σωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσται· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται ἐλάσ σονές ἐντι ἢ τριπλάσιοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν· δέδεικται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσται ἴσοι τῶι ΑΖΗΙ κύκλωι, οἱ δὲ τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλ λαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἴσοι τῶι προγεγραμμένωι σχήματι· ἐ λάσσων ἄρα ὁ ΑΖΗΙΚ κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήμα τος ἢ τριπλασίων. τοῦ δὲ Ϙ κύ κλου τριπλασίων· ἐλάσσων ἄρα ὁ Ϙ κύκλος τοῦ περιγεγραμμέ νου σχήματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ περιεχό μενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ ΔΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ ἐλάσ σων τοῦ Ϙ χωρίου. ἑξῆς τὸ σχᾶμα κϛ οὐδὲ τοίνυν μεῖζον. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, μεῖζον. ἔστι δὴ πάλιν δυ νατὸν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπὸ τᾶς ΑΒΓΔΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας ἐγγράψαι σχῆμα, ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος μεῖ ζον εἶμεν ἐλάσσονι ἢ ὧι ὑπερέχει τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ Ϙ κύκλου. ἐγγεγράφθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγ γεγραμμένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΡΞ, ἐλάσσων δὲ ὁ ΘΕ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μειζωον ἐστιν τοῦ Ϙ κύκλου. ἐκ βεβλήστωσαν δὴ αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γωνίας ποτὶ τὸ Θ, ἔσ τ’ ἄν κα ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου πε ριφέρειαν πέσωντι. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῶι ἴσωι ἀλ λαλᾶν ὑπερέχουσαι ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπίπτου σαι, ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐ λαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, καί ἐστιν ἁ ἐλα χίστα ἴσα τᾶι ὑπεροχᾶι, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου περι φέρειαν ποτιπίπτουσαι τῶι μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῶι δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾶι μεγίσται, καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ πα σᾶν ὁμοῖοι τομέες ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσ ται καὶ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλα λᾶν ὑπερεχουσᾶν· οἱ ἄρα τομέ ες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται μείζονές ἐν τε ἢ τριπλάσιοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας· δέδεικται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται ἴσοι τῶι ΑΖΗΙ κύκλωι, οἱ δὲ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ὑπὸ τᾶς μεγίστας ἴσοι τῶι ἐγγεγραμμένωι σχήματι· μείζων ἄρα ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ἢ τρι πλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου σχή ματος. τοῦ Ϙ κύκλου τριπλασίων· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ Ϙ κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος. οὐκ ἔστιν δέ, ἀλλὰ ἐλάσ σων· οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ μεῖζον τὸ χωρίον τὸ ὑπό τε τᾶς ΑΒΗΕΘ ἕλι κος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας τοῦ Ϙ κύ κλου. ἴσος ἄρα ἐστίν τῶι περιλα φθέντι ὑπὸ τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας. κζ χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι δευτέ ραι περιφορᾶι γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας τᾶν ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς ποτὶ τὸν δεύτερον κύκλον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ζ ποτὶ τὰ ιβ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῶι ὃν ἔχει τὰ συναμφότερα τό τε περιεχόμε νον ὑπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ β κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ α κύκλου καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπερο χᾶς, ἇι ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ β κύκλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ α κύκλου ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ β κύκλου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒ ΓΔΕ, ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι γεγραμμένα, ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σα μεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΕ εὐθεῖα ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφο ρᾶς ἁ πρώτα, ἁ δὲ ΑΕ ἐν τᾶι ἀρ χᾶι τᾶς περιφορᾶς ἁ δευτέρα, ὁ δὲ κύκλος ὁ ΑΖΗΙ ὁ δεύτερος ἔστω, καὶ αἱ ΑΗ, ΙΖ διάμετροι ποτ’ ὀρθὰς ἀλλάλαις. δεικτέον ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας ποτὶ τὸν ΑΖΗΙ κύ κλον λόγον ἔχει, ὃν τὰ ζ ποτὶ ιβ. ἔστω δή τις κύκλος ὁ Ϙ, ἁ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ϙ κύκλου δυνάμει ἴ σα τῶι τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ περιε χομένωι καὶ τῶι τρίτωι μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου· ἕ ξει δὴ ὁ Ϙ κύκλος ποτὶ τὸν ΑΗΖΙ ὡς ἑπτὰ ποτὶ δώδεκα, διότι καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου τοῦτον ἔχει δυνάμει τὸν λόγον. δειχθή σεται οὖν ἴσος ὁ Ϙ κύκλος τῶι περι εχομένωι χωρίωι ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐ θείας. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἔστω δὴ πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων. δυνατὸν δή ἐστι περὶ τὸ χωρίον περιγρά ψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοί ων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι ἢ ὧι ὑ περέχει ὁ Ϙ κύκλος τοῦ χωρίου. περιγεγράφθω, καὶ ἔστω, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΑΚ το μεύς, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΟΔ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγραφὲν σχῆμα ἔλασσόν ἐστιν τοῦ κύκλου. ἐκ βεβλήσθωσαν αἱ εὐθεῖαι αἱ ποι οῦσαι ποτὶ εὸ Θ ἴσας γωνίας, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ δευτέρου κύκλου περιφέρειαν πέσων τι. ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσιν, ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὰν τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου πε ριφέρειαν ποτιπίπτουσαι, τῶι μὲν πλήθει μιᾶι ἐλάσσονες ἑαυ τᾶν, τῶι δὲ μεγέθει ἀλλάλαις τε ἴσαι καὶ τᾶι μεγίσται, καὶ ἀνα γεγράφαται ὁμοῖοι τομέες ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται καὶ ἀ πὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν, ἀπὸ δὲ τᾶς ἐλαχίστας οὐκ ἀναγεγράφεται· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λό γον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τᾶς ΘΑ πο τὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου· δέδεικται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ τοῖς μὲν τομέσι τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλας καὶ τᾶι μεγίσται ἴσος ὁ ΑΖΗΙ κύκλος, τοῖς δὲ τομέεσσι τοῖς ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χω ρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἴσον τὸ περιγεγραμμένον· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ κύκλος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΘ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου. ὃν δὲ ἔχει λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΑΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τε τραγώνου, τοῦτον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸν Ϙ κύκλον· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸ περι γεγραμμένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Ϙ κύκλον· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ὁ Ϙ κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ Ϙ κύκλος τοῦ χωρίου τοῦ πε ριεχομένου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλι κος καὶ τᾶς ΑΖ εὐθείας. οὐδὲ τοίνυν ἐλάσσων. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, ἐλάσσων. πάλιν οὖν δυ νατόν ἐστιν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιε χόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας ἐγγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ ὁμοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιεχόμε νον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕ λικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας μείζο νι μὲν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήμα τος ἐλάσσονι, ἢ ὧι ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χωρίον τοῦ Ϙ κύκλου. ἐγγε γράφθω οὖν, καὶ ἔστω τῶν τομέ ων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμέ νον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΚΡ το μεύς, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΕΟ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖζόν ἐστι τοῦ Ϙ κύκλου. ἐκβε βλήσθωσαν αἱ ποιοῦσαι ἴσας γω νίας ποτὶ τῶι Θ, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα πο τιπίπτουσαι, ἇν μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ποτιπίπτουσαι τῶι μὲν πλήθει μίαν ἐλάσσους ταῦτα, τῶι δὲ με γέθει ἴσαι ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσται, καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν ὁμοῖοι τομέες καὶ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι μεγίσται· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι με γίσται ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀ πὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερε χουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγί στας μείζονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ πο τὶ τὰ συναμφότερα τό τε περιε χόμενον ὑπό τε τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετρα γώνου. ἔστι δὲ τοῖς μὲν τομεῦσι τοῖς ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερ εχουσᾶν χωρὶς τοῦ ὑπὸ τᾶς μεγί στας ἴσον τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆ μα ἐν τῶι χωρίωι, τοῖς δὲ ἑτέροις ὁ κύκλος· μείζονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΑΗΖΙ κύκλος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμ μένον σχῆμα ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου, τουτέστιν ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸν Ϙ κύκλον. μεί ζων ἄρα ἐστὶν ὁ Ϙ κύκλος τοῦ ἐγ γεγραμμένου σχήματος· ὅπερ ἀδύνατον· ἦν γὰρ ἐλάσσων. οὐ κ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Ϙ κύκλος τοῦ περιεχομένου χω ρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας· ὥστε ἴσος. διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχθήσε ται καὶ διότι τὸ περιλαφθὲν χω ρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁ ποιαιοῦν περιφορᾶι γεγραμμέ νας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν ταῖς περιφο ραῖς λεγομένας ποτὶ τὸν κύκλον τὸν ποτὶ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν λε γόμενον ταῖς περιφοραῖς λόγον ἔχει, ὃν συναμφότερον τό τε ὑ πὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τὸ κατὰ τὸ μενι ἐλάσσονα τᾶν περιφο ρᾶν λεγομένου καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ἇι ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τῶν εἰρημένων τᾶς ἐκ τοῦ κέν τρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τῶν εἰρημένων, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τῶν εἰρημένων. τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος, ἅ ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾶι περιφορᾶι γεγραμ μένας, οὐκ ἐχούσας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τᾶν εὐ θειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων αὐτᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλι κος ἀγμενᾶν ποτὶ τὸν τομέα τὸν ἔχοντα τὰν μὲν ἐκ τοῦ κέν τρου ἴσαν τᾶι μείζονι τᾶν ἀπὸ τοῦ πέρατος ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγμενᾶν, τὰν δὲ περι φέρειαν, ἅ ἐστι τᾶι μεταξὺ τᾶν εἰρημενᾶν εὐθειᾶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τᾶι ἕλικι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε πε ριεχόμενον ἀπὸ τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγομέναν καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ἇι ὑπερέχει ἁ μεί ζων τᾶν εἰρημενᾶν εὐθειᾶν τᾶς ἐλάσσονος, ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μείζονος τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιζευχθεισᾶν. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕ, ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾶι περιφορᾶι γεγραμ μένας, πέρατα δὲ αὐτᾶς ἔστω τὰ Α, Ε, ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον, καὶ κέντρωι μὲν τῶι Θ, διαστήματι δὲ τῶι ΘΑ κύ κλος γεγράφθω, καὶ συμπιπτέτω τᾶι περιφερείαι αὐτοῦ ἁ ΘΕ κατὰ τὸ Ζ. δεικτέον ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ΑΘ, ΘΕ ποτὶ τὸν τομέα τὸν ΑΘΖ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ. ἔστω δὴ κύ κλος, ἐν ὧι ϘΧ, τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἔ χων ἴσαν δύναμιν τῶι τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τῶι τρίτωι μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ, ποτὶ δὲ τῶι κέντρωι αὐτοῦ γωνία ἴσα τᾶι ποτὶ τῶι Θ· ὁ δὴ τομεὺς ὁ ϘΧ ποτὶ τὸν τομέα τὸν ΘΑΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετρα γώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ τετρά γωνον· αἱ γὰρ ἐκ τῶν κέντρων τοῦτον ἔχοντι τὸν λόγον δυνάμει ποτ’ ἀλλάλας. δειχθήσεται δὴ ὁ ΧϘ τομεὺς ἴσος ἐὼν τῶι χωρίωι τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ, ΘΕ εὐ θειᾶν. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἢ ἐ λάττων. ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων. δυνατὸν οὖν ἐστιν περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέ ων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγρα φόμενον σχῆμα μείζονι μὲν τοῦ εἰρημένου χωρίου ἐλάσσονι ἢ ἁ λίκωι ὑπερέχει ὁ ϘΧ τομεὺς τοῦ εἰρημένου χωρίου. περιγεγρά φθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ περιγεγραμμένον σχῆ μα, μείζων μὲν ὁ ΘΑΚ, ἐλάσσων δὲ ὁ ΘΟΔ· δῆλον, ὅτι τὸ περιγεγραμ μένον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΧϘ τομέως. διάχθωσαν δὴ εὐ θεῖαι αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γω νίας ποτὶ τὸ Θ, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ ΘΑΖ τομέως πέσωντι. ἐντὶ δή τινες εὐθεῖαι τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι, αἱ ἀ πὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσαι, ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλ λαι εὐθεῖαι ἐν μὲν τῶι πλήθει μιᾶι ἐλάσσονες ταυτᾶν, τῶι δὲ μεγέθει ἴσαι ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσται, αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΑΘΖ τομέως περιφέρειαν ποτιπί πτουσαι χωρὶς τᾶς ΘΖ, καὶ ἀνα γεγράφαται ὁμοῖοι τομέες ἀ πὸ πασᾶν, ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλ λάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσται καὶ ἀ πὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν, ἀπὸ δὲ τᾶς ΘΕ οὐκ ἀ ναγέγραπται· τομέες οὖν οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι με γίσται ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀ πὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐ λαχίστας τομέως ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ συναμφότερα τά τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετραγώνου. ἔστι δὲ τοῖς μὲν τομέεσσιν τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσται ἴσος ὁ ΘΑΖ τομεύς, τοῖς δὲ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑ περεχουσᾶν τὸ περιγεγραμμέ νον· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΘΑΖ τομεὺς ποτὶ τὸ περιγε γραμμένον σχῆμα ἢ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΖΕ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ἀ πὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ εἰρημένα, τοῦτον τὸν λόγον ἔχει ὁ ΘΑΖ το μεὺς ποτὶ τὸν Χ τομέα· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ὁ Χ τομεὺς τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα ἐσσεῖται ὁ Χ τομεὺς μείζων τοῦ περι εχομένου χωρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ, ΘΕ εὐθειᾶν. λ οὐδὲ τοίνυν ἐλάσσων. ἔστω γὰρ ἐλάσσων, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευ άσθω. πάλιν δὴ δυνατόν ἐστιν εἰς τὸ χωρίον ἐγγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον μείζονι μὲν τὸ τοῦ ἐγ γραφέντος σχήματος ἐλάσσο νι ἢ ἁλίκωι ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χω ρίον τοῦ Χ τομέως. ἐγγεγράφθω οὖν, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆ μα, μεῖζον μὲν ὁ ΘΒΓ, ἔλασσον δὲ ὁ ΘΕ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμέ νον σχῆμα μεῖζόν ἐστι τοῦ Χ τομέ ως. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμ μαὶ τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέ χουσαι ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλι κα ποτιπίπτουσαι, ἇν ἐστι με γίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΘΑΖ το μέως περιφέρειαν ποτιπί πτουσαι χωρὶς τᾶς ΘΑ τῶι μὲν πλήθει μιᾶι ἐλάσσονες τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν, τῶι δὲ μεγέθει ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσται ἴσαι, καὶ ἀναγεγρά φεται ἀπὸ ἑκάστας ὁμοῖοι το μέες, ἀπὸ δὲ τᾶς μεγίστας τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν οὐκ ἀναγέγραπται· οἱ τομέες οὖν οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶι μεγίσται ποτὶ τοὺς το μέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀ πὸ τᾶς ΕΖ· ὥστε καὶ ὁ ΘΑΖ τομεὺς ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ποτὶ τὸν Χ τομέα· ὥστε μείζων ὁ ΧϘ τομεὺς τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ ἐλάσσων· οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Χ τομεὺς τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ, ΘΕ εὐ θειᾶν· ἴσος ἄρα. λα τῶν χωρίων τῶν περιεχομένων ὑπό τε τᾶν ἑλίκων καὶ τᾶν εὐ θειᾶν τᾶν ἐν τᾶι περιφορᾶι τὸ μὲν γ τοῦ β διπλάσιόν ἐστι, τὸ δὲ δ τριπλάσιον, τὸ δὲ ε τετραπλά σιον, καὶ ἀεὶ τὸ ἑπόμενον κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς πολλαπλά σιον τοῦ δευτέρου χωρίου, τὸ δὲ α χωρίον ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ δευτέρου. ἔστω ἁ προκειμένα ἕλιξ ἔν τε τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμ μένα καὶ ἐν τᾶι δευτέραι καὶ ἐν ταῖς ἑπομέναις ὁποσαισοῦν, ἔστω ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον, ἁ δὲ ΘΕ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, τῶν δὲ χωρίων ἔστω τὸ μὲν Κ τὸ α, τὸ δὲ Λ τὸ β, τὸ δὲ Μ τὸ γ, τὸ δὲ Ν τὸ δ, τὸ δὲ Ξ τὸ ε. δει κτέον ὅτι τὸ μὲν Κ χωρίον ϛ μέρος ἐστὶ τοῦ ἑπομένου, τὸ δὲ Μ δι πλάσιον τοῦ Λ, τὸ δὲ νγπ τοῦ Λ, καὶ τῶν ἑξῆς ἀεὶ τὸ ἑπόμενον πολλαπλάσιον τοῦ Λ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμούς. ὅτι μὲν οὖν τὸ Κ ϛ μέρος ἐστὶ τοῦ Λ, ὧδε δείκνυται. ἐπεὶ τὸ ΚΛ χωρίον ποτὶ τὸν β κύκλον δέδεικται τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ζ ποτὶ τὰ ιβ, ὁ δὲ β κύ κλος ποτὶ τὸν α κύκλον ὡς ιβ πο τὶ τὰ γ· δῆλον γάρ ἐστιν· ὁ δὲ α κύκλος ποτὶ τὸ Κ χωρίον ἔχει ὡς γ ποτὶ α, ϛ ἄρα ἐστὶ τὸ Κ χωρίον τοῦ Α. πά λιν δὲ καὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον ποτὶ τὸν γ κύκλον δέδεικται ὅτι τοῦτον ἔ χει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότε ρον τό τε ὑπὸ ΓΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΓΒ τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ τετράγωνον. ὁ δὲ γ κύ κλος ἔχει ποτὶ τὸν β κύκλον ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΓΘ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΒ, ὁ δὲ β κύκλος ἔχει πο τὶ τὸ ΚΛ χωρίον ὃν τὸ ἀπὸ ΒΘ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμφότε ρα τό τε ὑπὸ τᾶν ΒΘ, ΘΑ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετρα γώνου. ταῦτα δὲ ἔχει ποτὶ ἄλλαλα λόγον, ὃν ιθ ποτὶ τὰ ζ· ὥστε καὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον ποτὶ τὸ ΛΚ χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ιθ ποτὶ τὰ ζ· αὐτὸ οὖν τὸ Μ ποτὶ τὸ ΚΛ λό γον ἔχει, ὃν τὰ ιβ ποτὶ τὰ ζ. τὸ δὲ ΚΛ ποτὶ τὸ Λ λόγον ἔχει, ὃν τὰ ιβ ποτὶ τὰ ζ. τὸ δὲ ΚΛ ποτὶ τὸ Λ λό γον ἔχει, ὃν τὰ ζ ποτὶ τὰ ϛ· δῆλον οὖν ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ Μ τοῦ Λ. ὅτι δὲ τὰ ἑπόμενα τὸν τῶν ἑξῆς ἀριθμῶν λόγον ἔχει, δειχθήσεται. τὸ γὰρ ΗΚΛ ΜΝΞ ποτὶ τὸν κύκλον, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΕ, τοῦ τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμ φότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΕΘ, ΘΔ πε ριεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΔΕ τετραγώνου πο τὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΕ τετράγωνον. ὁ δὲ κύκλος, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΕ, ποτὶ τὸν κύκλον, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΔ, τοῦτον ἔχει τὸν λό γον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΕ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΔ τετράγωνον, ὁ δὲ κύκλος, οὗ ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέν τρου ἁ ΔΘ, ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΔ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΔ, ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΔΕ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΘ, ΘΓ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΔΓ· διελόν τι καὶ τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ ΚΛΜΝ λόγον ἔχει, ὃν ἁ ὑπεροχὰ τοῦ τε ὑ πὸ ΕΘ, ΘΔ μετὰ τοῦ τρίτου μέρεος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΔ ποτί τε τὸ ὑπὸ τᾶν ΔΘ, ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀ πὸ τᾶς ΔΓ· ὑπερέχει δὲ τὰ συναμ φότερα τῶν συναμφοτέρων, ὧι καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΕΘΔ τοῦ ὑπὸ τᾶν ΔΘΓ, ὑπερέχει δὲ τῶι ὑπὸ τᾶν ὑπερέχει δὲ τῶι ὑπὸ τᾶν καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ, τὸ δὲ ΝΠ χωρίον ποτὶ τὸ Π τοῦ τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὰ συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΑΘ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετρα γώνου, ἕξει καὶ τὸ Ξ ποτὶ τὸ Π τοῦτον τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ δύο τρι ταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ. τὰ δὲ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗΗΑ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗΑ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώ νου τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα ἅ τε ΘΗ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφοτέραν τὰν ΘΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς ΗΑ· δῆλον οὖν, ὅτι καὶ τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ Ν χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν συναμφότερα ἅ τε ΘΗ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τὰν ΘΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς ΗΑ. Ἀρχιμήδους περὶ ἑλίκων