Spiral Lines Archimedes Sponsor The Owner of the Archimedes Palimpsest Responsible for primary transcription (Dublin Core creator) Reviel Netz Responsible for primary transcription (Dublin Core creator) Nigel Wilson Contributor Mike Toth Contributor William Noel Contributor Doug Emery Contributor Alexander Lee Owner of the Archimedes Palimpsest 2008

Licensed for use under Creative Commons Attribution 3.0 Unported, license http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode.

It is requested that copies of any published articles based on the information in this data set be sent to The Curator of Manuscripts, The Walters Art Museum, 600 North Charles Street, Baltimore MD 21201.

 Privately owned parchment codex: "The Archimedes Palimpsest". Multispectral Digital Image Product of the Archimedes Palimpsest (The Owner of the Archimedes Palimpsest, 2008). Heiberg, J. L., Archimedis Opera omnia cum commentariis Eutocii (Leipzig: Teubner, 1910–15; reprinted 1972). Christie’s New York, 29th October 1998 Sale, no. 9058, The Archimedes Palimpsest. A. Papadopoulos-Kerameus, Hierosolymitike Bibliotheke, vol. 4 (St Petersburg, 1899), 329–331, MS 355. 10th Century Manuscript 13th Century Manuscript Archimedes Palimpsest Byzantine Manuscript Content: Against Diondas Content: Against Timandros Content: Archimedes Content: Aristotle Content: Categories Content: Hyperides Content: J. L. Heiberg Content: Method Content: On Floating Bodies Content: On Spiral Lines Content: On the Equilibrium of Planes Content: On the Measurement of the Circle Content: On the Sphere and Cylinder Content: Stomachion Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of undertext Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of columnar undertext Greek Manuscript J. L. Heiberg Parchment Manuscript Private Collection accented ancient Greek in Unicode-C Greek characters English Content: Archimedes Content: On Spiral Lines Archimedes Palimpsest Greek Manuscript Byzantine Manuscript Parchment Manuscript 13th Century Manuscript 10th Century Manuscript Private Collection Foliation scheme: Undertext foliation, ordered by sequence of columnar undertext σαμεῖον, ὁ ΜΝ· ἐν τούτωι δὴ τῶι χρόνωι καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ΖΗ. πάλιν δὴ καὶ ἐν ὧ τὰν ΔΕ γραμμὰν δι επορεύετο τὸ σαμεῖον, ἔστω ὁ ΝΞ χρόνος· ἐν τούτω δὴ καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ΗΘ· τὸν αὐτὸν δὴ λόγον ἑξοῦντι ἅ τε ΓΔ ποτὶ τὰν ΔΕ γραμμάν, ὃν ὁ χρόνος ὁ ΜΝ ποτὶ ΝΞ, καὶ ἁ ΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ, ὃν ὁ χρόνος ὁ ΜΝ ποτὶ τὸν ΝΞ. δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΓΔ ποτὶ τὰν ΔΕ, ὃν ΑΖΗ ποτὶ τὰν ΗΘ.
Figure 2.1
Γ Κύκλων δοθέντων ὁποσων οῦν τῶι πλήθει δυνατόν ἐστιν εὐθεῖ εὐθεῖαν λαβεῖν μείζονα ἐοῦσαν τᾶν τῶ τῶν κύκλων περιφερειᾶν. γραφέντ περιγραφέντος γὰρ περὶ ἕκαστον τῶν κύκλων πολυγώνου δῆλον ὡς ἁ ἐκ πα σῶν συγκειμένη τᾶν περιμέ τρων εὐθεῖα μείζων ἔσται πα σᾶν τᾶν τῶν κύκλων περιφε μένα ὑπερέξει τᾶς εὐθείας, εἰς τοσαῦτα ἴσα διαιρεθείσας τᾶς εὐθείας τὸ ἓν τμᾶμα ἔλασσον ἐσσεῖ ται τᾶς ὑπεροχᾶς. εἶμεν οὖν κα ἦ ἁ περιφέρεια μείζων τᾶς εὐ θείας, ἑνὸς τμάματος ποτι τεθέντος ποτὶ τὰν εὐθεῖαν τᾶς μὲν ἐλάσσονος τᾶν δοθεισᾶν δῆλον ὡς μείζων ἐσσεῖται, τᾶς δὲ μείζονος ἐλάσσων· καὶ γὰρ ἁ ποτικειμένα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ὑπεροχᾶς. κύκλου δοθέντος καὶ εὐθείας ἐπιψαυούσας τοῦ κύκλου δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀγαγεῖν εὐθεῖ αν ἐπὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἢ ἁ περι φέρεια τοῦ κύκλου ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς διαχθείσας πο τὶ τὰν δοθεῖσαν ὁποιανοῦν κύ κλου περιφέρειαν. δεδόσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Κ, καὶ ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου ἁ ΔΖ κατὰ τὸ Β, δεδόσθω δὲ καὶ κύκλου περι ἔχει ποτὶ τὰν ΘΚ, ὃν ἁ ΒΘ ποτὶ τὰ τὰν ΘΗ. ἁ ἄρα ΖΘ ποτὶ τὰν ΘΚ ἐλάσσο να λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἁ ΒΘ περιφέρει α ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρει περιφέρειαν , δι διότι ἁ μὲν ΒΘ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΘ περιφερείας, ἁ δὲ ΘΗ μεί ζων τᾶς δοθείσας περιφερεία περιφερείας · ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει καὶ ἁ ΖΘ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἁ ΒΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν. ἑξῆς τὸ ΣΧΑΜΑ. κύκλου δοθέντος καὶ ἐν τῶι κύκλωι γραμμᾶς ἐλάσσονος τᾶς διαμέ τρου δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτὶ τὰν περιφέρειαν αὐτοῦ ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν τέμν τέμνου σαν τὰν ἐν τῶι κύκλωι δεδομέν δεδομέναν γραμμάν, ὥστε τὰν ἀποληφθεῖ σαν εὐθεῖαν μεταξὺ τᾶς περιφε ρείας καὶ τᾶς τε εὐθείας τᾶς ἐν τῶι κύκλω δεδομένας ποτὶ τὰν ἐπι ζευχθεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ποτιπεσούσας τοῦ ἐπὶ τᾶς περιφε ρείας ποτὶ τὸ ἕτερον μέρος τᾶς ἐν τῶι κύκλωι δεδομένας εὐθεί εὐθείας τὸν ταχθέντα λόγον ἔχειν, εἰ καὶ ὁ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων ἦι τοῦ κεντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Κ, καὶ ἐν αὐτῶι δεδόσθω εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΓΑ, καὶ λόγον ἔχει ἁ Ζ πρὸς Η, ἐλάσσω ἐλάσσων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΚΘ, καθέ του οὔσας τᾶς ΚΘ· ἄχθω δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου παρὰ τὰν ΑΓ ἁ ΚΝ καὶ τᾶ ΚΓ πρὸς ὀρθὰς ἁ ΓΛ· ὁμοῖα δή ἐστι τὰ ΓΘΚ ΓΚΛ τρίγωνα. ἔστιν οὖν ὡς ἁ ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ οὕτως ἁ ΚΓ πο τὶ τὰν ΓΛ· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η ἢ ἁ ΚΓ ποτὶ τὰν ΓΛ. ὃν δὴ λόγον ἔχει ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η, τοῦτον ἐχέτω πρὸς μείζονα τᾶς ΓΛ. ἐ χέτω τὰν ΒΗ, κείσθω δὲ ἁ ΒΝ με ταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας διὰ τοῦ Γ· δυνατὸν δέ ἐστι ἐστιν οὕτως τέμνειν· καὶ πεσείτω ἐκτ ἐκτός , ἐπὶ μείζων ἐστὶν τᾶς ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ἁ ΚΓ ποτὶ ΒΝ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγ λόγον , ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η, καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΓ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὃν ἁ Ζ ποτὶ Η. ἑξ ἑξῆς τὸ ΣΧΑΜΑ.
Figure 6.1
ΞΓ πρὸς ΚΒ, καὶ λοιπὰ ἁ ΙΓ ποτὶ λοιπὰν τὰν ΒΕ ἐστὶν ὡς ἁ ΞΓ ποτὶ ΓΚ. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΞΓ ποτὶ ΓΚ, τοῦ τον ἔχει ἁ Η ποτὶ Ζ· ποτιπέπτωκε δὴ ἁ ΚΕ ποτὶ τὰν ἐκβεβλημένα ἐκβεβλημέναν , καὶ ἁ μεταξὺ τᾶς ἐκβεβλημένας καὶ τᾶς περιφερείας ἁ ΒΕ ποτὶ τὰ τὰν ΓΙ τὰν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας ἀ πολαφθεῖσαν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγ λόγον , ὃν ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η. ἑξ ἑξῆς Α ΚΑΤΑΓΡΑΦΑ. εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεθέωντι ὁπο σαιοῦν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερ έχουσαι, ἦ δὲ ἁ ὑπεροχὰ ἴσα τᾶι ἐλαχίστα, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεθέωντι τῶι μὲν πλήθει ἴσα ταύταις, τῶι δὲ μεγέθει ἑκάστα μεγίστα, τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τὰ μέγιστα ποτιλαμβά νοντα τό τε ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετράγωνον καὶ τὸ περιεχόμε νον ὑπό τε τᾶς ἐλαχίστας καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς τῶι ἴσ ἴσω ἀλλαλᾶν ὑπερεχούσαις τριπλ τριπλά σια ἐσσοῦνται τῶν τετραγώνω τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν.
Figure 10.1
Ἔστωσαν γραμμαὶ ὁποσαιοῦν ἐφε ξῆς κείμεναι τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑ περέχουσαι αἱ ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ, ἁ δὲ Θ ἴσα ἔστω τῆι ὑπεροχᾶι, ποτικεί σθω δὲ ποτὶ τὰν Β ἴσα τᾶι Θ ἁ Ι, πο τί τε δὲ τὰν Γ ἁ Κ ἴσα τᾶ Η, ποτὶ δὲ τὰν Δ ἁ Λ ἴσα τᾶ Ζ, ποτὶ δὲ τὰν Ε ἁ Μ ἴσα τᾶι Ε, ποτὶ δὲ τὰν Ζ ἁ Ν ἴσα τᾶι Δ, ποτὶ δὲ τὰν Η ἁ Ξ ἴσα τᾶι Γ, πο τὶ δὲ τὰν Θ ἁ Ο ἴσηι τῆι Β· ἐσσοῦνται δὲ αἱ γενόμεναι ἴσαι ἀλλήλαις καὶ τᾶι μεγίστα. δεικτέον οὖν ὅτι τὰ τετρά γωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν τε Α καὶ τᾶν γενομενᾶν ποτιλαβόντα τό τε ἀπὸ τᾶς Α τεράγωνον καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ τρι πλάσιά ἐντι τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ. ἔστιν δὴ τὸ μὲν ἀπὸ τᾶς ΒΙ τε τράγωνον ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΙΒ τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τᾶν ΒΙ περιεχομένοις, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΓ τετραγώ νοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τῶν ΚΓ περι εχομένων· ὁμοίως δὴ καὶ τὰ ἀ πὸ τᾶν ἀλλᾶν τᾶν ἰσᾶν τᾶι Α τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τετραγώνοις καὶ δυσὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων περι εχομένοις. τὰ μὲν οὖν ἀπὸ τᾶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ΙΚ ΛΜ, ΝΞ ΟΠ ποτιλαβόντα τὸ ἀπὸ τᾶς Α τετράγωνον διπλάσιά ἐντι τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ τετραγώνοις· λοιπὸν δὲ ἐπιδείξομεν ὅτι τὰ δι πλάσια τῶ τῶν περιεχομένων ὑ πὸ τῶν τμαμάτων ἐν ε και τε γραμμᾶι τᾶν ἰσᾶν τᾶι Α ποτι λαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ. καὶ ἐπὶ δύο μὲν τὰ ὑπὸ ΒΙ περιεχόμενα ἴσα δυσὶ τοῖς ὑπὸ τῶν ΒΘ περιεχο μένοις, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τῶν ΚΓ ἴ σα τῶι περιεχομένω ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς τετραπλασία τᾶς Γ διὰ τὸ τὰν Κ διπλασίονα εἶ μεν τᾶς Θ, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τῶν ΔΛ ἴσα τῶι ὑπὸ τᾶς Θ καὶ τᾶς ἑξα πλασίας Δ διὰ τὰν Λ τριπλα σίαν εἶμεν τᾶς Θ, ὁμοίως δὲ καὶ τἄλλα τὰ διπλάσια τὰ περιε χόμενα ὑπὸ τᾶν τμαμάτω τμαμάτων ἴσα ἐντὶ τῶι περιεχομένωι ὑ πό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς πολλαπλα σίας ἀεὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθ μοὺς ἀρτίους τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς, τὰ οὖν σύμπαντα πο τιλαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑ πό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πά σαις τᾶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ ἐσοῦντ ἐσοῦνται ἴσα τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾶ τε Α καὶ τᾶ τριπλασία τᾶς Γ καὶ τᾶ περισσᾶ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς περισσοὺς πολλαπλα σίους τᾶς ἑπομένας γραμμ γραμμᾶς . ἐντὶ δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ τετράγωνα ἴσα τῶι περιεχομένωι ὑπὸ τᾶν αὐτᾶν γραμ μᾶν. ἔστι γὰρ τὸ ἀπὸ τᾶς Α τε τράγωνον ἴσον τῶι περιεχομέ νωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾶ τε Α καὶ τᾶ ἴσα ταῖς λοιπαῖς, ὧν ἑκάστα ἴσα τῶ Α· ἰσάκις γὰρ μετρια τε Θ τὰν Α καὶ ἁ Α τὰς ἴσας αὐτᾶ πά σας ἐν τᾶι Α· ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ Α τετράγωνον τῶι περιεχο μένωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴ σας τᾶ Α καὶ τᾶ διπλασία τῶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ· αἱ γὰρ ἴσαι τᾶ Α πᾶσαι χωρὶς τᾶς Α διπλάσιαί ἐντι τᾶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Α τετράγωνον ἴσον ἐντὶ τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾶι τε Β καὶ τᾶ διπλασία τᾶν ΔΕ Ζ ΗΘ, ὁμοί ως δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τε τράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς περιε χομένοις ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας αὐτᾶ τε καὶ τᾶ διπλασία τῶν λοιπῶν. δῆλον οὖν, ὅτι τὰ ἀ πὸ πασᾶν τετράγωνα ἴσα ἐν τὶ τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τ τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾶ τε Α καὶ τᾶ τριπλασία τᾶς Β καὶ τᾶ πενταπλασία τᾶς Γ καὶ τᾶ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς πε ρισσοὺς πολλαπλασία τᾶς ἑπομένας.
Figure 10.2
ἐκ τούτου οὖν φανερὸν ὅτι τω τε τράγωνα πάντα ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα τῶν μὲν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσω ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἐλάσσονά ἐστιν ἢ τριπλάσια, ἐπειδὴ ποτιλα βόντα τινὰ τριπλάσιά ἐντι, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα ἢ τριπλάσια, ἐπειδὴ τὰ ποτιλα φθέντα ἐλάσσονά ἐντι ἢ τριπλ τριπλά σια τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετρα γώνου. καὶ τοίνυν, εἴ κα ὁμοῖα εἴδεα ἀναγραφέωντι ἀπὸ πασᾶν, ἀ πὸ τὲ τᾶν τῶ ἴσω ἀλλαλᾶν ὑπερ εχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ με γίστα τῶν μὲν ἀπὸ τᾶν τῶ ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν εἰδέων ἐλάσσονα ἐσσοῦνται ἢ τριπλά σια, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας εἴδεος μείζο να ἢ τριπλάσια· τὸν γὰρ αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις. ΙΑ ΕΙ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεθέωντι ὁποσ ὁποσαι οῦν τῶι ἴσωι ἀλληλᾶν ὑπερέχ ὑπερέχου σαι, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεθέων τι τῶ μὲν πλάθει μιᾶι ἐλάσσο ἐλάσσον ες τᾶν τῶ ἴσω ἀλλᾶν ὑπερεχουσᾶ ὑπερεχουσᾶν , τὸ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾶι μεγίσ τα, τὰ τετράγωνα πάντα τὰ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα ποτὶ μὲν τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔ χοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ποτὶ τὸν ἴσον ἀμφοτέ ροις τῶι τε περιεχομένω ὑπό τε τ τᾶς μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῶι τρίτωι μέρει ἀπὸ τᾶς ὑπεροχ ὑπεροχᾶς τετραγώνωι, ἇ ὑπερέχει τὰ μεγίστα τᾶς ἐλαχίστας, ποτὶ δὲ τὰ τετράγω να τὰ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου. ἔστωσαν γὰρ γραμ μαὶ ὁποσαιοῦν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑ περέχουσαι ἑξῆς κείμεναι, ἁ μὲν ΑΒ τᾶς ΓΔ, ἁ δὲ ΓΔ τᾶς ΕΖ, ἁ δὲ ΕΖ τᾶς ΗΘ, ἁ δὲ ΗΘ τᾶς ΙΚ, ἁ δὲ ΙΚ τᾶς ΛΜ, ἁ δὲ ΛΜ τᾶς ΝΞ, ποτικείσθω δὴ ποτὶ μὲν τὰν ΓΔ ἴσα μιᾶι ὑπεροχᾶι ἁ ΓΟ, ποτὶ δὲ τὰν ΕΞ ἴσα δυσὶν ὑπεροχαῖς ἁ ΕΠ, ποτὶ δὲ τὰν ΗΘ ἴσα τρισὶν ὑπεροχαῖς ἁ ΗΡ, καὶ ποτὶ τὰς ἄλλας τὸν αὐτὸν τρόπον· ἐσσοῦνται δὴ αἱ γενόμε ναι ἀλλήλαις ἴσαι καὶ ἑκάστα τᾶ μεγίστα. δεικτέον οὖν ὅτι τὰ ἀπὸ πα σᾶν τᾶν γενομενᾶν τετράγωνα πο τὶ μὲν πάντα τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΝΞ τετραγώνου ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετράγωνο τετράγωνον ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῶ τε περι εχόμενον ὑπὸ τᾶν ΑΒ ΝΞ καὶ τῶι τρίτωι μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΝΥ τε τραγώνου, ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν αὐτᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετραγώνου μείζονα λόγον ἔχει ἢ τοῦ αὐτοῦ λόγου. ἀπολελάφθω ἀφ’ ἑκάστας τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶ ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἴσαι τᾶι ὑπεροχᾶι· ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΒ πο τὶ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΒ ΦΒ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΦ τετραγώνου, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τό τε ἀπὸ τ τᾶς ΟΔ τετράγωνον ποτί τε τὸ περιε χόμενον ὑπὸ τᾶν ΟΔ ΔΧ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΧΟ τε τραγώνου καὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀ πὸ τᾶς ΠΖ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ΠΖ ΨΖ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΨΠ τετραγών τετραγώνου καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τετράγων τετράγωνα ποτὶ τὰ ὁμοίως λαμβανόμενα χωρία· καὶ τὰ πάντα δὴ τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν ΟΔ ΠΖ ΡΟΣ ΚΤ ΜΥΞ ποτί τε πάντα περιεχομέναν ὑ πό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς πάσαις ταῖς εἰρημέναις γραμμαῖς καὶ τὰ τριταμόρια τῶν τετραγώνων τῶ τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ ΠΨ ΡΩ ΣϠ ΤϘ ΥΝ τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον, ὃν τὰ ἀπὸ τ τᾶς ΑΒ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΒ ΦΒ πε ριεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ ΦΑ τετραγώνου. εἰ οὖν κα δειχθῆι τό τε περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τς ταῖς ΟΔ ΠΖ ΡΘ ΣΚ ΤΜ ΝΞ καὶ τὰ τρί τα μέρη τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ ΠΨ ΡΩ ΣϠ ΤϘ ΥΝ τ τῶν μὲν τετράγωνον τῶν ἀπὸ τᾶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΛΜ ἐλάττονα, τῶν δὲ τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ, ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΛΜ ΝΞ μείζονα, δε δειγμένον ἐσσεῖται τὸ προτε θέν. ἔστι δὴ τὸ μὲν περιεχόμε νον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΔ ΠΖ ΡΘ ΣΚ ΤΜ ΥΞ καὶ τὰ τρίτα μέρη τῶν τετρα γώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ ΠΨ ΡΩ ΣϠ ΤϘ ΥΝ ἴσα τοῖς τετραγώνοις τοῖς ἀπὸ ΧΔ ΨΖ ΩΘ ϠΚ ϘΜ ΝΞ καὶ τῶι περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ ἴσας πάσαις ταῖς ΟΧ ΠΨ ΡΩ ΣϠ ΤϘ ΥΝ καὶ τῶι τρί τωι μέρει τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΟΧ ΠΨ ΡΩ ΣϠ ΤϘ ΥΝ, τὰ δὲ ἀπὸ τᾶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΛΜ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τᾶν ΒΦ ΧΔ ΨΖ ΩΘ ϠΚ ϘΜ τετραγών τετραγώνοις καὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν ΑΦ ΓΧ ΕΨ ΜΩ ΡϠ ΛϘ καὶ τῶι περιεχομένω ὑ πὸ τᾶν ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ ΓΧ ΕΨ ΜΩ ΙϠ ΛϘ. κοινὰ μὲν οὖν ἐντι ἑκατέρων τὰ τετρά γωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶι ΝΞ, τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς ἴσας τς ταῖς ΟΧ ΠΨ ΩΡ ϠΣ ϘΤ ΥΝ ἔλασσόν ἐστι τοῦ περι εχομένου ὑπό τε τᾶς ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦΓ ΧΕΨ ΗΩΙ ϠΛϘ διὰ τὸ τὰς νῦν εἰρη μένας γραμμὰς ταῖς μὲν ΓΘ ΕΠ ΡΗ ΙΣ ΛΤ ΥΝ ἴσας εἶμεν, τᾶν δὲ λοιπᾶν μείζονας, καὶ τὰ τετρά γωνα δὲ τὰ ἀπὸ τᾶν ΑΦ ΓΧ ΕΨ ΗΩ ΙϠ ΛϘ· δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς ἐπάνω· ἐλάονα ἐλάττονα ἄρα ἐντὶ τὰ ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώνω τετραγώνων τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΛΜ. λοιπὸν δὲ δείξομεν ὅτι μείζονά ἐ ἐν τι τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΛΜ ΝΞ. πάλιν δὴ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΓΔ ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΛΜ ΝΞ ἴσα ἐντὶ τοῖς τε ἀπὸ τᾶν ΧΓΕ ΨΗ ΩΙ ϠΛϘ καὶ τῶι περιεχο μένωι ὑπό τε τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς δι πλασίας πασᾶν τᾶν ΧΓ ΕΨ ΩΙ ϠΛϘ. καί ἐστι κοινὰ μὲν τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΔ ΨΖ ωΔ ϠΚ ΜϘ ΝΖ, μεῖζον δὲ τὸ ὑπό τε τᾶς ΝΖ καὶ τᾶς ἴσας πάσς πάσαις τς ταῖς ΟΧ ΠΨ ΡΩ ΣϠ ΤϘ ΥΝ τοῦ ὑπὸ τᾶς ΝΞ καὶ τᾶς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ ΕΨ ΗΩ ΙϠ ΛϘ, ἐντὶ δὲ καὶ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΟ ΨΠ ΩΡ ϠΣ ϘΤ ΥΝ τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΧ ΕΥ ΓΗ ωΙ ϠΛ Ϙ μείζονα ἢ τριπλάσια· δέ δεικται γὰρ καὶ τοῦτο· μείζονα ἄρα ἐν τὶ γὰρ η θέντα χωρία τῶν τετραγώ νων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΔ ΕΖ ΗΘ ΙΚ ΛΜ ΝΞ. ἑξ ἑξῆς τὸ ΣΧΑΜΑ.
Figure 11.1
Καὶ τοίνυν εἴ κα ὁμοῖα ἀναγραφέν τι ἀπὸ πασᾶν, ἀπό τε τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα, εἴδεα, πάντα τὰ δὲ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερε χουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίσ τας εἴδεος ἐλάσσονα λόγον ἑξοῦν τι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς με γίστας ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῶι τε περιεχομένωι ὑπό τε τᾶς μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῶι τρίτωι μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπε ροχᾶς, ἇ ὑπερέχει ἁ μεγίστα τᾶς ἐ λαχίστας, ποτὶ δὲ τὰ ἀπὸ τᾶν αὐ τᾶν εἴδεα χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστ μεγίστας μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου· τὸν αὐτὸ αὐτὸν γὰρ ἕξουσι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις. εἴ κα εὐθεῖα ἐπιζευχθῆ γραμμὰ ἐν ἐπιπέδωι καὶ μέ νοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος αὐτᾶς ἰσοταχέως περιενεχθεῖσα ὁσα κισοῦν ἀποκατασταθῆι πάλιν, ὅθεν ὥρμασεν, ἅμα δὲ τᾶ γραμ μᾶι περιαγομέναι φέρηταί τι ση μεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑωυτῶ κατὰ τᾶς εὐθείας ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος, τὸ σα μεῖον ἕλικα γράψει ἐν τῶι ἐπιπέδωι. καλείσθω οὖν τὸ μὲν πέρας τᾶς εὐθείας τὸ μένον περιαγομένας αὐτᾶς ἀρχὰ τᾶς ἕλικος. ἁ δὲ θέ σις τᾶς γραμμᾶς, ἀφ’ ἇς ἄρξατο ἁ εὐθεῖα περιφέρεσθαι, ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς. εὐθεῖα, ἃν μὲν αὐτᾶι πρώται περιφορᾶ διαπορευσθῆ τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον, πρώτα καλείσθω, ἃν δ’ ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι τὸ αὐ τὸ σαμεῖον διανύση, δευτέρα, καὶ ἄλλαι ὁμοίως ταύταις ὁμωνύμ ὁμωνύμως ταῖς περιφοραῖς καλείσθωσαν. τὸ δὲ χωρίον τὸ περιλαφθὲν ὑ πό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γραφείσας καὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐστι πρώτα, πρῶ πρῶτον καλείσθω, τὸ δὲ περιλαφθὲν ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι γραφείσας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας δεύτερο δεύτερον καλείσθω. καὶ εἴ κα ἀπὸ τοῦ σα μείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἀχθῆ τις εὐθεῖα γραμμά, τᾶς εὐθείας ταύτας ἐπὶ τὰ αὐτά, ἁ περιφορὰ γεγένηται, προαγό μενα καλείσθω, τὰ δὲ ἐπὶ θά τερα ἑπόμενα. ὅ τε γραφθεὶς κύκλος κέντρωι μὲν τῶι σαμείωι, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, διαστάμα τι δὲ τᾶι εὐθείαι, ἅ ἐστιν πρώται, πρώτως καλείσθω, ὁ δὲ γραφθεὶς κέντρωι μὲν τῶι αὐτῶι, διαστάμα τι δὲ τᾶι διπλασίαι εὐθείαι δεύ τερος καλείσθω, καὶ οἱ ἄλλοι δὲ ἑξῆς τούτοις τὸν αὐτὸν τρόπον. ΙΒ ΕΙ κα ποτὶ τὰν ἕλικα τᾶι μὲν μιᾶι περιφορᾶ ὁποιαοῦν γεγραμμέ ναν ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικ ἕλικος εὐθεῖαι ἐμπεσῶντι ὁποιαιοῦν ἴσας ποιοῦσαι γωνίας ποτ’ ἀλλά λας, τῶι ἴσω ὑπερέχοντι ἀλλαλᾶ ἀλλαλᾶν . ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς αἱ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΑΖ ἴσας γωνίας ποιοῦσαι πο τ’ ἀλλάλας. δεικτέον ὅτι τῶι ἴσωι ὑπερέχει ἁ ΑΓ τᾶς ΑΒ καὶ ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως. ἐν ὧι γὰρ χρόνωι ἁ περιαγομένα γραμμὰ ἀπὸ τᾶς ΑΒ ἐπὶ τὰν ΑΓ ἀφικνεῖτ ἀφικνεῖται , ἐν τούτω τῶι χρόνωι τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμεν φερόμενον τὰν ὑπεροχὰν διαπορεύεται, ἇ ὑπερέχει ἁ ΓΑ ταν ΑΒ, ἐν ὧι δὲ χρόνωι ἀπὸ τᾶς ΑΓ ἐπὶ τὰν ΑΔ, ἐν τούτωι διαπορεύεται τὰν ὑπερο χάν, ἇ ὑπερέχει ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ. ἐ ν ἴσωι δὲ χρόνωι ἁ περιαγομέ να γραμμὰ ἀπό τε τᾶς ΑΒ ἐ πὶ τὰν ΑΓ ἀφικνεῖται καὶ ἀπὸ τᾶς ΑΓ ἐπὶ τὰν ΑΔ, ἐπειδὴ αἱ γω νίαι ἴσαι ἐντί· ἐν ἴσωι ἄρα χρό νωι τὸ κατὰ τᾶς εὐθείας φερό μενον σαμεῖον διαπορεύεται τὰν ὑπεροχάν, ἇ ὑπερέχει ἁ ΓΑ τᾶς ΑΒ, καὶ τὰν ὑπεροχάν, ὑπε ρέχει ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ. τῶι ἴσωι ἄρα ὑπερέχει ἅ τε ΑΓ τᾶς ΑΒ καὶ ἁ ΑΔ τᾶς ΑΓ, καὶ αἱ λοιπαί.
Figure 12.1
ΙΓ ΕΙ κα εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἐπιψαύη, καθ’ ἓν μόνον ἐπιψαύ σει σαμεῖον. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς τὰ ΑΒ ΓΔ, ἔστω δὲ καὶ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Α σημεῖον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἁ ΑΔ εὐθεῖα, καὶ ἐπι ψαέτω τᾶς ἕλικος εὐθεῖά τις ἁ ΖΕ. φαμὶ δὴ καθ’ ἓν μόνον σαμεῖον ἐπιψαύειν αὐτᾶς. ἐπιψαυέτω γάρ, εἰ δυνατόν, κατὰ δύο σαμεῖα τὰ ΓΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΑΗ, καὶ ἁ γωνία δίχα τετμάσθω ἁ περι εχόμενα ὑπὸ τῶν ΑΗ ΑΓ, καθ’ ὃ δὲ σαμεῖον ἁ δίχα τέμνουσα τὰ τὰν γωνίαν τᾶι ἕλικι ποτιπίπτει, ἔστω τὸ Θ. τῶι δὴ ἴσω ὑπερέχει ἅ τε ΑΗ τᾶς ΑΘ καὶ ἁ ΑΘ τᾶς ΑΓ, ἐπειδὴ ἴσας γωνίας περιέχ περιέχου σι ποτ’ ἀλλάλας· ὥστε διπλάσι αί ἐντι αἱ αΗ αΓ τᾶς αΘ. ἀλλὰ τᾶς ἐν τῶι τριγώνωι τᾶς αΘ δί χα τεμνούσας τὰν γωνίαν μεί ζων ἐντὶ ἢ διπλάσιαι· δῆλον οὖν , ὅτι, καθ’ ὃ συμπίπτει σαμεῖον τᾶι ΓΗ εὐθεία ὡς αΘ, μεταξὺ τῶν ΘΑ ἐντὶ σαμείων· τέμνει ἄρα ἁ ΕΖ τὰν ἕλικα, ἐπειδή τι τῶν ἐν τᾶι ΓΗ σαμείων ἐντός ἐστι τ τᾶς ἕλικος. ὑπόκειτο δὲ ἐπιψαύου σα· καθ’ ἓν ἄρα μόνον ἅπτεται ἁ ΕΗ τᾶς ἕλικος.
Figure 13.1
εἴ κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶν γεγραμμέναν ποτι πεσέωντι δύο εὐθεῖαι ἀπὸ τοῦ σαμεί ου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, καὶ ἐκ βληθέων ποτὶ τὰν τοῦ πρώτου κύ κλου περιφοράν, τὸν αὐτὸν ἑξοῦν τι λόγον αἱ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπί πτουσαι ποτ’ ἀλλάλας, ὧν αἱ περι φέρειαι τοῦ κύκλου αἱ μεταξὺ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος καὶ τῶν πε ράτων τᾶν ἐκβληθεισᾶν εὐθειᾶ εὐθειᾶν τῶν ἐπὶ τᾶς περιφερείας γινομέ νων, ἐπὶ τὰ προαγούμενα λαμβα νομενᾶν τᾶν περιφερειᾶν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος. ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒ ΓΔ ΕΘ ἐν τᾶι πρώται περι φορᾶι γεγραμμένα, ἀρχὰ δὲ τᾶς μὲν ἕλικος ἔστω τὸ Α σαμεῖον, ἁ δὲ ΘΑ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφο ρᾶς ἔστω, καὶ κύκλος ὁ ΘΚΗ ἔστω ὁ πρῶτος, ποτιπιπτόντων δὲ ἀ πὸ τοῦ Α σαμείου ποτὶ τὰν ἕλικα αἱ αΕ ΑΔ καὶ ἐκπιπτόντων ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἐπὶ τὰς ΖΗ. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχον τι λόγον ἁ ΑΕ ποτὶ τὰν ΑΔ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν. περιαγομένας γὰρ τᾶς ΑΘ γραμμᾶς δῆλον ὡς τὸ μὲ μὲν Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείας ἐνηνεγμέ νον ἐστὶν ἰσοταχέως, τὸ δὲ Α κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν ΑΘ γραμμὰν πεπόρευται, καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φερόμενον τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν, τὸ δὲ Α τὰν ΑΕ εὐθεῖαν, καὶ πάλιν τό τε Α σημεῖον τὰν ΑΔ γραμμὰν καὶ τὸ Θ τὰν ΘΚΑ περιφέρειαν, ἑκάτερον ἰ σοταχέως αὐτὸ ἑωυτῶ φερόμε νον· δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΕ ποτὶ τὰν ΑΔ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ περι φέρειαν δέδεικται γὰρ τοῦτο ἔξω ἐν τοῖς πρώτοις. ὁμοίως δὲ δειχθή σεται, καὶ εἴ κα ἑτέρα τᾶν ποτιπιπτ ποτιπιπτου σᾶν ἐπὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πο τιπίπτη, τὸ αὐτὸ συμβαίνειν.
Figure 14.1
ΙΕ ΕΙ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾶι δευτέραι περι φορᾶι γεγραμμέναν ἕλικα πο τιπίπτοντι εὐθεῖαι ἀπὸ τᾶς ἀρ χᾶς τᾶς ἕλικος, τὸν αὐτὸν ἑξοῦν τι λόγον αἱ εὐθεῖαι ποτ’ ἀλλάλαν, ὧν αἱ εἰρημέναι περιφέρειαι μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφε ρείας λαμβανομένας. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς αἱ ΑΒ ΓΔΘ, ἁ μὲν ΑΒΓ ΔΘ ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμμέναι, ἁ δὲ ΘΛ ΕΜ ἐν τᾶ δευτέραι, καὶ ποτιπίπτοντι εὐ θεῖαι αἱ ΑΕ ΑΛ. δεικτέον, ὅτι τὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ ποτὶ τὰ τὰν ΑΕ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθ’ ὅλ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας πρὸς ΘΚΗ μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περι φερείας. ἐν ὅσω γὰρ χρόνωι τὸ Α σαμεῖον κατὰ τᾶς εὐθείας φε ρόμενον τὰν ΑΛ γραμμὰν δια πορεύεται, καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φε ρόμενον ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἐπὶ τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ πάλιν τὸ Α σαμεῖον τὰν ΑΕ εὐθεῖ εὐθεῖαν κατὰ τὸ Ε ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἐπὶ τὰν ΘΚΗ, ἑκάτερον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑω υτῶι φερόμενον· δῆλον οὖν ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΑΛ γραμμὰ ποτὶ τὰν ΑΕ, ὃν ἁ ΘΚΖ περιφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΚΗ πε ριφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλ κύκλου περιφερείας. τὸν αὐτὸν δὲ τρό πον δειχθήσεται, καὶ εἴ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾶι τρίται περιφορᾶι γεγραμμέναν ἕλικα ποτιπε σέωντι εὐθεῖαι, τὸν αὐτὸν λόγο λόγον ἑξοῦντι ποτ’ ἀλλάλας, ὃν ἁ εἰ ρημένα περιφέρεια μεθ’ ὅλ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας δὶς λαμβανομένας· ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ποτὶ τὰς ἄλλας ἕλικας πο τιπίπτουσαι δείκνυται ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον, ὃν αἱ εἰρη μέναι περιφέρειαι μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοσαύ τας λαμβανομένας, ὅσος ἐστὶ ἐστὶν ὁ εν ἐλάσσων ἀριθμὸς τᾶν περιφορᾶν, καὶ εἴ κα ἁ ποτιπί πτουσα ἁ ἑκατέρα ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πίπτηι.
Figure 15.1
ΙϚ ΕΙ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώ τα περιφορᾶ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύηι, καὶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς εὐθεῖα γραμ μὰ ἐπιζευχθῆ ἐπὶ τὸ σαμεῖον, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃς ποιεῖ γω νίας ἁ ἐφαπτομένα ποτὶ τὰ τὰν ἐπιζευχθεῖσαν, ἀνίσοι ἐσσοῦντ ἐσσοῦνται καὶ ἁ μὲν ἐν τοῖς προαγουμέ νοις ἀμβλεῖα, ἁ δὲ ἐν τοῖς ἑ πομένοις ὀξεῖα. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς τὰ ΑΒ ΓΔΘ, ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γεγραμμένα, καὶ ἔστω τὸ μὲν Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΑΘ εὐθεῖα ἀρ χὰ τᾶς περιφορᾶς, ὅ τε πρῶτ πρῶτος κύκλος ὁ ΘΚΗ, ἐπιψαυέτω δέ τις εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικ ἕλικος ἁ ΔΕΖ κατὰ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἁ ΔΑ. δει κτέον ὅτι ἁ ΔΖ ποτὶ τὰν ΑΔ ἀμβλεῖ αν ποιεῖ γωνίαν. γεγράφθω κύκλ κύκλος ὁ ΔΤΝ κέντρωι μὲν τῶι Α, διαστά ματι δὲ τῶι ΑΔ· ἀναγκαῖον δὴ τούτ τούτου τοῦ κύκλου τὰ μὲν ἐν τοῖς προα γευμένοις περιφέρειαν ἐντὸς πίπτειν τᾶς ἕλικος, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτὸς διὰ τὸ τᾶν ἀ πὸ τοῦ Α ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπι πτουσᾶν εὐθειᾶν τὰς μὲν ἐν τοῖς προαγευμένοις μείζονας εἶμεν τᾶς ΑΔ, τὰς δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐλάσσονας. ὅτι μὲν οὖν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τῶν ΑΔΖ οὐ οὐκ ἔστιν ὀξεῖα δῆλον, ἐπειδὴ μείζων ἐστὶ ἐστὶν τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου, ὅτι δὲ ὀρθὴ οὐ κ ἔστιν δεικτέον οὕτως · ἔστω γὰρ, εἰ δυ νατόν, ὀρθή· ἡ ἄρα ΕΔΖ ἐπιψαύ ει τοῦ ΔΤΝ κύκλου. δυνατὸν δή ἐστι ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν πο τὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν με ταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύ κλου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ, ὃν ἔχει ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς ποτιπιπτούσας περιφέ ρειας ὅτι τὰν δοθεῖσαν περιφέ ρειαν. ποτιπιπτέτω δὴ ἁ ΑΙ· τε μεῖ δὴ αὕτα τὰν μὲν ἕλικα κα τὰ τὸ Λ, τὰν δὲ τοῦ ΔΝΤ περιφέ ρειαν κύκλου κατὰ τὸ Ρ· καὶ ἐχέτω ἁ ΡΙ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσο να λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΔΡ φέρεια περιφέρεια ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν· καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσ σονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΡΔ ΝΤ περι φέρεια ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρει αν, τουτ τουτέστιν ὃν ἔχει ἁ ΣΗΚΘ περιφέ ρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρεια περιφέρειαν . ὃν δὲ ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν, τοῦτον ἔ χει ἁ ΑΛ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΔ· δέ δεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἤπερ ἁ ΛΑ ποτὶ τὰν ΑΔ· ὅπερ ἀδύνατ ἀδύνατον · ἴσα γὰρ ἁ ΡΑ τᾶι ΑΔ. οὐκ //ἔστιν ἄρα ///ὀρθὴ ἁ περιεχομένα ὑπὸ τῶν ΑΔΖ. δέδεικται δὲ ὅτι οὐδὲ ὀξεῖα· ἀμ βλεῖα ἄρα ἐστίν. ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖ ά ἐστιν. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύει, τὸ αὐ τὸ συμβήσεται.
Figure 16.1
ΚΑΙ τοίνυν, εἴ κα τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι γεγραμμένας ἕλι κος ἐπιψαύη ἁ εὐθεῖα, τὸ αὐτὸ συμβήσεται. ἐπιψαυέτω γὰρ ἁ ΕΖ εὐθεῖα τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περι φορᾶι γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ Δ, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τ τοῖς πότερον κατεσκευάσθω. ὁμοίως δὴ τᾶς τοῦ ΡΝΔ περιφερείας κύκλου τὰ μὲν ἐν τοῖς προαγευμέ νοις τᾶς ἕλικος ἐντὸς πεσοῦν ται, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτ ἐκτός · ἁ οὖν γωνία ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ οὐκ ἔστιν ὀρθά, ἀλλ’ ἀμβλεῖα. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, ὀρθά· ἐπιψαύσει δὴ ἁ ΕΖ τοῦ ΡΝΔ κύκλου κατὰ τὸ Δ. ἄχθω δὴ πάλιν ποτὶ τὰν ἐπιψαύου σαν αἱ ΑΙ καὶ τεμνέτω τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Χ, τὰν δὲ τοῦ ΡΝΔ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ, ἐχέτω δὲ ἁ ΡΟ ποτὶ ΡΑ ἐλάσσον ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΔΡ περιφέ ρεια ποτὶ ὅλαν τὰν τοῦ ΔΡΝ κύ κλου περιφέρειαν καὶ ποτὶ τὰ τὰν ΔΝΤ· δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν· καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΡΔΝΤ πε ριφέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύ κλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας. ἀλλ’ ὃν ἔχει λόγον ἁ ΡΔΝΤ περιφέρει α μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΔΝΤΡ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΔΝΤ περιφέρειαν μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ Δ ΝΤΡ κύκλου περιφερείας, τοῦτο τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΣΗΚΘ περι φέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τᾶς ΘΣΗΚ ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν με θ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΘσΗΚ κύκλου περιφερείας, ὃν δὲ λόγον ἔχ ἔχου σιν αἱ ὕστερον εἰρημέναι πε ριφέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγ λόγον ἁ ΧΑ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΔ εὐθεῖ εὐθεῖαν · δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ αΧ ποτὶ τὰν ΑΔ· ὅπερ ἀδύ νατον ἴσα μὲν γὰρ ἁ ΡΑ τᾶι ΑΔ, μείζων δὲ ἁ ΙΑ τᾶς ΑΧ. δῆλον οὖν, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἁ περιεχομέ να ὑπὸ τᾶν ΑΔΖ· ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖά ἐστιν. τὰ δ’ αὐτὰ συμβή σεται, εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ἐπι ψαύοι. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιαοῦν γεγραμ μένας ἕλικος ἐπιψαύει τις εὐθεῖα, καὶ εἰ κατὰ τὸ πέρας αὐτᾶς, ὅτι ἀνίσους ποιήσει τ τὰς γωνίας ποτὶ τὰν ἀπὸ τᾶς ἁ φᾶς ἐπιζευχθεῖσαν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος καὶ τὰν μὲν ἐν τοῖς προσαγευμένοις ἀμ βλεῖαν, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομέ νοις ὀξεῖαν. ἑξ ἑξῆς τὸ ΣΧΑΜ ΣΧΑΜΑ .
Figure 17.1
ΙΗ ΕΙ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύηι κα τὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τοῦ σαμείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕ λικος, ποτ’ ὀρθὰς ἀχθῆι τις τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς, ἁ ἀχθεῖσα συμπεσεῖται τᾶι ἐπιψαυ ούσα, καὶ ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ἐ πιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος τᾶς ἕλικος ἴσα ἐσσεῖται τᾶι τοῦ πρώτου κύκλου περιφε ρείαι. ἔστω ἕλιξ ἁ ΑΒ ΓΔΘ, ἔστω δὲ τὸ Α σημεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικ ἕλικος , ἁ δὲ ΘΑ γραμμὰ ἀρχὰ τᾶς περι φορᾶς, ὁ δὲ ΘΗΚ κύκλ κύκλος ὁ πρῶτος, ἐπιψαυέτω δέ τις τᾶς ἕλικος κα κατὰ τὸ Θ ἁ ΘΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἄχθω πρὸς ὀρθὰς τᾶ ΘΑ ἁ ΑΖ· συμπεσεῖτ συμπεσεῖται δὴ αὕτα ποτὶ τὰν ΘΖ, ἐπεὶ αἱ ΖΘ, ΘΑ ὀξεῖαν γωνίαν περιέχουσι περιέχουσιν . συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ζ. δεικτέον, ὅτι ἁ ΖΑ ἴσα ἐστὶ τᾶι τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείαι. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεί ζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρό τερον, εἰ δυνατόν, μείζων. ἔλα βον δή τινα εὐθεῖαν τὰν ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσονα, τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας μείζονα. ἔστι δὴ κύκλος τις ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν τῶι κύκλωι γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέ τρου ἁ ΘΗ καὶ λόγος , ὃν ἔχει ἁ ΘΑ πρὸς ΑΛ, μείζων τοῦ ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τ τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετο κάθετον ἐπ’ αὐτὸν ἀγομέναν, δι διότι καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ πρὸς ΑΖ· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν πο τὶ τὰν ἐκβεβλημέναν τὰν ΑΝ, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερεί περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΝΡ πρὸς ΘΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· ἕξει οὖν ΝΡ ποτὶ τὰν ΡΑ λόγον, ὃν ἁ ΘΡ εὐθεῖα ποτὶ τὰν ΑΛ. ἁ δὲ ΘΡ πο τὶ τὰν ΑΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ἁ μὲν γὰρ ΘΡ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΘΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ εὐ θεῖα τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας μείζων· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἕξει καὶ ἁ ΝΡ πρὸς ΡΑ ἢ ἁ ΘΡ πε ριφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύ κλου περιφέρειαν· καὶ ὅλας οὖν ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν αΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΘΡ περιφέρει α μεθ’ ὅλας τοῦ κύκλου περιφερεί περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέ ρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΘΡ περι φέρεια μεθ’ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα λόγ λόγον ἔχει ἁ ΝΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἤ ἤπερ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΘ· ὅπερ ἀδύνατ ἀδύνατον · ἁ μὲν γὰρ ΝΑ μείζων ἐστὶ τᾶς ΑΧ, ἁ δὲ ΑΡ ἴσα ἐστὶ τᾶι ΘΑ. οὐκ ἄρα μεί ζων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ κύκλου περιφε ρείας τοῦ ΘΗΚ.
Figure 18.1
ΙΘ Ἔστω δὴ πάλιν, εἰ δυνατόν, ἐλάσσω ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφε ρείας. ἔλαβον δή τινα ευθαν πάλιν τὴν ΑΛ τᾶς μὲν ΑΖ μεί ζονα, τᾶς δὲ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περι φερείας ἐλάσσονα, καὶ ἄγω ἀπὸ τοῦ Θ τὰν ΘΜ παράλληλον τᾶι ΑΖ. πάλιν οὖν κύκλ κύκλος ἐστὶν ὁ ΘΗΚ καὶ ἐν αὐτῶι ἐλάσσων γραμμὰ τᾶς διαμέτρου ἁ ΘΗ καὶ ἄλλα ἐπι ψαύουσα τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Θ καὶ λόγος , ὃν ἔχει ἁ ΑΘ ποτὶ τὰν ΑΛ, ἐλάσσων τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ἡμί σεια τᾶς ΘΗ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰν ἀγμέναν, ἐπειδὴ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ΘΑ πρὸς ΑΖ, ἐλάσσων ἐστί · δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ἀγαγεῖν τὰν ΑΠ ποτὶ τὰν ἐπι ψαύουσαν, ὥστε τὰν ΡΝ τὰν μετα ξὺ τᾶς ἐν τῶι κύκλωι εὐθείας καὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΠ τὰ τὰν ἀπολαφθεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαύ ουσαν τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· τεμεῖ δὴ ἁ ΑΠ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ, τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ Χ· καὶ ἕξει καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν λόγον ἁ ΝΡ πρὸς ΡΑ, ὃν ἁ ΘΠ πρὸς ΑΛ. ἁ δὲ ΘΠ πο τὶ τὰν ΑΛ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ἁ μὲν γὰρ ΘΠ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τᾶς ΘΡ πε ριφερείας, ἁ δὲ ΑΛ ἐλάσσων τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας· μεί ζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΝΡ ποτὶ τὰν ΑΡ ἡ ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν· ὥστε καὶ ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΝ μείζονα λόγον ἔ χει ἢ ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέ ρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέρεια περιφέρειαν . ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ τοῦ ΘΗΚ κύκλου πε ριφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέ ρειαν, ταὐτὸν ἔχει ἁ ΘΑ εὐθεῖα πο τὶ τὰν ΑΧ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· μεί ζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΑ ποτὶ τὰν ΑΗ ἢ ἁ ΘΑ ποτὶ τὰν ΑΧ· ὅ περ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ἁ ΖΑ τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας· ἴση ἄρα .
Figure 19.1
Κ ΕΙ δὲ κατὰ τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι πε ριφορᾶι γεγραμμένας ἕλικος κα τὰ τὸ πέρας ἐπιψαύηι εὐθεῖα, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῆ τις ποτ’ ὀρθὰς τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περι φορᾶς, συμπεσεῖται αὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἐσσεῖται ἁ εὐθεῖ α ἁ μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος διπλασία τᾶς τοῦ δευτέρου κύκλου περιφερεί ας. ἔστω γὰρ ἁ μὲν ΑΒΓΘ ἕλιξ ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμμένα, ἁ δὲ ΘΕΓ ἐν τᾶ δευτέραι, καὶ ὁ μὲν ΘΚΗ κύκλος ὁ πρῶτος, ὁ δὲ ΤΜΝ ὁ δεύτερος, ἔστω δέ τις γραμμὰ ἐ πιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ ἁ ΤΖ, ἁ δὲ ΖΑ ποτ’ ὀρθὰς ἄχθωι τᾶ ΤΑ· συμπεσεῖται δὲ τᾶ αὐτᾶ τᾶ ΤΖ διὰ τὸ δεδεῖχθαι τὰν γωνίαν ὀ ξεῖαν οὖσαν τὰν ὑπὸ τῶν ΑΤΖ. δει κτέον ὅτι ἁ ΖΑ εὐθεῖα διπλασία ἐντὶ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφε ρείας. εἰ γὰρ μή ἐστιν διπλασία, ἤ τοι μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἢ ἐλάσ σων ἢ διπλασία. ἔστω πρότερο πρότερον , εἰ δυνατόν, μείζων ἢ διπλασία, καὶ λελάφθω τις εὐθεῖα ἁ ΛΑ τ τᾶς μὲν ΖΑ εὐθείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας μεί ζων ἢ διπλασία. ἔστιν δή τις κύκλ κύκλος ὁ ΤΜΝ καὶ ἐν τῶι κύκλωι γεγραμ μένα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΤΝ, καὶ ὃν ἔχει ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ, μει μείζων τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΤΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰν ἀγμέναν· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν τὰν ΑΣ ποτὶ τὰν ΤΜΝ ἐκβεβλημέναν, ὥσ τε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγο λόγον , ὃν ἁ ΤΑ ποτὶ τὰν ΑΛ· τεμεῖ δὴ ἁ ΑΣ τὸν μὲ μὲν κύκλον κατὰ τὸ Ρ, τὰν δὲ ἕ λικα κατὰ τὸ Χ· καὶ ἐναλλὰξ τὸ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΑ, ὃν ἁ ΤΡ ποτὶ τὰν ΑΛ. ἐλάσσο να λόγον ἔχει ἁ ΤΡ περιφέρεια πο τὶ τὰν διπλασίαν τοῦ ΜΝ κύκλ κύκλου περιφέρειαν· ἔστι γὰρ ἁ μὲν ΤΡ εὐθεῖα ἐλάσσων τᾶς ΤΡ περιφε ρείας, ἁ δὲ ΑΛ εὐθεῖα μείζων ἢ διπλασία τᾶς τοῦ ΤΜΝ περι φερείας· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΡΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΤΡ πε ριφέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερεί περιφερείας · ὅλα οὖν ἁ ΣΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσ ονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΤΡ περιφέ ρεια μετὰ τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας δὶς εἰρημένας ποτὶ τὰν τοῦ ΤΜΝ κύκλου πε ριφέρειαν δὶς εἰρημέναν. ὃν δὲ λόγον ἔχουσιν αἱ εἰρημέναι περι φέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΑΤ· δέδεικται γὰρ τοῦτο· ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΑΣ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΧΑ ποτὶ τὰν ΤΑ· ὅ ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περι φερείας. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, οὐδὲ ἐλάσσων ἢ διπλασία. δῆ λον οὖν, ὅτι διπλασία ἐστίν. διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δεικτέον, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιαοῦν περιφορᾶι γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύηι τις εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ποτ’ ὀρθὰς ἀχθεῖσα τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς συμπίπτει ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, πολλα πλασίαν ἐστὶν τᾶς τοῦ κύκλου πε ριφερείας τοῦ κατὰ τὸν ἀριθμ ἀριθμὸν τᾶς περιφορᾶς λεγομένου τῶι αὐτῶι ἀριθμῶι.
Figure 20.1
ΕΙ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώ ται περιφορᾶι γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύη μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος εὐθεῖα ἐπιζευχθῆι, καὶ κέ κέν τρωι μὲν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς ἕλικος, διαστάματι δὲ τᾶι ἐπιζευχθείσαι κύκλος γραφῆι, ἀπὸ δὲ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχθῆ τις ποτ’ ὀρθὰς τᾶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχ ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιζευχθείσα, συμ πεσεῖται αὕτα ποτὶ τὰν ἐπιψαύ ουσαν, καὶ ἐσσεῖται ἁ μεταξὺ εὐθεῖ α τᾶς τε συμπτώσιος καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα τῶι πε ριφερεία τοῦ γραφέντος κύκλ κύκλου τας μεταξὺ τᾶς ἐφ’ ἇς καὶ τᾶς τομᾶς, καθ’ ὃ τέμνει ὁ γραφεὶς κύκλος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφο ρᾶς, ἐπὶ τὰ προαγεύμενα λαμ βανομένας τᾶς περιφερείας ἀπὸ τοῦ σαμείου τοῦ ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς. ἔστω ἕλιξ, ἐ φ’ ἇς ἁ ΑΒ ΓΔ, ἐν τᾶι πρώτα πε ριφορᾶι γεγραμμέναι, καὶ ἐπι ψαυέτω τις αὐτᾶι εὐθεῖα ἁ ΕΖ κατὰ τὸ Δ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ ποτὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπεζεύχθω ἁ ΑΔ, καὶ κέντρωι μὲν τῶι Α, δι αστάματι δὲ τῶι ΑΔ κύκλος γε γράφθω ὁ ΔΜΝ, τεμνέτω δ’ οὗτ οὗτος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸ Κ, ἄχθω δὲ ἁ ΖΑ ποτὶ τὰν ΑΔ ὀρθά. ὅτι μὲν οὖν αὕτα συμ πίπτει δῆλον· ὅτι δὲ καὶ ἴσα ἐστὶν ἁ ΖΑ εὐθεῖα τᾶ ΚΜΗΔ περιφε ρεία δεικτέον. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεί ζων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω, εἰ δυ νατόν, πρότερον μείζων, λελά φθω δέ τις ἁ ΛΑ τᾶς μὲν ΖΑ εὐ θείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ ΚΜΝΔ περιφερείας μείζων. πάλι πάλιν δὴ κύκλος ἐστὶν ὁ ΚΜΝ καὶ ἐν τῶ κύκλωι γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ ΔΝ καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἁ ΔΑ πρὸς ΑΛ, μείζων τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΔΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἐπ’ αὐτὰ αὐτὰν ἀγμέναν· δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν τὰν ΑΕ ποτὶ τὰν ΝΔ ἐκβεβλημέναν, ὥστε τὰν ΕΡ ποτὶ τὰν ΔΡ τὸν αὐτὸν ἔ χειν λόγον, ὃν ἁ ΔΑ ποτὶ τὰν ΑΔ· δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸ δυνατὸν ἐόν· ἕξει οὖν καὶ ἁ ΕΡ ποτὶ τὰν ΑΡ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ ΔΡ ποτὶ τὰν ΑΛ. ἁ δὲ ΑΡ ποτὶ τὰν ΑΛ ἐ λάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΔΡ περι φέρεια ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέ ρειαν, ἐπεὶ ἁ μὲν ΑΡ ἐλάσσων ἐστὶ ἐστὶν τᾶς ΔΡ περιφερείας, ἁ δὲ ΑΛ μείζων τᾶς ΚΜΔ περιφερείας· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ἁ ΕΡ εὐ θεῖα πρὸς ΡΑ ἢ ἁ ΔΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέρειαν· ὥστε καὶ ἁ ΑΕ πρὸς ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ΑΔ ΜΡ περιφέρεια πρὸς ΚΜΔ περιφέρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἁ ΚΜΡ ποτὶ τὰν ΚΜΔ περιφέ ρειαν, τοῦτον ἔχει ἁ ΧΑ πρὸς ΑΔ· ἐλάσ σονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΕΑ πρὸς ΑΡ ἢ ἁ ΑΧ πρὸς ΔΑ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύ νατον. οὐκ ἄρα μείζων ἁ ΖΑ τ τᾶς ΚΜΔ περιφερείας. ὁμοίως δὲ τ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ ἐ λάσσων ἐστίν· ἴσα ἄρα. διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχθήσεται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν τᾶι δευτέραι περιφο ρᾶι γεγραμμένας ἕλικος ἐπι ψαύη εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα τᾶι αὐτᾶι κατα σκευασθέντι, ὅτι ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν συμ πίπτουσα καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐστὶν ὅλα τᾶ τοῦ γραφέ γραφέν τος κύκλου περιφερεία καὶ ἔτι τᾶ μεταξὺ τῶν εἰρημένων σαμείων, ὡσαύτως τᾶς περιφερείας λαμ βανομένας· καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποι αοῦν γεγραμμένας περιφορᾶς ἕλικος ἐπιψαύει τις εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατασκευασθαιωντι, ὅτι ἁ μεταξὺ εὐθεῖα τῶν εἰρημένων σαμείων πολλαπλασία τέ ἐστιν τᾶς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφε ρείας κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα ἀ ριθμὸν τοῦ, καθ’ ὃν αἱ περιφοραὶ λέγονται, καὶ ἔτι ἴσα τᾶ μεταξὺ τ τῶν εἰρημένων σαμείων ὁμοίως λαμβανομένας.
Figure 21.1
ΚΒ Λαμβάνοντα τὸ χωρίον τὸ περι εχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γε γραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς πρώτας ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι καὶ ἄλλο ἐγγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμεν συγκείμενον , ὥστε τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγ γεγραμμένου μείζων εἶμεν ἐ λάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέν τος χωρίου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒ ΓΔ, ἐν τᾶι πρώται περιφο ρᾶι γεγραμμένα, ἔστω δὲ ἀρ χὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖ ον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἁ ΘΑ, ὁ δὲ πρῶτος κύκλος ὁ ΖΗ ΙΑ, αἱ δὲ ΑΗ ΖΙ διάμετροι αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλάλαις. ἀεὶ δὴ τᾶς ὀρ θᾶς γωνίας δίχα τεμνομέ νας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον τοῦ τομέως ἔλασσον τοῦ προτε θέντος· καὶ ἔστω γεγενημέν γεγενημένος ὁ τομεὺς ὁ ΑΘΚ ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος χωρίου. διαιρείσθω σαν δὴ οὖν αἱ γωνίαι αἱ τέσσα ρες ὀρθαὶ εἰς τὰς ἴσας γωνί γωνίας τὰς περιεχομένας ὑπὸ τᾶν ΑΘ ΘΚ, καὶ αἱ ποιοῦσαι τὰς γω νίας εὐθεῖαι ἐς τὰν κατὰ τὰν ἕλικα ἄχθωσιν. καθ’ ἃ δὴ τέ μνει σημεῖον ἁ ΘΚ τὰν ἕλικα, ἔστω τὸ Λ, καὶ κέντρωι τὸ Θ, δια στάματι δὲ τῶι ΘΛ κύκλος γε γράφθω· πεσεῖται δὲ αὐτοῦ ἁ μὲν εἰς τὰ προαγεύμενα περι φέρειαι ἐντὸς τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ εἰς τὰ ἑπόμενα ἐκτός. γε γράφθω δὴ ἁ περιφέρεια, ἔστ ἔσται κἂν συμπέσηι τᾶ ΘΑ κατὰ τὸ Ο ἁ ΟΜ καὶ τᾶι μετὰ τὰν ΘΚ εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσα. πάλιν δὴ καὶ , καθ’ ὃ τέμνει σαμεῖον ἁ ΘΜ, ἔστω τὸ Ν, καὶ κέντρωι τῶι Θ, δι αστάματι δὲ τᾶ ΘΝ κύκλος γεγράφθω, ἔσται καὶ συμπέ σηι ἁ περιφέρεια τοῦ κύκλ κύκλου καὶ τᾶ μετὰ τὰν ΘΜ ποτιπί πτουσαν ποτὶ τὰν ἕλικα, ὁ μοίως δὲ καὶ διὰ τῶν ἄλλω ἄλλων πάντων, καθ’ ἃν τέμνοντι τὰ τὰν ἕλικα αἱ τὰς ἴσας γωνίας ποιοῦσαι, κύκλοι γεγράφθωσ γεγράφθωσαν κέντρωι τῶι Θ, ἔστ’ ἂν συμπέσηι ἑκάστας ἁ περιφέρεια τᾶ τε προαγευμέναι εὐθείαι καὶ τᾶ ἑπομέναι· ἔσται δή τι περὶ τὸ λαφθὲν χωρίον περιγεγραμ μένον ἐξ ὁμοίων τομέων συγ κείμενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμ μένον. ὅτι δὲ τὸ περιγεγραμ μένον σχᾶμα τοῦ ἐγγεγραμμέ νου μείζων ἐστιν ἐλάσσονι τ τοῦ προτεθὲν χωρίου δειχθήσεται. ἔστι γὰρ ὁ μὲν ΘΛο τομεὺς ἴσ ἴσος τῶ ΘΜΛ, ὁ δὲ ΘΝΠ τῶι ΘΝΡ, ὁ δὲ ΘΧΣ τῶι ΘΧΤ, ἔστι δὲ καὶ τῶ τῶν ἄλλων τομέων ἕκαστος τῶν ἐν τῶι ἐγγεγραμμένωι σχάματι ἴσος τῶι κοινὰν ἔχοντι πλευρὰν τομεῖ τῶν ἐν τῶι περιγεγραμ μένωι σχάματι τομέων. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ πάντες οἱ τομεῖς πάν τεσσιν ἴσοι ἐσοῦνται· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἐγγεγραμμένον σχᾶμα ἐν τῶι χωρίωι τῶι περιγεγραμμέ νωι περὶ τὸ χωρίον σχάματι χω ρὶς τοῦ ΘΑΚ τομέως· μόνος γὰρ ἑωυτὴν λέλαπται τῶν ἐν τῶι περιγεγραμμένωι σχάματι. δῆ λον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμένο περιγεγραμμένον σχᾶμα τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖ ζόν ἐστι τῶ ΑΘΚΘ τομεῖ, ὃς ἐλάσ σων ἐστὶν τοῦ προτεθέντος.
Figure 22.1
ΚΓ Ἐκ τούτου δὲ φανερὸν ὅτι δυνατ δυνατόν ἐστι περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον σχᾶ μα, οἷον εἴρηται, γράφειν, ὥστε τὸ περιγεγραμμένον σχᾶμα μεῖζον εἶναι τοῦ χωρίου ἔλασσο ἔλασσον εἶναι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρί ου, καὶ πάλιν ἐγγράφειν, ὥστε τὸ χωρίον ὁμοίως μεῖζον εἶμεν τ τοῦ ἐγγραφέντος σχάματος ἐλάσ σονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρί χωρίου . λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπὸ τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶ δευτέραι περιφορᾶι γεγραμμέ νας καὶ τᾶς εὐθείας, ἅ ἐστι δευ τέρα τᾶν ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς πε ριφορᾶς, δυνατόν ἐστιν περὶ αὐ τὸ σχᾶμα ἐπίπεδον περιγρά ψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκεί μενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντ ἐγγραφέντος μεῖζον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου. ἔστω ἕ λιξ, ἐφ’ ἇι ἁ ΑΒ ΓΔΕ, ἐν τᾶι δευτέ ραι περιφορᾶι γεγραμμένα, καὶ ἔστω τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΑΘ ἀρχὰ τᾶς πε ριφορᾶς, ἁ δὲ ΕΑ δευτέρα εὐθεῖ αι τᾶν ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορ περιφορᾶς , ὁ δὲ ΑΖΗ κύκλος ἔστω δεύτερος καὶ αἱ ΑΓ ΗΖΙ διάμετροι αὐτοῦ πρὸς ὀρ θὰς ἀλλάλαις. πάλιν οὖν δίχα τεμνομένας τᾶς ὀρθᾶς γωνί γωνίας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεῖται τὸ καταλειπόμενον ἔλασσον τοῦ προτεθέντος· καὶ ἔστω γεγε νημένος ὁ ΘΚΑ τομεὺς ἐλάσσω ἐλάσσων τοῦ προτεθέντος χωρίου. διαι ρεθεισᾶν δὴ τᾶν ὀρθᾶν γωνι ᾶν εἰς τὰς ἴσας γωνίας τᾶ ὑ πὸ τῶν ΚΘΑ καὶ τῶν ἄλλων κατα σκευασθέντων κατὰ τὰ αὐτὰ τ τοῖς πρότερον ἐσσεῖται τὸ περιγε γραμμένον σχᾶμα τοῦ ἐγγεγραμ μένου σχάματος μείζων ἐλάσ σωνι ἢ ὁ τομεὺς ὁ ΘΚΑ· μείζων γὰρ ἐσσεῖται α υπεροχα, ἇ ὑπερ έχει ὁ ΘΚΑ τομεὺς τοῦ ΘΕΡ. δῆλον οὖν, ὅτι δυνατόν ἐστιν καὶ τὸ περιγρα φὲν σχᾶμα τοῦ λαφθέντος χωρί ου μείζων εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου, καὶ πάλιν τὸ λαφθὲν χωρίον μείζω μείζων εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχάμα τος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προ τεθέντος χωρίου.
Figure 23.1
ΚΔ Διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου φανερὸν δι ότι δυνατὸν λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικ ἕλικος τᾶν ἐν ὁποιαοῦν περιφορᾶι γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τᾶ ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν λεγομέ νας περιγράψαι σχᾶμα, οἷον εἴρη ται, ἐπίπεδον, ὥστε τὸ περιγρα φὲν σχᾶμα μεῖζον εἶμεν τοῦ λα φθέντος χωρίου ἐλάσσονι παν τὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου, καὶ πάλιν ἐγγράψαι, ὥστε τὸ λαφθὲν χωρίον μεῖζον εἶμεν τοῦ τοῦ ἐγ γραφέντος σχάματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρίου. λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος, ἅ ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾶι περιφορᾶι γεγραμμένας, οὐκ ἐχούσας πέρ πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς ἕλικος ἀγομενᾶν δυνατόν ἐστι περὶ τὸ χωρίον σχᾶμα ἐπίπεδ ἐπίπεδον περιγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχᾶμα τοῦ ἐγγραφέντος μείζονι μὲν ἐλάσ σονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χω ρίου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕ, πέρατα δὲ αὐτᾶς τὰ αΕ, ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αΘ ΘΕ. γεγρά φθω δὴ κύκλος κέντρωι μὲν τῶι Θ, διαστάματι δὲ τῶι ΘΑ, καὶ συμπιπτέτω τᾶ ΘΕ κατὰ τὸ ΖΑ. εἰ δὲ τᾶς γωνίας τᾶς ποτὶ τὸ Θ καὶ τοῦ τομέως τοῦ ΘΑΖ δίχα τεμνομένων ἔσται τὸ καταλει πόμενον τοῦ προτεθέντος ἐ λάσσων. ἔστω ἐλάσσων τομεὺς ὁ ΘΑΚ τοῦ προτεθέντος. ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον γεγράφθωσ γεγράφθωσαν κύκλοι διὰ τῶν σαμείων, καθ’ ἃ τέμνουσι τὰν ἕλικα οἱ τὰς ἴσ ἴσας γωνίας ποιοῦσ ποιοῦσαι ποτὶ τῶι Θ, ὥσ τε τᾶν περιφερειᾶν ἑκάστα συμπίπτειν τᾶ τε προαγευμένα καὶ τᾶ ἑπομένα· ἐσσεῖται δή τι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν αΘ ΘΕ εὐθει ᾶν περιγεγραμμένον σχᾶμα ἐ πίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκεί μενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμμένον, καὶ τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμ μένου ἐλάσσονι ὑπερέχει τοῦ προ τεθέντος χωρίου· ἐλάσσων γάρ ἐστι ἐστιν ὁ ΘΑΚ τομεύς. ἐκ τούτου φανερόν ἐστιν , ὅτι δυνατόν ἐστιν περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον ἐπίπεδον, οἷον εἴρηται, περι γράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχᾶμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεθέντος χωρί χωρίου ,
Figure 24.1
ΚΕ Τὸ περιλαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι πρώται περι φορᾶι γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐ θείας τᾶς πρώτας τᾶς ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κύκλου τοῦ πρώτου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕΘ, ἐν τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμ μένα, ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΑ εὐ θεῖα πρώτα ἐν τᾶι ἀρχᾶι τ τᾶς περιφορᾶς, ὁ δὲ ΑΝ ΖΗΙ κύκλος πρῶτος, οὗ τρίτον μέρος ἔστω ἐ ν ὧι Ϙ κύκλος. δεικτέον, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ προειρημένον χωρίον τῶι Ϙ κύκλωι. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον. ἔστω πρότερον, εἰ δυ νατόν, ἔλασσον. δυνατὸν δή ἐστι ἐστιν περὶ τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενο περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας περιγράψαι σχᾶμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων το μέων, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχᾶ μα μείζονι μὲν τοῦ χωρίου ἐλάσ σων τᾶς ὑπεροχᾶς, ἇ ὑπερέ χει ὁ Ϙ κύκλος τοῦ εἰρημένου χω ρίου. περιγεγράφθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ εἰρημένον σχᾶμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΑΚ, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΕΟ· δῆλον οὖν , ὅτι τὸ περιγεγραμμένον σχᾶμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Ϙ κύκλου. ἐκβε βλήσθωσαν δὲ εὐθεῖαι πρὸς τὸ Θ ποι οῦσαι τὰς ἴσας γωνίας, ἔστ’ ἂν πο τὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι· ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσαι τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι, ὧν ἐστι μείζων μὲν ἁ ΘΑ, ἐλάσσων δὲ ἁ ΘΕ, καὶ ἁ ἐλα χίστα ἴσα τᾶι ὑπεροχᾶι, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι τινὲς γραμμαὶ ἀπὸ τ τοῦ Θ ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ποτιπίπτουσαι τῶι μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῶ δὲ με γέθει ἑκάστα ἴσα τᾶ μεγίστα, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ πασᾶν ὁμοῖοι τομέες, ἀπό τε τᾶν τῶι ἴ σω ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶ μεγίστα· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα ἐλάσ σονές ἐντι ἢ τριπλάσιοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν· δέδεικτ δέδεικται γὰρ τοῦτο. εἰσὶν δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλήλαις τε καὶ τᾶ μεγίστα ἴσοι τῶι ΑΖΗΙ κύκλωι, οἱ δὲ τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλ λαλᾶν ὑπερεχουσᾶν ἴσοι τῶι προγεγραμμένωι σχήματι· ἐ λάσσων ἄρα ὁ ΑΖΗΙΚ κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχάμα τος ἢ τριπλασίων. τοῦ δὲ Ϙ κύ κλου τριπλασίων· ἐλάσσων ἄρα ὁ Ϙ κύκλος τοῦ περιγεγραμμέ νου σχάματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα ἐστὶ τὸ τὸ περιεχό μενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓ ΔΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ ἐλάσ σων τοῦ Ϙ χωρίου. ἑξ ἑξῆς τὸ ΣΧΑ ΣΧΑΜΑ . ΚϚ Οὐδὲ τοίνυν μεῖζον. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, μεῖζον. ἔστι δὴ πάλιν δυ νατὸν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχό μενον ὑπὸ τᾶς ΑΒΓΔΘ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας ἐγγράψαι σχᾶμα, ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ ἐγγραφέντος σχάματος μεῖ ζον εἶμεν ἐλάσσονι ἢ ὧ ὑπερέχει τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ Ϙ κύκλου. ἐγγεγράφθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγ γεγραμμένον σχᾶμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΡΞ, ἐλάσσων δὲ ὁ ΘΕ· δῆλον, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχᾶμα μειζωον ἐστιν τοῦ Ϙ κύκλου. ἐκ βεβλήστωσαν δὴ αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γωνίας ποτὶ τὸ Θ, ἔσ ταν κα ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου πε ριφέρειαν πέσωντι. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῶι ἴσωι ἀλ λαλᾶν ὑπερέχουσαι ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπίπτ ποτιπίπτου σαι, ὧν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐ λαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, καί ἐστιν ἁ ἐλα χίστα ἴσα τᾶι ὑπεροχᾶ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου περι φέρειαν ποτιπίπτουσαι τῶι μὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῶι δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τᾶ μεγίστα, καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ πα σᾶν ὁμοῖοι τομέες ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶ μεγίσ τα καὶ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλα λᾶν ὑπερεχουσᾶν· οἱ ἄρα τομέ ες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα μείζονές ἐν τε ἢ τριπλάσιοι τῶ τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας· δέδεικτ δέδεικται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα ἴσοι τῶι ΑΖΗΙ κύκλωι, οἱ δὲ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ὑπὸ τᾶς μεγίστας ἴσοι τῶι ἐγγεγραμμένω σχάματι· μείζων ἄρα ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ἢ τρι πλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου σχά ματος. τοῦ Ϙ κύκλου τριπλασίων · ἄρα μείζω μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ Ϙ κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμέν ἐγγεγραμμένου σχάματος. οὐκ ἔστιν δέ, ἀλλὰ ἐλάσ σων· οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ μεῖζον τὸ χωρίον τὸ ὑπό τε τᾶς ΑΒΗΕΘ ἕλι κος καὶ τᾶς ΑΘ εὐθείας τοῦ Ϙ κύ κλου. ἴσος ἄρα ἐστὶν τῶι περιλα φθέντι ὑπὸ τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς εὐθείας.
Figure 26.1
ΚΖ Τὸ περιλαφθὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾶι δευτέ ρα περιφορᾶι γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας τᾶν ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφορᾶς ποτὶ τὸν δεύτερον κύκλον τοῦτο τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ Ζ ποτὶ τὰ ΙΒ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῶι ὃν ἔχει τὰ συναμφότερα τό τε περιεχόμε νον ὑπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α κύκλου καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπερο χᾶς, ἇ ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τοῦ Β κύκλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρ κέντρου τοῦ Α κύκλου ποτὶ τὸ τετράγωνο τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β κύκλου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒ ΓΔΕ, ἐν τᾶι δευτέραι περιφορᾶι γεγραμμέναι, ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σα μεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΘΕ εὐθεῖα ἐν τᾶι ἀρχᾶι τᾶς περιφο ρᾶς ἁ πρώτα, δὲ ΑΕ ἐν τᾶι ἀρ χᾶι τᾶς περιφορᾶς ἁ δευτέρα, ὁ δὲ κύκλος ὁ ΑΖ ΗΙ ὁ δεύτερος ἔστω, καὶ αἱ ΑΗ ΙΖ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλάλαις. δεικτέον ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας ποτὶ τὸν ΑΖΗΙ κύ κλον λόγον ἔχει, ὃν τὰ Ζ ποτὶ ΙΒ. ἔστω δή τις κύκλος ὁ Ϙ, ἁ δὲ ἐκ τ τοῦ κέντρου τοῦ Ϙ κύκλου δυνάμει ἴ σα τῶι τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ ΘΕ περιε χομένωι καὶ τῶι τρίτωι μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΔΕ τετραγώνου· ἕ ξει δὴ ὁ Ϙ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΖΙ ὡς ἑπτὰ ποτὶ δώδεκα, δι διότι καὶ ἁ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου τοῦτ τοῦτον ἔχει δυνάμει τὸν λόγον. δειχθή
Figure 27.1
σεται οὖν ἴσος ὁ Ϙ κύκλος τῶι περι εχομένωι χωρίωι ὑπό τε τᾶς ΑΒ ΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐ θείας. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἔστω δὴ πρότερον, εἰ δυνατόν, μείζων. δυνατὸν δή ἐστι περὶ τὸ χωρίον περιγρά ψαι σχᾶμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοί ων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχᾶμα μεῖζον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι ἢ ὧι ὑ περέχει ὁ Ϙ κύκλος τοῦ χωρίου. περιγεγράφθω, καὶ ἔστω, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ περιγεγραμμένον σχᾶμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΑΚ το μεύς, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘοΔ· δῆλ δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγραφὲν σχᾶμα ἔλασσόν ἐστιν τοῦ Ϙ κύκλου. ἐκ βεβλήσθωσαν αἱ εὐθεῖαι αἱ ποι οῦσαι ποτὶ τὸ Θ ἴσας γωνίας, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ δευτέρου κύκλου περιφέρειαν πέσων τι. ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσαι, ἇν ἐστι μεγίστα μὲν ω ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὰν τοῦ ΑΖΗΙ κύκλου πε ριφέρειαν ποτιπίπτουσαι, τῶι μὲν πλήθει μιᾶι ἔλασσον ἑαυ τᾶν, τῶι δὲ μεγέθει ἀλλάλαις τε ἴσαι καὶ τα μεν στα, καὶ ἀνα γεγράφαται ὁμοῖοι τομέες ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα καὶ ἀ πὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν, ἀπὸ δὲ τᾶς ἐλαχίστ ἐλαχίστας οὐκ ἀναγεγράφεται· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λό γον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τᾶς ΘΑ πο τὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ ΘΕ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου· δέδεικται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ τοῖς μὲν τομέσι τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλας καὶ τᾶ μεγίστα ἴσος ὁ ΑΖΗ κύκλ κύκλος , τοῖς δὲ τομέεσσι τοῖς ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χω ρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἴσ ἴσον τὸ περιγεγραμμένον· ἐλάσσον ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ κύκλος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχᾶμα ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΘ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετραγώνου. ὃν δὲ ἔχει λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ ΑΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τε τραγώνου, τοῦτον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος πρὸς τὸν Ϙ κύκλον· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΑΖΗΙ κύκλος ποτὶ τὸ περι γεγραμμένον σχᾶμα ἢ ποτὶ τὸν κύκλον· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ὁ Ϙ κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχάματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ Ϙ κύκλος τοῦ χωρίου τοῦ πε ριεχομένου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλι κ κος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας. Οὐδὲ τοίνυν ἐλάσσων. ἔστω γάρ, εἰ δυ νατόν, ἐλάσσων. πάλιν οὖν δυ νατόν ἐστιν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιε χόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας ἐγγράψαι σχᾶμα ἐπίπεδον ὑπὸ ὁμοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιεχόμε νον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕ λικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας μείζο νι μὲν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχάμα τος ἐλάσσονι, ἢ ὧι ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χωρίον τοῦ Ϙ κύκλου. ἐγγε γράφθω οὖν, καὶ ἔστω τῶν τομέ ων, ἐξ ὧν σύγκειτ σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμέ νον σχᾶμα, μέγιστος μὲν ὁ ΘΧΡ το μεύς, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΘΕο· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχᾶμα μεῖζόν ἐστι τοῦ Ϙ κύκλου. ἐκβε βλήσθωσαν αἱ ποιοῦσαι ἴσας γω νίας ποτὶ τῶι Θ, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πέσωντι. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα πο τιπίπτουσαι, ἇν μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρεια περιφέρειαν ποτιπίπτουσαι τῶι μὲν πλήθει μιᾶι ἐλάσσους ταῦτα, τῶι δὲ με γέθει ἴσαι ἀλλήλαις τε καὶ τᾶ μεγίστα, καὶ ἀναγεγράφαται ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν ὁμοῖοι τομέες καὶ ἀ πὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ μεγίστα· οἱ ἄρα τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾶ με γίστα ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀ πὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερε χουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγί στας μείζονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ πο τὶ τὰ συναμφότερα τό τε περιε χόμενον ὑπό τε τᾶν ΑΘ ΘΕ καὶ τὸ τρίτον τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετρα γώνου. ἔστι δὲ τοῖς μὲν τομεῦσι τ τοῖς ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερ εχουσᾶν χωρὶς τοῦ ὑπὸ τᾶς μεγί στας ἴσον τὸ ἐγγεγραμμένον σχᾶ μα ἐν τῶι χωρίωι, τοῖς δὲ ἑτέροις ὁ κύκλος· μείζονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΑΗΖΙ κύκλος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμ μένον σχᾶμα ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΑ ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΕ τετραγώνου, τουτ τουτέστιν ὁ ΑΖΗΙ κύκλος πρὸς τὸν Ϙ κύκλον. μεί ζων ἄρα ἐστὶν ὁ Ϙ κύκλος τοῦ ἐγ γεγραμμένου σχάματος· ὅπερ ἀδύνατον· ἦν γὰρ ἐλάσσων. οὐ κ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Ϙ κύκλος τοῦ περιεχομένου χω ρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐθείας· ὥστε ἴσος.
Figure 27.2
ΚΘ Διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχθή σεται καὶ δι διότι τὸ περιλαφθὲν χω ρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁ ποιαοῦν περιφορᾶι γεγραμμέ νας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν ταῖς περιφο ραῖς λεγομένας ποτὶ τὸν κύκλ κύκλον τὸν ποτὶ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν λε γόμενον ταῖς περιφοραῖς λόγον ἔχει, ὃν συναμφότερον τό τε ὑ πὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα τῶν περιφο ρᾶν λεγομένου καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ἇ ὑπερέχει ἁ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τῶν εἰρημένων τᾶς ἐκ τοῦ κέ κέν τρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τῶ τῶν εἰρημένων, ποτὶ τὸ τετράγων τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείζονος κύκλου τῶν εἰρημένων. τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος, ἅ ἐστιν ἐλάσσ ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾶι περιφορᾶι γεγραμ μένας, οὐκ ἐχούσας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τᾶν εὐ θειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτω περάτων αὐτᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλι κος ἀγμενᾶν ποτὶ τὸν τομέα τὸν ἔχοντα τὰν μὲν ἐκ τοῦ κέ κέν τρου ἴσαν τᾶ μείζονι τᾶν ἀπὸ τοῦ πέρατος ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τ τᾶς ἕλικος ἀγμενᾶν, τὰν δὲ περι φέρειαν, ἅ ἐστι τᾶ μεταξὺ τᾶν εἰρημενᾶν εὐθειᾶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τᾶ ἕλικι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε πε ριεχόμενον ἀπὸ τᾶν ὑπὸ τῶ τῶν περάτων ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγομέναν καὶ τὸ τρίτ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ἇ ὑπερέχει ἁ μεί ζων τῶν εἰρημένων εὐθειῶν τᾶς ἐλάσσονος, ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μείζονος τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ τὰ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιζευχθεισ ἐπιζευχθεισᾶν . ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἇς ἁ ΑΒΓΔΕ, ἐλάσσω ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾶι περιφορᾶι γεγραμ μένας, πέρατα δὲ αὐτᾶς ἔστω τὰ αΕ, ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον, καὶ κέντρωι μὲν τῶι Θ, διαστάματι δὲ τῶι ΘΑ κύ κλος γεγράφθω, καὶ συμπιπτέτω τᾶι περιφερείαι αὐτοῦ ἁ ΘΕ κα κατὰ τὸ Ζ. δεικτέον ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικ ἕλικος καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ΑΘ ΘΕ ποτὶ τὸν τομέα τὸν ΑΘΖ τοῦτον ἔχει τὸ τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ ποτὶ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ. ἔστω δὴ κύ κλ κλος , ἐν ὧ ϘΧ, τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἔ χων ἴσαν δύναμιν τῶι τε ὑπὸ τᾶν ΑΘ ΘΕ καὶ τῶι τρίτωι μέρει τ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ, ποτὶ δὲ τῶι κέντρωι αὐτοῦ γωνία ἴσα τᾶ πρὸς τῶι Θ· ὁ δὴ τομεὺς ὁ ϘΧ ποτὶ τὸν τομέα τὸν ΘΑΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΘ ΘΕ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετρα γώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ τετρά γωνον· αἱ γὰρ ἐκ τῶν κέντρων τοῦτον ἔχοντι τὸν λόγον δυνάμει ποτ’ ἀλλάλας. δειχθήσεται δὴ ὁ ΧϘ τομεὺς ἴσος ὢν τῶι χωρίωι τῶ περιεχομένω ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ ΘΕ εὐ θειᾶν. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείζων ἢ ἐ λάττων. ἔστω πρότερον, δυνατόν, μείζων. δυνατὸν οὖν ἐστιν περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον περιγράψ περιγράψαι σχᾶμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέ ων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγρα φόμενον σχᾶμα μείζονι μὲν τοῦ εἰρημένου χωρίου ἐλάσσονι ἢ ἁ λίκωι ὑπερέχει ὁ ϘΧ τομεὺς τοῦ εἰρημένου χωρίου. περιγεγρά φθω δή, καὶ ἔστω τῶν τομῶν, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ περιγεγραμμένον σχᾶ μα, μείζων μὲν ὁ ΘΑΚ, ἐλάσσων δὲ ὁ ΘΟΔ· δῆλον, ὅτι τὸ περιγεγραμ μένον σχᾶμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΧϘ τομέως. διήχθωσαν δὴ εὐ θεῖαι αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γω νίας ποτὶ τὸ Θ, ἔστ’ ἂν ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ ΘΑΖ τομέως πέσωντι. ἐντὶ δή τινες εὐθεῖαι τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέχουσαι, αἱ ἀ πὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτι πίπτουσαι, ὧν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλ λαι εὐθεῖαι ἐν μὲν τῶι πλήθει μιᾶι ἐλάσσων ταυτᾶν, τῶι δὲ μεγέθει ἴσαι ἀλλήλαις τε καὶ τᾶ μεγίστα, αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΑΘΖ τομέως περιφέρειαν ποτιπί πτουσαι χωρὶς τᾶς ΘΖ, καὶ ἀνα γεγράφαται ὁμοῖοι τομέες ἀ πὸ πασᾶν, ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλ λήλαις τε καὶ τᾶ μεγίστα καὶ ἀ πὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν, ἀπὸ δὲ τᾶς ΘΕ οὐκ ἀ ναγέγραπται· τομέες οὖν οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶ με γίστα ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀ πὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπε ρεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐ λαχίστας τομέως ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ συναμφότερα τά τε ἀπὸ τᾶν ΑΘ ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετραγών τετραγώνου . ἔστι δὲ τοῖς μὲν τομεῦσι τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλήλαις τε καὶ τᾶ μεγίστα ἴσος ὁ ΘΑΖ τομεύς, τοΙΣς δὲ ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑ περεχουσᾶν τὸ περιγεγραμμέ νον· ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ὁ ΘΑΖ τομεὺς ποτὶ τὸ περιγε γραμμένον σχᾶμα ἢ τὸ τετρά γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΖΕ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ἀ πὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὰ εἰρημένα, τοῦτον τὸν λόγον ἔχει ὁ ΘΑΖ το μεὺς ποτὶ τὸν Χ τομέα· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ὁ Χ τομεὺς τοῦ περιγεγραμμένου σχάματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ μείζων· οὐκ ἄρα ἔσται ὁ Χ τομεὺς μείζων τοῦ περι εχομένου χωρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ ΘΕ εὐθειᾶν. Λ ΟΥδὲ τοίνυν ἐλάσσων . ἔστω γὰρ ἐλάσσων, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατασκευ άσθω. πάλιν δὴ δυνατόν ἐστι ἐστιν εἰς τὸ χωρίον ἐγγράψαι σχᾶμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ εἰρημένο εἰρημένον χωρίον μείζονι μὲν τὸ τοῦ ἐγ γραφέντος σχάματος ἐλάσσο νι ἢ ἁλίκω ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χω ρίον τοῦ Χ τομέως. ἐγγεγράφθ ἐγγεγράφθω οὖν, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν σύγκειται τὸ ἐγγεγραμμένον σχᾶ μα, μείζων μὲν ὁ ΘΒΓ, ἐλάσσων δὲ ὁ ΘΕ· δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμέ νον σχᾶμα μεῖζόν ἐστι τοῦ Χ τομέ ως. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμ μαὶ τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερέ χουσαι ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλι κα ποτιπίπτουσαι, ὧν ἐστιν με γίστα μὲν ἁ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἁ ΘΕ, ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμ γραμμαὶ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ ΘΑΖ το μέως περιφέρειαν ποτιπί πτουσαι χωρὶς τᾶς ΘΑ τῶι μὲ μὲν πλήθει μιᾶ ἐλάσσονες τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν, τῶι δὲ μεγέθει ἀλλάλαις τε καὶ τᾶ μεγίστα ἴσαι, καὶ ἀναγεγρά φεται ἀπὸ ἑκάστας ὁμοῖοι το μέες, ἀπὸ δὲ τᾶς μεγίστας τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχσ ὑπερεχουσᾶν οὐκ ἀναγέγραπται· οἱ τομέες οὖν οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾶ μεγίστα ποτὶ τοὺς το μέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῶι ἴσωι ἀλλαλᾶν ὑπερεχουσᾶν χωρ χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα λόγον ἔχοντι ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶ τᾶν ΘΑ ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀ πὸ τᾶς ΕΖ· ὥστε καὶ ὁ ΘΑΖ τομεὺς ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχᾶμα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ τὸν Χ τομέα· ὥστε μεῖζον ὁ Χ τομεὺς τοῦ ἐγγεγραμμένου σχάματος. οὐκ ἔστι δέ, ἀλλὰ ἐλάσσων· οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Χ τομεὺς τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπό τε τᾶς ΑΒ ΓΔ ἕλικος καὶ τᾶν ΑΘ ΘΕ εὐ θειᾶν· ἴσα ἄρα. ΛΑ Τῶν χωρίων τῶν περιεχομένων ὑπό τε τᾶν ἑλίκων καὶ τᾶν εὐ θειᾶν τᾶν ἐν τᾶι περιφορᾶι τὸ μὲν Γ τοῦ Β διπλάσιόν ἐστι, τὸ δὲ Δ τριπλάσιον, τὸ δὲ Ε τετραπλά σιον, καὶ ἀεὶ τὸ ἑπόμενον κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμοὺς πολλαπλά σιον τοῦ δευτέρου χωρίου, τὸ δὲ Α χωρίον ἕκτον μέρος ἐστὶν τοῦ δευτέρου. ἔστω ἁ προκειμένα ἕλιξ ἔν τε τᾶι πρώται περιφορᾶι γεγραμ μένα καὶ ἐν τᾶι δευτέρα καὶ ἐν ταῖς ἑπομέναις ὁποσαισοῦν, ἔστω ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον, ἁ δὲ ΘΕ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, τῶν δὲ χωρίων ἔστω τὸ μὲν Κ τὸ Α, τὸ δὲ Λ τὸ Β, τὸ δὲ Μ τὸ Γ, τὸ δὲ Ν τὸ Δ, τὸ δὲ Ξ τὸ Ε. δει κτέον ὅτι τὸ μὲν Κ χωρίον ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ ἑπομένου, τὸ δὲ Μ δι πλάσιον τοῦ Γ, τὸ δὲ Ν Γ Γπλασιον τοῦ Λ, κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμούς. ὅτι μὲν οὖ οὖν τὸ Κ Ϛ μέρος ἐστὶ τοῦ Λ, ὧδε δείκνυται. ἐπεὶ τὸ ΚΛ χωρίον ποτὶ τὸν Β κύκλ κύκλον δέδεικται τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ Ζ ποτὶ τὰ ΙΒ, ὁ δὲ Β κύ κλος ποτὶ τὸν Α πρῶτον κύκλον ὡς ΙΒ πο τὶ τὰ Γ· δῆλον γάρ ἐστιν · ὁ δὲ Α κύκλος ποτὶ τὸ Κ χωρίον ἔχει ὡς Γ πρὸς Α, Ϛ ἄρα ἐστὶν τὸ Κ χωρίον τοῦ Λ. πά λιν δὲ καὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον ποτὶ τὸν Γ κύκλον δέδεικται ὅτι τοῦτον ἔ χει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότε ρον τό τε ὑπὸ ΓΘΒ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ ΓΒ τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ τετράγωνον. ὁ δὲ Γ κύ κλος ἔχει ποτὶ τὸν Β κύκλον ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΒ, ὁ δὲ Β κύκλος ἔχει πο τὶ τὸ ΚΛ χωρίον ὃν τὸ ἀπὸ ΒΘ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμφότε ρα τό τε ὑπὸ τᾶν ΒΘ ΘΑ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΑΒ τετρα γώνου. ταῦτα δὲ ἔχει πρὸς ἄλληλα λόγον, ὃν ΙΘ ποτὶ τὰ Ζ· ὥστε καὶ τὸ ΚΛΜ χωρίον ποτὶ τὸ ΛΚ χωρίο χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ΙΘ ποτὶ τὰ Ζ· αὐτὸ οὖν τὸ Μ ποτὶ τὸ ΚΛ λό γον ἕξει, ὃν τὰ ΙΒ ποτὶ τὰ Ζ. τὸ δὲ ΚΛ ποτὶ τὸ Λ λόγον ἔχει, ὃν τὰ ΙΒ ποτὶ τὰ Ζ . τὸ δὲ ΚΛ ποτὶ τὸ Λ λό γον ἔχει, ὃν τὰ Ζ ποτὶ τὰ Ϛ · δῆλον οὖν ὅτι διπλάσιόν ἐστι τὸ Μ τοῦ Λ. ὅτι δὲ τὰ ἑπόμενα τὸν τῶν ἑξῆς ἀριθμὸν λόγον ἔχει, δειχθήσεται. τὸ γὰρ ΗΚΜ ΜΝΞ ποτὶ τὸν κύκλο κύκλον , οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΕ, τοῦ τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμ φότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΕΘ ΔΘ πε ριεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ὑπὸ τᾶς ΔΘ τετράγωνον πο τὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΕ τετράγωνον. ὁ δὲ κύκλος, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΕ, ποτὶ τὸν κύκλον, οὗ ἐστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἁ ΘΔ, τοῦτον ἔχει τὸν λό γον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΕ τετράγων τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΔ τετράγωνο τετράγωνον , ὁ δὲ κύκλος, οὗ ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέν τρου ΔΘ, ποτὶ τὸ ΚΛ ΜΝ χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τ τᾶς ΘΔ τετράγωνον ποτὶ τὰ συναμ φότερά τε τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΔ ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΔΕ ποτὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΘ ΘΓ καὶ τὸ τρί τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΛΓ· διελόν τι καὶ τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ ΚΛ ΜΝ λόγον ἔχει, ὃν ἁ ὑπεροχὰ τοῦ τε ὑ πὸ ΕΘ ΘΔ μετὰ τοῦ τρίτου μέρους τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΔ πρός τε τὸ ὑπὸ τᾶ τᾶν ΔΘ ΘΓ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀ πὸ τᾶς ΔΓ· ὑπερέχει δὲ τὰ συναμ φότερα τῶν συναμφοτέρων, ὧι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘΔ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΘΓ, ὑπερέχει δὲ τῶι ὑπὸ τῶν ΔΘΓ ὑπερέχει δὲ τῶι ὑπὸ τῶ τῶν καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τ τᾶς ΗΑ, τὸ δὲ ΝΠ χωρίον ποτὶ τὸ Π τ τοῦ τον ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὰ συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΘΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώνου ποτὶ συναμφότερ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΗΑΘ καὶ τὸ τρίτο τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετρα γώνου, ἕξει καὶ τὸ Ξ ποτὶ τὸ Π τοῦτον τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμ φότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ δύο τρι ταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ. τὰ δὲ συναμφό τερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗ ΗΑ καὶ δύο τριταμόρια τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΗΑ καὶ τὸ τρίτον μέ ρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΗΑ τετραγώ νου τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα ἅ τε ΘΗ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφοτέραν τὰν ΘΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς ΗΑ· δῆλ δῆλον οὖν, ὅτι καὶ τὸ Ξ χωρίον ποτὶ τὸ Ν χωρίον τοῦτον ἔχει τὸν λόγο λόγον , ὃν συναμφότερα ἅ τε ΘΗ καὶ δύο τριταμόρια τᾶς ΗΑ ποτὶ συναμφότερον τὰν ΘΗ καὶ τὸ τρίτον μέρος τᾶς ΗΑ. ΑΡΧΙΜΗΔ ΑΡΧΙΜΗΔους ΠΕΡΙ ΕΛΙΚΩΝ